基于B-S公式與時間序列模型對期權價格的預測

呂漫妮

摘要：國內的期權市場發展迅猛，目前不僅規模龐大、活躍度高，而且價格波動較大，因此期權價格的預測對于投資者和市場的穩定發展極其重要。本文利用Black- Scholes公式（最常用的期權定價公式）和時間序列模型相結合的方法對期權價格進行預測，以50ETF的沽2018年6月2.90期權的實際數據作為實驗數據，對該方法進行了驗證，結果顯示該方法的短期預測效果非常好。

關鍵詞：期權價格預測? 期權定價公式? 時間序列模型

一、前言

期權是一類重要的金融產品，其發展非常迅猛。以我國的50ETF期權為例，雖然它于2015年2月9日才上市，但截止到2018年末，期權投資者賬戶數已達30.78萬戶，日均權利金成交已達7.40億元。目前中國的期權市場不僅規模龐大、非常活躍，而且價格波動很大。以2019年2月25日50ETF期權的價格為例，單日漲幅高達192倍，雖然該值屬于極端情況，但由此可見期權價格的預測對于投資者和市場的穩定發展極其重要。

目前關于期權價格的研究大多數集中于其定價研究，即從理論上考慮期權價格如何描述為其原生資產價格的函數，如文[1、2]等。關于期權價格的預測研究相對不多，已有的結果主要是利用時間序列模型進行預測，如文[3]等。期權定價研究主要是從期權的內在規律出發，推導其價格規律，并不注重期權價格的預測;而時間序列模型主要從其自身數據出發，獲得一定的統計規律，不涉及期權定價的內在規律，這兩者均有一定價值，也有一定的缺陷。本文嘗試將這兩種方法相結合，對期權價格進行預測，并利用50ETF的沽2018年6月2.90期權的實際數據對該方法進行了實證驗證，結果顯示該方法的短期預測效果非常好。

二、方法介紹

本預測方法具體分為如下的三步：

第一步：利用時間序列模型對原生資產的價格進行預測。利用時間序列模型預測原生資產的價格，而非直接預測期權價格，這是因為原生資產價格的影響因素更為復雜，原生資產價格更為隨機，而期權價格受原生資產價格的影響極大，基本上可以由期權價格所確定;而且期權價格波動更大，其直接預測的誤差可能更大。

第二步：利用原生資產價格、期權價格的實際數據和Black- Scholes公式（最常用的期權定價公式）反推出隱含波動率。其中歐式看跌期權的Black- Scholes公式（見書[4]中P83）為：

其中V是期權的價格，S是原生資產的價格，t是時間（以期權發行時刻為0時刻），T是期權存續期（到期日），K是敲定價格，r是無風險利率，是波動率，N（.）是標準正態分布的累積分布函數。我們利用該公式和二分法進行迭代，搜尋合適的波動率使式子（1）中期權價格的計算值與實際值相同，將該波動率作為后一期的隱含波動率。

第三步：利用隱含波動率、Black- Scholes公式（1）和第一步中得到的原生資產的預測價格計算出期權的預測價格。

三、實際數據處理過程

本節利用50ETF的沽2018年6月2.90期權（存續期T有6個月，敲定價格2.9元，原生資產資產為50ETF的歐式看跌看跌期權，數據來源于Choice金融終端）的日收盤價數據以及原生資產50ETF的收盤指數數據，利用第2節中介紹的方法進行預測。期權的整個存續期有141個數據，將前92個數據作為訓練數據，后43個數據作為測試數據，無風險利率采用中債國債的同期收益率0.0205。本數據的處理主要基于軟件Eview7.0和Matlab2016b，其中時間序列模型的處理主要基于軟件Eview7.0，后續的計算處理主要基于Matlab2016b。

（一）建立50ETF指數的時間序列模型，預測50ETF指數

首先根據50ETF指數的前92個數據的時序圖，初步判定該數據沒有明顯的趨勢和周期性。隨后對它們進行平穩性檢驗，檢驗結果表明該數據平穩。接著利用該數據的自相關系數和偏自相關系數進行模型的識別和定階，經過嘗試和對比，結果顯示采用ARMA（1，1）（自回歸移動平均（1，1））模型最為合適。然后對該模型進行擬合和模型檢驗，結果顯示50ETF指數S（t）的時間序列模型為

檢驗結果顯示模型的參數和模型均顯著。隨后對模型進行了異方差檢驗，結果顯示不存在異方差現象。因此采用該模型描述50ETF指數。最后利用該模型和50ETF指數的真實數據進行預測。由于時間序列模型只能對短期預測效果較好，所以本文只考慮一期到三期的預測結果。

（二）計算隱含波動率

本小節利用歐式看跌期權定價公式（1）、50ETF指數和期權價格的實際數據計算隱含波動率。由于期權價格對原生資產價格的波動率相對敏感，所以本文更傾向于利用歷史數據和定價公式計算出隱含波動率，而不是歷史波動率，而且只是利用前一期推出的隱含波動率的值作為當期隱含波動率的值。具體而言，假設波動率位于區間[0，5]之間，利用二分法和50ETF指數的真實數據，搜尋合適的使得的計算值與期權價格真實值相對誤差不超過1%，然后將該作為t+1期的隱含波動率。利用Matlab2016b軟件編寫適當的程序，通過存續期的前140個數據，我們可以計算出相應期數的隱含波動率。第t+1期隱含波動率的具體算法如下：

第一步：取定初始波動率上界，初始波動率上界，初始波動率。

第二步：根據公式（1）計算。

第三步：如果計算值大于（其中為t時刻的真實值），則取波動率上界，波動率下界，波動率;如果計算值小于，則取波動率上界，波動率下界，波動率。

第四步： 如果計算值位于與之間，取隱含波動率，并且退出循環;否則再進入第二步進行循環。

（三）對期權價格進行預測

將第一步計算出的50ETF指數預測值和第二步計算出的隱含波動率，代入Black- Scholes公式（1）中，計算出期權的預測價格。

四、結論

本文分別考慮了一期、二期和三期的預測（該期數指50ETF指數的預測期數）結果;并與其他兩種方法（直接用時間序列模型預測期權價格;利用50ETF指數的預測值、歷史波動率和Black- Scholes公式預測期權價格）進行對比。具體結果如下：

法一（直接用時間序列模型預測期權價格）：一期預測的相對誤差（指測試集中43個預測值與真實值的相對誤差絕對值的平均值）為0.1026;二期預測的相對誤差為0.1474;三期預測的相對誤差為0.1609;

法二（利用50ETF指數的預測值、歷史波動率和期權定價公式預測期權價格）：一期預測的相對誤差為0.0995;二期預測的相對誤差為0.1311;三期預測的相對誤差為0.1425;

法三（本文中的方法）：一期預測的相對誤差為0.0875;二期預測的相對誤差為0.1276;三期預測的相對誤差為0.1401。

從上面數據中可以看出，本文提出的預測方法的預測效果在一期、二期和三期預測上均明顯優于第一種和第二種方法，具有很好的效果。

參考文獻：

[1]F.Black，M.Scholes.The pricing of options and corporate liabilities[J].J.Political Economy，1973，81：637-659.

[2]伍宗琦.基于B-S 模型對我國權證的定價研究[D].云南：云南財經大學，2008.DOI：10.7666/d.y1431290.

[3]林蒼祥.邱紫華.鄭振龍.期權市場散戶對價格預測能力的檢驗[J].廈門大學學報（哲學社會科學版）.2015.03：29-38.

[4]姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].北京.高等教育出版社.2003.

（作者單位：華南師范大學數學科學學院）