特殊內凹形蜂窩結構等效扭轉剛度研究

郭瑜超，王立凱，聶小華，吳存利

（中國飛機強度研究所，西安，710065）

0 引 言

蜂窩夾層結構具有較高的比剛度和比強度，同時具有良好的隔熱、隔振特性，已經被廣泛應用于航空、航天等領域，國內外學者對此開展了廣泛研究[1～3]。但隨著變體飛機等新型飛行器的出現，其要求機翼蒙皮具有良好的面內變形能力和較高的面外剛度，傳統的正六邊形蜂窩夾層結構無法滿足此要求，因此對具有大柔性、大變形等特殊性能的結構材料，如各類具有零泊松比、負泊松比效應的蜂窩結構進行廣泛的研究。

20世紀80年代，Gibson等[4]和Ashby便提出了負泊松比蜂窩構型——內凹六邊形蜂窩，并對其力學性能進行預測；Theocaris等[5]針對一種星型的負泊松比蜂窩結構，詳細討論了其等效彈性模量的計算方法及彈性模量與蜂窩幾何參數的關系；Prall等[6]針對一種手性負泊松比蜂窩結構，研究了其面內等效彈性模量及泊松比；董文俊等[7]研究了具有零泊松比效應的手風琴式蜂窩材料的等效模量和等效泊松比的計算方法進行了研究，采用經典歐拉梁理論，得到面內兩個正交等效模量以及泊松比解析表達式，并對其進行了詳細討論；高珂等[8]針對此手風琴式蜂窩結構對其等效彎曲和扭轉剛度進行了研究，得到等效彎曲剛度和扭轉剛度的理論表達式，并利用數值方法驗證了其正確性。

Bezazi等[9，10]提出一種特殊的內凹形蜂窩結構，并基于Timoshenko梁理論，對其面內等效彈性參數和進行了初步研究，同時初步討論了該蜂窩結構的等效傳熱特性。文獻[11]進一步利用虛功原理和能量法對該內凹形蜂窩結構的面內等效泊松比進行研究，發現其等效泊松比會隨著其胞壁長度及角度的變化產生較大的改變，具有較好的應用前景；文獻[12]將此內凹形蜂窩結構其簡化為正交異性薄板，利用能量等效原理得到蜂窩結構等效彎曲剛度的解析表達式。綜上所述，針對此內凹形蜂窩結構的面內等效彈性模量、泊松比、等效彎曲剛度已進行了廣泛研究，但對其扭轉剛度66D還沒有明確給出理論表達式，本文將重點針對此型蜂窩結構的等效扭轉剛度進行研究。

本文針對內凹形蜂窩結構，將其等效成正交異性薄板，利用薄板的變形能等效原理，推導出此型蜂窩結構等效扭轉剛度的理論表達式，并詳細討論了等效扭轉剛度與胞元幾何尺寸的關系，最后利用有限元數值方法對理論公式的正確性進行了驗證。

1 蜂窩等效扭轉剛度理論推導

1.1 薄板變形能

內凹形蜂窩結構如圖1所示。

圖1 蜂窩結構及胞元示意Fig.1 Honeycomb And Typical Cell

在計算該蜂窩結構（圖1a所示）的等效扭轉剛度時，為了簡化計算過程，需要首先選取適當的蜂窩胞元，本文選取的典型胞元如圖1b所示，胞元各個胞壁的尺寸及胞壁的編號在圖1b中有明確標示。將胞元結構等效成為正交各項異性薄板，然后利用薄板的變形能公式可以得到其變形能。正交各項異性平板的變形能為[8]

式中11D ，12D ，22D 為等效薄板的彎曲剛度系數；66D為等效薄板的扭轉剛度系數；a'，b'為等效薄板的邊長。

薄板在受到均布扭矩而產生扭轉變形時，薄板內任意一點的撓度可以表示為[13]

1.2 蜂窩胞壁變形能

計算蜂窩胞元各個胞壁的變形能之和，首先需要分別計算各個胞壁的變形能，在計算時需要將蜂窩胞元的胞壁等效為勻質平板，如圖2所示。

圖2 蜂窩胞元壁板局部坐標系示意Fig.2 Local Coordinate System of Cell Wall c—胞壁高度；l—胞壁長度； t—胞壁厚度

由圖2可知，彎矩M引起的蜂窩胞壁端面繞ζ軸的轉角θM以及T引起的壁板端面繞ξ軸的扭轉角θT（胞元壁板為非自由扭轉）可通過式（4）求得[13]：

式中sE為蜂窩胞元材料的彈性模量；qτ為壁板的扭轉系數，其值只與壁板的尺寸和材料的泊松比sν有關，見表1[13]的關系。

表1 壁板扭轉系數與壁板尺寸及材料關系Tab.1 Relationship between Torsion Coefficient and Size＆Material Of Wall

單個胞元壁板的變形能可以表示為

整個蜂窩胞元各個胞壁的變形能之和可以表示為

由于蜂窩結構的對稱性，可以取一半胞元結構進行計算，如圖3所示。

圖3 胞壁受到的扭矩示意Fig.3 Torque Moment Acting on Each Cell Wall

由圖3受力分析可以得到胞壁受到的彎矩和扭矩：

根據力矩的平衡關系，可以得到蜂窩胞元各個胞壁受到的彎矩和扭矩：

將式（7）、式（8）代入式（4）可以得到各個胞壁的彎曲及扭轉變形，即：

為簡化推導過程，假設均布扭矩Myx= 0 ，并將式（8）、式（9）代入式（5）可得蜂窩胞元各個胞壁的變形能為

利用蜂窩胞元的對稱性，將式（10）代入式（6）可得蜂窩胞元各個胞壁的變形能之和，即：

1.3 蜂窩結構等效扭轉剛度

通過前面的計算分別得到等效薄板的變形能計算公式及蜂窩胞壁的變形能計算公式，利用變形能相等原理可計算蜂窩結構等效扭轉剛度，變形能等效公式如下：

2 蜂窩等效扭轉剛度數值計算

為驗證理論分析結果的正確性，使用有限元方法進行數值驗證，蜂窩結構的有限元建模分析借助航空結構分析軟件HAJIF實現。

假設內凹形蜂窩結構的材料為鋁合金，材料彈性模量sE=71 000 MPa，泊松比s0.3ν=，選擇的胞元結構尺寸為：胞壁的長斜邊長度l=5 mm，胞壁的短斜邊長度a=1.667 mm，胞壁的橫邊長度h=5 mm，胞壁高度c=2.08 mm，胞壁夾角θ、?不斷變化。

蜂窩結構的細節有限元模型主要使用 QUAD4單元建立，綜合考慮有限元模型的精度和效率，模型共包含 29×17個蜂窩胞元，模型包含有限元節點23 829個，單元16 320個。蜂窩結構的約束條件為：中心點約束6個方向的自由度。蜂窩結構載荷邊界條件為：四邊施加均布扭矩載荷，其中AB、CD兩邊施加總載為15 N·mm的均布扭矩，AD、BC兩邊施加總載為4.5 N·mm的均布扭矩。最終建立的蜂窩結構細節有限元分析模型如圖 4所示，然后進行線性靜力分析，得到蜂窩結構的變形。首先確定結構中的一個特征點E（E點在圖4所示坐標系中的坐標為（50.0，43.3，0.0），通過計算得到圖4蜂窩結構中E點沿z軸的變形w，然后將撓度代入式（14）可以反推蜂窩結構的等效扭轉剛度[13]：

圖4 蜂窩結構有限元模型示意Fig.4 Fem Model of Honeycomb Structure

式中 w為E點沿z軸的變形；x，y分別為A點的x坐標和y坐標。

3 計算結果討論

蜂窩材料及胞元尺寸的選擇見第 2節，在這些假設的前提下對蜂窩結構的等效扭轉剛度進行討論，討論包括扭轉剛度理論分析結果與數值計算結果。

圖 5描述了當胞壁長度 L=5 mm、h=5 mm、a=1.667 mm，胞壁高度c=2.08 mm，胞壁夾角?=30°、θ在 0°～90°之間變化時，夾角 θ變化對蜂窩等效扭轉剛度的影響，同時討論了蜂窩胞壁厚度t的變化對蜂窩等效扭轉剛度的影響。由圖5可知，當0°≤θ≤70°時，隨著胞壁夾角 θ的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度逐漸減小；當70°≤θ≤90°時，蜂窩結構的等效扭轉剛度隨著夾角θ的增大而增大；當蜂窩胞壁厚度分別為t=0.0625 mm、0.09375 mm和0.125 mm時的蜂窩結構等效扭轉剛度，對比結果顯示，隨著胞壁厚度t的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度明顯提升。

圖5 蜂窩結構等效扭轉剛度與胞壁夾角θ的關系Fig.5 Relationship of Torsional Stiffness and Angle θ

圖 6描述了當胞壁長度 L=5 mm、h=5 mm、a=1.667 mm，胞壁高度c=2.08 mm，胞壁夾角θ=30°，胞壁夾角φ在 0°～90°之間變化時，夾角φ變化對蜂窩等效扭轉剛度的影響，同時討論了蜂窩胞壁厚度 t的變化對蜂窩等效扭轉剛度的影響。由圖6可知，0°≤φ≤90°時，隨著胞壁夾角φ的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度逐漸增大；當蜂窩胞壁厚度為t=0.0625 mm、0.09375 mm和0.125 mm時的蜂窩結構等效扭轉剛度，對比結果顯示，隨著胞壁厚度t的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度明顯提升。

圖6 蜂窩結構等效扭轉剛度與胞壁夾角φ的關系曲線Fig.6 Relationship of the Torsional Stiffness and Angle φ

圖5 、圖6中還對蜂窩結構等效扭轉剛度的理論分析結果與有限元反推的結果進行了對比，對比結果顯示理論結果與數值結果在趨勢上基本一致，數值誤差在 3%左右，說明在保證胞元壁板高度與長度比值在表1中的扭轉系數的適用范圍內的情況下，本文使用的理論分析方法是正確的。

4 結 論

針對一種特殊的內凹形蜂窩結構，將其等效為正交異性薄板，選擇單個胞元結構，分別計算正交異性薄板的變形能以及胞元各個胞壁變形能之和，利用能量等效原理推導了該蜂窩結構等效扭轉剛度的解析表達式，并展開了詳細討論，得到如下結論：

a）當胞壁長度、高度不變，胞壁夾角φ=30°、當0°≤θ≤70°時，隨著胞壁夾角θ的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度逐漸減小；當70°≤θ≤90°時，蜂窩結構的等效扭轉剛度隨著夾角θ的增大而增大。

b）當胞壁長度、高度不變，胞壁夾角θ=30°、當0°≤φ≤90°時，隨著胞壁夾角φ的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度逐漸增大。

c）隨著胞壁厚度t的增大，蜂窩結構等效扭轉剛度明顯提升。

文中還對蜂窩結構的細節有限元模型進行了數值分析，并利用數值分析結果反推蜂窩結構的等效扭轉剛度，得到的結果與理論分析結果基本一致，證明了本文理論方法的正確性，理論分析方法對該型蜂窩結構的工程應用有一定的指導意義。