斜坡淺埋水平條形錨板抗拔承載力的極限分析

黃明華，李 盾，李嘉成

(湖南大學巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

錨板是一種重要的抗拔基礎型式，在高層建筑結構、高聳構筑物、輸電線塔/通訊塔、邊坡擋土墻等工程領域中得到了廣泛的應用[1-8]。實際工程應用的錨板種類繁多，按照形狀可分為條形錨板、圓形錨板和矩形錨板；按照埋深可分為淺埋錨板和深埋錨板；按照埋設方式可分為水平錨板、垂直錨板和傾斜錨板。具體研究時，通?？蓪⒉煌螤畹腻^板簡化為條形錨板，按照平面應變問題進行分析[2-3]。因此，條形錨板抗拔承載特性的研究具有重要工程意義。

長期以來，條形錨板抗拔承載特性是巖土工程領域的研究重點之一。特別是最為典型的淺埋錨板，眾多學者對其抗拔承載力與破裂機制開展了較為廣泛的研究。何思明[1]基于試驗結果研究了長方形、圓形和條形錨板的抗拔破裂面型式及其承載力；王洪濤等[2]基于非線性Mohr-Coulomb準則及其關聯流動法則，采用極限分析和變分原理獲得了淺埋條形錨板的抗拔承載力和破裂機制；茜平一等[4]基于原型和模型試驗結果，較為系統地分析了淺埋錨板周邊土體的破壞過程與特征；胡偉等[5]基于自主研制的條形錨板水平拉拔可視化模型試驗以及數值模擬試驗，研究了拉拔過程中錨板板前土體的位移變形規律；許華青等[6]采用PIV技術對粉土中錨板的抗拔承載特性進行了室內模型試驗研究；Kumar等[7-8]采用多塊體上限法對淺埋錨板的抗拔承載特性進行了分析，基于該方法，黃茂松等[9]分析了砂土中條形錨板的抗拔承載力；趙練恒等[10]采用上限法求解了淺埋法向受力傾斜條形錨板的抗拔承載力；張曉曦等[11]采用水平條分法與極限平衡原理分析了傾斜荷載作用下條形錨板的破裂面和抗拔承載特性；黃明華等[12]采用上限法分析了土體非均質和非線性強度特性對淺埋條形錨板抗拔承載力的影響；Merifield等[13-14]基于極限分析有限元法分析了條形錨板的抗拔承載特性。分析可見，上述研究均假設錨板埋設于水平地表土層之中，對斜坡錨板抗拔承載力的研究和探討很少涉及。

實際工程中，在山區和丘陵等復雜地形區域，輸電線塔、通訊塔、邊坡擋土墻等工程結構經常需要建造在斜坡地形上。因此，對斜坡錨板抗拔承載特性展開研究具有重要的工程意義。在這方面，余生兵等[3]基于組合塊體集和極限分析方法，初步分析了斜坡淺埋條形錨板的抗拔承載特性；但該方法速度場、內能耗散和外力做功等需采用多個基本塊體疊加而成，計算方法較為繁瑣。鑒于此，借鑒文獻[2,15]的分析方法和思路，本文擬對斜坡淺埋水平條形錨板的抗拔承載力及其上方土體破裂機制進行研究，并分析斜坡傾角和錨板埋深對錨板抗拔承載力的影響，以期為斜坡錨板基礎設計提供一定理論參考。

1 曲線破壞機構與非線性強度準則

已有研究表明[1-5,13-16]，在一定巖土介質條件下，隨著錨板埋深率(埋深與寬度之比)的增加，其抗拔承載力逐漸增大；當埋深率增加到某一臨界值(即臨界埋深率)，錨板抗拔承載力增加明顯趨于平緩。以臨界埋深率為界定標準，錨板可以區分為淺埋錨板和深埋錨板。目前，國內外對于錨板臨界埋深率的取值尚未形成統一的認識[5]。譚亦高等[16]指出：對于松散巖土體，錨板埋深率小于4～6時，可以界定為淺埋錨板；對于密實巖土體，錨板埋深率小于7～9時，可以界定為淺埋錨板。除了埋深率不同之外，淺埋錨板和深埋錨板最為根本的區別是其破壞形式有所差異。在上拔荷載作用下，深埋錨板呈現局部破壞模式，破裂面則不能延伸到土體表面；而淺埋錨板的破裂面則從錨板邊緣一直延伸到土體表面。

目前，關于錨板破裂面形狀的假設較多。為便于斜坡淺埋水平條形錨板抗拔承載力的計算，根據極限分析上限定理以及文獻[2,15]的相關研究成果，假設錨板為剛性體，且錨板與周邊土體不產生相對滑動，構造出斜坡淺埋水平條形錨板在極限狀態下的曲線型破壞機構，如圖1所示。其中，斜坡傾角為α，錨板寬度為B，平均埋深為H，土體重度為γ。建立以錨板上表面中心為原點O、x軸以向右為正、z軸以向上為正的直角坐標系，假設錨板上方兩側土體破裂分離曲面所對應的方程分別為fL(-x)和fR(x)，二者在坡面處的水平破裂寬度分別為xL和xR。為了便于推導和分析，圖1中給出了錨板上方左側土體破裂面及斜坡坡面關于z軸的鏡像與對應方程。

圖1 斜坡淺埋水平條形錨板破壞機構Fig.1 Failure mechanism of the shallow horizontal strip anchor plate embedded in slope

同時，為有效反映錨板上方土體的強度特性，采用形式簡單、應用廣泛的非線性Mohr-Coulomb強度準則來刻畫極限狀態下錨板上方土體達到破壞時的剪應力與正應力關系[17-19]，即：

τn=c0(1+σn/σt)1/m,m≥1

(1)

式中：τn、σn——錨板上方土體破裂面上的剪應力和正應力；

c0、σt、m——錨板上方土體的初始黏聚力、單軸抗拉強度和無量綱非線性系數。

當m=1時，式(1)變為線性Mohr-Coulomb強度準則。

2 抗拔承載力極限分析與計算方法

2.1 曲線型破壞機構內能耗散功率

對于水平地表條件下的錨板，由于其上方土體的破壞機構具有對稱性，僅需計算一側破壞機構的內能耗散功率；對于斜坡錨板，其上方兩側土體的破壞機構不再具有對稱性，二者的內能耗散攻率需要分別進行計算。

(2)

(3)

對應地，左右兩側破壞機構上的單位體積能量耗散功率可以分別表示為[2,15]：

(4)

(5)

將式(4)和(5)分別沿著左側和右側破裂面進行積分，即可獲得左側和右側破裂面的能量耗散功率，分別為：

(6)

(7)

(8)

2.2 錨板所受外力做功功率

(9)

(10)

2.3 錨板抗拔承載力極限分析

根據虛功功率原理，錨板上方土體破裂面的內能耗散功率應等于其所受外力的做功功率，即：

(11)

將式(7)～(10)代入式(11)中，整理得到斜坡淺埋水平條形錨板的抗拔承載力pu為：

(12)

式中：ΛL(·)、ΛR(·)——兩個泛函，具體表達為：

(13)

(14)

根據極限分析的上限定理，對于滿足機動允許的任意速度場，由虛功功率方程確定的荷載(式12)應大于或等于錨板的真實極限抗拔力，意味著真實的速度場所確定的荷載必須為最小。因此，要獲得錨板的抗拔承載力，必須尋求式(12)在對應區間上的最小值。

式(12)表明，錨板抗拔承載力的極值完全由兩個積分型泛函ΛL(·)和ΛR(·)所確定。根據變分原理和歐拉-拉格朗日極值條件，得到：

(15)

(16)

將式(13)和(14)代入式(15)和(16)中，得到：

(17)

(18)

上述兩個方程為常系數二階線性齊次微分方程。對兩個方程進行兩次積分，得到斜坡錨板上方左右兩側土體破裂面的控制方程，分別為：

(19)

(20)

式中：AL,0、AL,1、AR,0、AR,1——四個積分常數，由邊界條件確定。

將式(19)和(20)代入式(12)中，即可獲得斜坡淺埋水平條形錨板的抗拔承載力pu為：

pu=pu,L+pu,R

(21)

其中，

(-γxL+AL,0)m+1]+(xL-B/2)[σt+

γ(H-AL,1)-1/2γ(xL+B/2)tanα]

(22)

(-γxR+AR,0)m+1]+(xR-B/2) [σt+

γ(H-AR,1)+1/2γ(xR+B/2)tanα

(23)

2.4 錨板抗拔承載力計算方法

式(21)～(23)中含有4個積分常數和2個待定參數(xL和xR)，需要聯合斜坡表面邊界條件以及破裂面幾何形狀進行確定。假設斜坡表面沒有受到切向力的作用，則可在斜坡表面選取微元體進行受力分析。根據xL和xR處微元體在斜坡方向的力學平衡條件，可得：

τncos[2(θL+α)]-1/2σnsin[2(θL+α)]=0

(24)

τncos[2(θR-α)]-1/2σnsin[2(θR-α)]=0

(25)

其中，

此外，錨板上方兩側土體破裂面方程fL(x)和fR(x)在其各自的兩個端點上，滿足邊界條件：

fL(B/2)=0,fR(B/2)=0

(26)

fL(xL)=H-xLtanα,fR(xR)=H+xRtanα

(27)

由上述兩式可以得到：

(28)

(29)

(30)

(31)

將式(1)、(2)、(19)、(28)和(30)代入式(24)中，可得到一個關于xL的代數方程；同樣地，將(1)、(3)、(20)、(29)和(31)代入式(25)中，可得到一個關于xR的代數方程。這兩個方程在一般情況(α≠0或m≠1)下均為非線性代數方程，可以采用牛頓迭代法等方法進行求解。

上述分析表明，除斜坡、錨板及土體相關參數(α、B、H、γ、c0、σt和m)為已知量外，錨板抗拔承載力還與待定參數xL和xR有關。其中，xL和xR需要滿足對應的非線性代數方程(即約束條件)。由此可見，錨板抗拔承載力(式)的計算問題可以轉化為尋求兩個目標函數puL(xL)和puR(xR)在相應約束條件下的最小值問題。對于該問題，本文利用序列二次規劃方法及MATLAB優化工具箱進行求解[20]。當α=0時，上述積分常數和待定參數存在解析解，具體表達式分別為：

(32)

將式(32)代入式(21)中，得到：

pu=2γxLH+σt(2xL-B)-2(m+1)-1·

(33)

式(33)即為平地條件下淺埋水平條形錨板的抗拔承載力計算公式，其與文獻[2]得到的結果一致?？梢姡墨I[2]給出的錨板抗拔承載力計算公式是本文一個特例，同時也驗證了本文方法與推導過程的有效性。

3 斜坡錨板抗拔承載力計算與分析

式(21)表明，斜坡淺埋條形錨板的抗拔承載力與斜坡傾角、錨板埋深和寬度以及土體參數有關。限于篇幅，本文主要聚焦斜坡傾角和錨板埋深對斜坡淺埋錨板抗拔承載力的影響，錨板寬度與土體參數的影響則可以借鑒平地錨板抗拔承載力方面的已有研究成果。參考文獻[2]的分析參數，選取土體初始黏聚力為15 kPa、單軸抗拉強度為25 kPa、無量綱非線性系數為2.0、重度為18 kN/m3以及錨板寬度為1.5 m，分別計算斜坡傾角為0°～60°、錨板埋深率H/B為1～7時錨板的抗拔承載力及其上方土體的破裂面形狀，以分析斜坡傾角和錨板埋深的影響。

3.1 斜坡傾角對錨板抗拔承載力的影響

取錨板埋深率H/B為2，4，6，圖2給出了不同傾角條件下斜坡淺埋水平條形錨板的抗拔承載力及其損失率和承擔比例?？梢钥闯?，其他參數一定時，隨著傾角的增大，斜坡錨板的抗拔承載力逐漸減小，且錨板上方左右(下坡、上坡)兩側土體重力及破裂面分擔的抗拔承載力比例逐漸產生差異：左側土體重力及破裂面所承擔的抗拔承載力比例隨著斜坡傾角的增大而逐漸減小，而右側土體重力及破裂面所承擔的抗拔承載力比例則隨著斜坡傾角的增大而逐漸增大。在整體上，錨板承載力的損失率隨著斜坡傾角的增大而逐漸非線性增加；斜坡傾角越大，損失率的增加速率也越大。同時，錨板埋深率(H/B)越小，在相同傾角條件下，其左右兩側土體重力及破裂面分擔的抗拔承載力比例存在的差異越大，抗拔承載力損失率也越大，意味著斜坡傾角(工程切坡幅度)對埋深較小錨板的抗拔承載力影響更大。

圖2 不同傾角條件下斜坡錨板抗拔承載特性Fig.2 Pullout capacity of the shallow horizontal strip anchor plate embedded in slope with different inclination angles

取錨板埋深率H/B為4，圖3給出了不同傾角條件下斜坡淺埋水平條形錨板上方土體的破裂面形狀?？梢钥闯?，對于平地(α=0)淺埋錨板，其上方兩側土體破裂面呈對稱的喇叭形分布，與已有試驗研究和理論分析成果一致[1-10]；隨著斜坡傾角的增大，錨板上方兩側土體破裂面不再具有對稱性，左側(下坡)土體破裂面與豎直方向的夾角逐漸增大，而右側(上坡)土體破裂面與豎直方向的夾角則逐漸減小；整體上，錨板上方土體破裂面向約束較弱的左側偏移，這一現象與文獻[3]采用組合塊體集方法得到的結論一致。

圖3 不同傾角條件下斜坡錨板破裂面形狀Fig.3 Failure plane shape of the shallow horizontal strip anchor plate embedded in slope with different inclination angles

3.2 錨板埋深對錨板抗拔承載力的影響

取斜坡傾角α為0°、15°、30°和45°，圖4給出了不同埋深率(H/B)條件下斜坡淺埋水平條形錨板的抗拔承載力及其承擔比例?？梢钥闯?，其他參數固定時，隨著埋深率的增大，斜坡淺埋錨板的抗拔承載力逐漸增加；在埋深率較小(H/B≤2.0)時，不同斜坡傾角條件下，錨板的抗拔承載力存在較為明顯的差異，即斜坡傾角越大，抗拔承載力越小；隨著埋深率的增加，斜坡傾角對錨板抗拔承載力的影響逐漸減小。圖4(b)表明，埋深率較小時，錨板上方左右(下坡、上坡)兩側土體重力及破裂面分擔的抗拔承載力比例存在很大差異，且差異隨著斜坡傾角的增大而逐漸明顯；隨著埋深率的增加，左側(下坡)土體重力及破裂面分擔的抗拔承載力比例逐漸上升，而右側(上坡)土體重力及破裂面分擔的抗拔承載力比例則逐漸下降，且二者分擔比例逐漸趨于某一定值?？梢姡S著埋深的增大，斜坡錨板兩側土體各自所發揮的作用逐漸趨于穩定，即該作用存在一定深度效應。

圖4 不同埋深條件下斜坡錨板抗拔承載特性Fig.4 Pullout capacity of the shallow horizontal strip anchor plate in slope with different embedded depths

取斜坡傾角α=30o，緩制不同埋深率條件下斜坡淺埋水平條形錨板上方土體的破裂面形狀(圖5)。可以看出，隨著埋深率的增大，錨板上方兩側土體破裂面開裂寬度逐漸增加；由于左側(下坡)土體在錨板豎向荷載作用下所受到的側向約束較小，其破裂面開裂寬度的增加幅度較右側(上坡)大，以致破裂面在整體上向左側偏移。

圖5 不同埋深條件下斜坡錨板破裂面形狀Fig.5 Failure plane shape of the shallow horizontal strip anchor plate in slope with different embedded depths

4 結論

(1)隨著斜坡傾角的增大，錨板下坡側的土體及破裂面所承擔抗拔承載力逐漸減小，上坡側的土體及破裂面所承擔抗拔承載力有所增加，但其抗拔承載力整體上呈非線性減小的趨勢。

(2)隨著斜坡傾角的增大，錨板上方兩側土體破裂面不再具有對稱性，下坡側的土體破裂面與豎直方向的夾角逐漸增大，而上坡側的土體破裂面與豎直方向的夾角則逐漸減??；整體上，錨板上方土體破裂面向約束較弱的下坡側偏移。

(3)隨著埋深率的增大，錨板上方兩側土體破裂面的開裂寬度逐漸增加，其抗拔承載力亦逐漸增大。埋深率較小時，錨板上、下坡兩側土體及破裂面所分擔的抗拔承載力比例存在明顯差異，且斜坡傾角越大，差異越大；但隨著埋深率的增加，二者的分擔比例逐漸趨于某一定值。