基于損傷擴容理論的圓形隧洞圍巖松動圈位移計算方法

沈才華， 古文博， 李鶴文， 王 媛， 張永進， 賴 勇

(1. 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室， 江蘇 南京 210098；2. 河海大學土木與交通學院， 江蘇 南京 210098；3. 浙江省水利水電勘測設計院， 浙江 杭州 310002)

0 引言

采用礦山法施工的隧洞開挖過程常采用動態監控量測法進行預警控制，其中，位移監控是主要方法之一，一般根據位移速率和總位移判別開挖過程中的安全性。因此，位移的預測就成為關鍵問題。目前關于位移預測的方法主要有3大類： 理論計算、規范經驗性定值和數值計算。由于數值計算過程比較復雜，參數獲取困難，所以在設計施工過程中還不普及，規范經驗和理論計算方法仍占主導。

在理論計算方面，1938年，Fenner基于理想的彈塑性理論，將圓形隧洞分為彈性區和塑性區2個區域，假定塑性狀態巖體在變形過程中體積保持不變進行位移求解，該方法未考慮塑性區體應變的影響，也沒有反映圍巖卸載變形破壞的特征，所求得的位移解析解不夠精確[1]； Brown等[2]、Lee等[3]分別基于H-B準則和M-C準則，推導了支護應力與隧洞徑向位移的理論公式預測隧洞松動位移，但塑性區圍巖強度參數線性衰減的假設與實際情況有誤差，而且不能反映破碎區卸載破壞的真實應力應變關系，也沒有區分塑性區和破碎區。在國內，董方庭等較早提出了圍巖松動圈支護理論，并通過實測位移多因素回歸了巷道圍巖收斂變形方程[4-5]，具有很好的實用性，但對理論分析不夠，對前期設計的指導意義有限； 李寧等[6-7]通過Fenner公式建立了能夠綜合反映地下洞室圍巖變形模量、強度參數以及洞室埋深的圍巖容許變形位移，并且討論了不同洞形時公式的適用范圍； 張黎明等[8]基于有限元強度折減法，分析了洞壁位移，并與限定位移值進行比較，以此來判別圍巖的穩定性。目前未見根據現場實測卸載曲線預測圍巖位移計算的成熟方法，因此，理論計算方法的實用性不強。

在規范經驗方法方面，隧洞工程現行規范中對于巖石隧洞給出了允許的位移收斂量，并以此來判斷圍巖的穩定性[9]。規范提供的方法具有較為普遍的意義，但無論是埋深的限制范圍還是容許位移的取值范圍都比較大，給現場施工設計人員對于工程的安全預估帶來不小的挑戰。此外，規范對于位移的預測沒有給出明確的規定，經驗性參數太多，因此，導致預測不夠準確，給隧洞施工安全帶來很大的風險。

目前工程中運用的理論和規范計算方法預測結果與實際有誤差，沒有考慮圍巖松弛開裂過程中的擴容是主要原因之一。本文在傳統的Fenner公式的基礎上，通過引入擴容系數k來模擬圍巖在開挖時帶來的體積擴容效應，并考慮不同松弛應力狀態下圍巖的不同擴容效應，采用分層總和法思想，簡化圍巖松弛變形積分計算，推導了基于圓形隧洞的圍巖松弛位移計算公式，結合巖石破壞過程曲線特征，提出一個從理論上推求洞壁在開挖時容許位移和位移安全預警值的新思路，以期為設計和施工人員提供參考。

1 考慮擴容效應的洞壁位移理論計算推導

通常深埋或軟巖隧洞開挖后圍巖會出現松動破碎，此時可以把圍巖分成3個區域，如圖1所示。其中，pi為支護應力；r0為隧洞半徑；rpb為塑性區半徑；τpc為破碎區半徑；r為某一點半徑；ur為某一點位移；u0為洞壁位移；ub為彈塑性區交界面位移；uc為破碎區上邊界位移； 帶上標p的參數表示塑性區參數； 帶上標e的參數表示彈性區參數； 帶下標r的參數表示徑向參數； 帶下標θ的參數表示切向參數。

圖1 圍巖開挖力學模型

圍巖在開挖前只受初始地應力的影響，假設這一狀態下的圍巖處于彈性階段； 隨著隧洞開挖卸載，在圍巖的某一位置，當應力差σθ-σr達到某一強度值時發生塑性屈服，隨著應力差的繼續增加最終達到極限強度σ0，將圍巖從屈服階段到極限強度這一階段定義為塑性區； 當繼續卸載時，由于已經達到圍巖極限強度，圍巖開始破碎，強度也隨之降低，此時拱軸線(即拱軸線處達到巖體極限強度)逐漸向圍巖內移動，將圍巖極限強度階段到洞壁這一區域定義為破碎區。破碎區和塑性區由于巖石處于損傷累積狀態，常表現為裂紋開裂的擴容現象。目前傳統的Fenner公式沒有考慮擴容效應，計算的圍巖位移明顯不符合實際情況，特別是破碎區擴容比較明顯，擴容位移相對比較大，而且巖體的擴容系數與應力狀態有關，因此，本文建立了考慮擴容效應的隧洞開挖圍巖松動位移分層總和法。

1.1 基本假設

把圍巖簡化考慮，分為彈性區、塑性區和破碎區。在彈性區和塑性區不考慮擴容效應； 在破碎區考慮擴容效應，并假設破碎區擴容系數為常數，即采用等效擴容系數綜合考慮擴容效應。基本假設如下： 1)圍巖是均質、各向同性的介質； 2)巖體的力學特性符合彈塑性力學特征，塑性區服從Mohr-Coulomb屈服準則； 3)隧洞受靜水壓力作用，隧洞開挖屬軸對稱問題。

1.2 支護應力公式(Fenner公式)

假設巖體內的徑向應力為σr，環向應力為σθ，徑向應變為εr，環向應變為εθ。根據靜力平衡條件∑r=0得出：

(1)

幾何方程滿足：

(2)

彈性區本構方程為：

(3)

(4)

式(3)—(4)中：E為彈性模量；μ為泊松比。

塑性區巖體采用Mohr-Coulomb屈服準則計算，最終可得到圍巖塑性圈最大半徑

(5)

式中：rpb為塑性區半徑；r0為隧洞半徑；p0為初始地應力；c′、φ′分別為內聚力和內摩擦角。

1.3 考慮擴容效應的位移解答

1.3.1 彈性邊界的位移

彈性區的應變、位移關系遵循Hooke定律，因此，在彈、塑性區交界面上的位移ub為

(6)

1.3.2 破碎區上邊界的位移求解

(7)

假設塑性區的巖體在變形過程中體積保持不變，則

π(rpb2-rpc2)=π[(rpb-ub)2-(rpc-uc)2]。

(8)

將式(6)的ub代入式(8)，經整理得到

sinφ0(p0+c0cotφ0)rpb2。

(9)

再將式(5)代入式(9)，得到：

(10)

對式(10)進行求解，得到破碎區上邊界位移

(11)

1.3.3 開挖邊界的松動位移計算

考慮塑性區擴容效應，引入擴容系數k，則

(1+k)π(rpc2-r02)=π[(rpc-uc)2-(r0-u0)2]。

(12)

將式(12)整理得到考慮松動區擴容效應的洞壁位移公式為

(13)

根據設計的支護壓力可以計算塑性區范圍，確定錨桿長度，并計算考慮擴容效應的圍巖位移值，更加準確地預測隧洞最終位移，為開挖斷面尺寸和隧洞預測變形量的確定提供參考。

2 基于分層總和法思想的圍巖位移預測理論計算方法

2.1 假設條件

取隧洞埋深h處的圍巖巖樣做巖石加卸載試驗，即取埋深h處的巖樣，在圍壓γh條件下進行巖石加載，當達到峰值強度時(即假設壓力拱軸線處巖石達到峰值強度)進行卸載試驗，最終得到如圖2所示的應力-應變關系圖。本文將試驗曲線圖近似為原始隧洞應力-應變曲線圖。

在第1節的分析中把松動圈的擴容效應系數等價為常數，誤差較大。實際圍巖塑性區包括了松動區，其擴容系數與應力狀態有關。根據壓力拱理論，可以把圍巖分成彈性區、塑性區、破碎區3個區，如圖3所示。彈性區、塑性區、破碎區分別對應應力-應變曲線AB段、BC段、CD段。由于在拱軸線內側，巖體出現破碎損傷，強度降低，擴容才開始明顯，對于塑性強化區(圖3中的BC區域)，進行簡化處理，不考慮擴容效應。因此，取壓力拱軸線為考慮擴容效應的起始邊界(圖3中的C邊界)。另外，圖2中的擴容起始點kr與圖3中的kr點相對應，圖2中點1和點2與圖3中的點1和點2對應，顯然點1和點2的擴容系數是不同的。因此，取徑向單位寬度進行計算。假設單位寬度的擴容系數近似為常數，則該單位寬度層的變形量可以采用式(13)計算。因此，在塑性區范圍內，從彈塑性邊界到洞壁邊界的位移積分就可以簡化為采用基于分層總和法的圍巖位移計算公式，具體推導見2.2節。很明顯這樣預測圍巖的位移更符合實際情況。

圖2 應力-應變關系圖

圖3 圍巖分區示意圖

2.2 考慮分層擴容效應的洞壁位移理論計算

圍巖在彈性區和塑性區不考慮擴容效應。在破碎區由于巖石的碎裂破壞導致巖石的體積變大，且徑向半徑越小，破碎效果越明顯，因此，在圍巖的破碎區考慮擴容效應。

基于Fenner公式的彈塑性推導，采用極坐標表示的應力場分布為

(14)

(15)

由于開挖后隧洞收斂擠壓力σθ實際是大主應力σ1，σr是小主應力σ3，因此，(σθ-σr)是與圓心距離r有關的表達式。則定義(σr-σθ)為r的函數f(r)，即

(16)

根據式(14)、(15)計算的隧洞圍巖內部距圓心r處的不同應力狀態，結合室內卸荷試驗得到的(σ1-σ3)～εv曲線，可以確定圍巖松動圈內部不同位置對應的擴容體應變εv。

(17)

根據式(17)得到破碎區不同位置處的擴容系數，理論上沿徑向采用積分計算便可獲得累積位移量，但積分計算方法比較復雜，因此采用分層總和法簡化計算。破碎區分層示意圖如圖4所示。假設在單位寬度內的擴容系數為常數，理論上單位寬度趨于0時分層累積計算接近于積分計算結果。根據分層迭代法思想，第i層內側的位移公式遞推過程如下。

圖4 破碎區分層示意圖

將塑性區域分為n層圓環，如圖4所示，每一層厚度

(18)

對于第i層，第i界面和第i+1界面半徑分別為ri和ri+1，則

(19)

對于第i層，第i界面和第i+1界面位移分別為ui和ui+1，則根據式(12)位移遞推公式可得：

ui+1=ui+Δui。

(20)

(21)

將式(21)從i=1到i=n進行求和，得到：

(22)

由于滿足連續性假設以及彈性區滿足Hooke定律，則有

u1=uc。

(23)

經過n次迭代后，可以迭代累積計算出洞壁處位移un+1(u0)。

(24)

(25)

3 圍巖容許位移和安全預警值確定新方法

在實際的隧洞施工建設過程中，開挖部分的巖體處于卸荷狀態。卸載條件下的巖體變形和破壞機制與加載條件下的巖體變形和破壞機制有著本質的不同，巖體表現出的力學特性也有很大的區別[10-13]。因此，選用卸荷試驗的結果作為基礎，判斷容許位移和安全預警值。在實際情況中，巖石承受壓力差是客觀存在的，而且在長期的壓力差作用下，巖石加載部分的變形已經完成。因此，可以將加載引起的變形忽略不計，只研究卸圍壓過程中引起的變形，并假定這部分變形從零開始[14-16]。由此可以得到各巖樣僅由圍壓卸荷引起的應力-應變曲線。

結合其他學者的研究成果[17]，取典型的巖石卸荷試驗曲線，如圖5所示。無量綱化處理之后，作出該曲線的曲率曲線(如圖6所示)，取曲率對應的體積應變，并以此來求整個塑性區的擴容系數k值。

圖5 忽略初始變形的卸圍壓階段應力差-體應變曲線

Fig. 5 Curve of stress difference-volume strain under unloading stage of surrounding rock without considering initial deformation

圖6 應力差-體應變曲線的曲率曲線

由圖6可知，擴容過程可以分成OP、PR、RQ3個階段。巖石不同擴容程度表示了內在的不同狀態，因此，建議把不同的擴容狀態作為位移安全控制的參考值。由于理論上圍巖內每處的擴容狀態都不相等，建議以開挖洞壁處擴容狀態為預警判別的依據，圍巖內不同深度處的擴容系數可以根據室內試驗確定，即通過室內試驗可以獲得曲線(圖5)不同應力狀態的擴容系數，進而采用分層總和法進行計算，預測洞壁處預警擴容值對應的預警位移值，彌補規范的位移控制值區間大、實際很難取值的缺陷，為位移安全控制值的設計提供簡單可行的計算方法。

4 實例計算

4.1 擴容系數對圍巖位移的影響分析

以分水江馬蹄形隧洞斷面(如圖7所示)為例，將其簡化為半徑3.7 m的圓形隧洞斷面。因為圍巖的等效擴容系數與圍巖松動程度和圍巖力學性質有關，所以馬蹄形隧洞圍巖和圓形隧洞圍巖的等效擴容系數不相同。研究不同等效擴容系數和不同埋深條件下圍巖的位移變化規律，為預測變形量和隧洞開挖設計斷面提供參考。

圖7 分水江馬蹄形隧洞斷面圖 (單位： cm)

Fig. 7 Horseshoe-shaped cross-section of Fenshui River Tunnel (unit: cm)

4.1.1 不同等效擴容系數條件下圍巖位移變化規律

巖體的擴容過程反映了巖體的松動程度，同時，巖體的擴容狀態與注漿、錨噴支護有關。因此，可以采用不同擴容系數來表示隧洞開挖受不同擾動、支護條件下的不同擴容狀態。以Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級圍巖為例，分別利用式(13)計算圍巖位移。由于是模擬開挖時隧洞圍巖的松動狀態，因此，假設隧洞支護應力為0。

根據《巖土錨桿與噴射混凝土支護工程技術規范》[9]得到巖石參數，如表1所示。

表1 巖石參數

不同圍巖級別條件下洞壁位移u0與擴容系數k的關系曲線如圖8所示。在100 m埋深下，Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ級圍巖的洞壁位移依次增大，并且圍巖級別越大，圍巖擴容對于位移的影響越大。同時，考慮擴容系數以后，位移變化明顯增大，說明擴容效應對于位移的計算結果影響很大，而實際松動圈擴容效應是明顯的。

圖8 不同圍巖級別條件下洞壁位移u0與擴容系數k的關系曲線

Fig. 8 Relationship between tunnel wall displacementu0and dilation coefficientkunder different rock grades

針對Ⅴ級圍巖，對于擴容效應嚴重的地層，如果不進行加固支護，圍巖將無法穩定，理論計算無法求解(實際可能已經塌方)，此時建議采用加固后的設計參數進行變形量的預測。

4.1.2 不同埋深情況下圍巖位移變化規律

以Ⅳ級圍巖為例，分別計算埋深h為55、100、200、300、400 m時隧洞洞壁的位移變化規律，假設無支護開挖，Ⅳ級圍巖的計算參數如表1所示，計算結果如圖9所示。

圖9 不同埋深情況下洞壁位移u0與擴容系數k的關系曲線

Fig. 9 Relationship between tunnel wall displacementu0and dilation coefficientkunder different burial depths

由圖9可知，對于同一級別的圍巖，埋深越大，擴容效應對位移的影響越大。因此，對于埋深大的隧洞，更不能忽略由圍巖擴容帶來的影響。

針對Ⅳ級圍巖，在進行無支護開挖時，洞壁位移與擴容系數、埋深以及圍巖力學特性有關，可以用式(26)表示。

u0=f(k,h,α)。

(26)

式中α為圍巖材料參數，代表E、μ、c、φ等。

對于分水江隧洞實際工程，可以認為參數α的影響相同。因此，開挖后主要影響因素為埋深h和擴容系數k。以Ⅳ級圍巖為例，根據計算結果得到擬合回歸公式為

(27)

采用式(27)提出的洞壁位移u0與埋深h和擴容系數k的函數關系，為分水江隧洞開挖洞形尺寸及位移預測提供了參考，同時也可以為類似工程提供借鑒。

4.2 預警值計算實例

以千島湖輸水隧洞砂巖段為例，埋深取100 m，簡化半徑為3.7 m。根據地質勘察資料，圍巖級別為Ⅳ級，巖石物理力學參數見表1。

參考韓鐵林等[17]對于砂巖卸荷力學試驗的研究成果，取卸載破壞部分試驗數據，則忽略初始變形的砂巖卸圍壓階段應力差-體應變曲線如圖10所示。

采用不同方法計算的洞壁位移u0與擴容系數k的關系曲線如圖11所示。由于洞壁支護力pi(即初期支護力)不同，洞壁巖石的應力狀態也不同，洞壁支護力越小，洞壁圍巖破碎的擴容系數越大，圍巖位移越大，考慮擴容效應的位移計算值明顯大于彈塑性理論計算值。因此，考慮擴容效應更符合實際情況。彈塑性理論計算太保守，分層總和法可以考慮圍巖不同應力狀態下的擴容系數非線性，更符合實際情況。根據本工程算例可知，采用平均擴容系數得到的計算結果誤差不大。

圖10 忽略初始變形的砂巖卸圍壓階段應力差-體應變曲線

Fig. 10 Curve of stress difference-volume strain under unloading stage of surrounding rock without considering initial deformation

表2 位移計算結果

注：u01表示考慮擴容條件下采用分層總和法計算所得的洞壁位移；u02為考慮擴容條件下擴容系數采用平均值計算的洞壁位移；u03為不考慮擴容影響采用彈塑性理論(Fenner公式)計算所得的洞壁位移。

假設圍巖破碎后塊體未掉落，圖11中的橫坐標是不同支護應力下所對應的擴容系數，也可理解為不同支護應力下洞壁處圍巖的碎脹程度(支護應力越大，洞壁處圍巖碎脹程度越小)，所計算得到的洞壁位移值為該隧洞預警位移值(在第3節已說明)。另外，通過式(24)并結合現場位移值的量測，還可以反算出圍巖的等效擴容損傷區范圍，為圍巖加固和支護設計提供參考。

圖11 采用不同方法計算的洞壁位移u0與擴容系數k關系曲線

Fig. 11 Relationship between tunnel wall displacementu0and dilation coefficientkcalculated by different methods

5 結論與討論

1)洞壁圍巖是隧洞開挖過程中穩定性控制的主要對象，其破碎穩定狀態一般最差，因此，采用洞壁處圍巖的擴容損傷狀態作為預警狀態比較合理。本文考慮圍巖內不同應力狀態的圍巖擴容系數的非線性，建立了圓形隧洞圍巖位移分層總和法計算方法，為考慮圍巖擴容效應的位移理論計算提供了簡單科學的方法，比彈塑性理論設計計算更符合實際情況，彌補了規范預警位移設計值取值范圍大、缺乏科學理論依據的不足。

2)洞壁支護可以有效控制圍巖的松動過程，對圍巖內擴容損傷有一定的控制作用。支護力與圍巖擴容狀態一般呈非線性變化，通過本文提出的圍巖位移分層總和法理論計算方法可以很好地反映支護-圍巖位移-洞壁圍巖損傷狀態的協調關系，為支護設計提供參考。

3)結合實際工程分析了不同圍巖級別、不同擴容系數k(即不同支護)、不同埋深等情況下洞壁位移理論計算值的變化規律，建立了分水江隧洞洞壁位移與埋深h和擴容系數k的經驗計算公式，為實際工程的設計提供了參考。本方法可以為初步設計、施工設計提供參考，也可以結合動態反饋設計思想，為施工過程控制提供指導，計算方法可操作性強，較易推廣，具有較強的工程應用價值。

4)在下一步的研究中，將引入數值分析手段，進一步驗證該理論的正確性和實用性。