單一生產商單一零售商供應鏈中最優生產與運輸協調策略研究

李清瀑， 劉 雅

(1.西安交通大學 管理學院，陜西 西安 710049; 2.華為技術有限公司，廣東 深圳 518000)

0 引言

供應鏈中生產商和零售商的合作可使得兩者成本降低，提高企業利潤并使消費者得到更高的滿意度[1]。生產運輸協調決策模型就是實現這一目標的重要手段，但是常規的生產運輸協調模型往往不適于解決諸如海鮮、蔬菜、牛奶等物品的生產與運輸問題。Wee[2]將上述物品歸為易腐品并給出易腐品定義，即指容易腐敗、退化、變質、揮發的商品。易腐品廣泛地存在于日常生活中，且數量或質量受到運輸與生產決策的極大影響[3]，此外易腐品的生產和運輸涉及供應鏈各方利益，需要供應鏈各方協調制定生產和運輸計劃，以降低成本，提高顧客滿意度[4]。因此在易腐品供應鏈系統中進行生產運輸協調決策就顯得極其重要，具有重要的現實意義。

Yang和Wee首先提出了單一生產商單一零售商的易腐品生產運輸協同決策模型，并提出了尋找最優生產批量和運輸批量的算法[5]。通過算例分析，表明協同決策對于降低易腐品二級供應鏈系統成本是有顯著作用的。Yang和Wee擴展了Yang和Wee的模型[6]，將零售商數量推廣到多個，并引入原材料供應商；并假設在生產周期開始時，生產商按照相等運輸策略給所有零售商進行補貨；Law和Wee在Yang和Wee模型基礎上研究了允許延期支付的生產與運輸協同決策模型[7]；Maw和Tsai在Yang和Wee模型的生產商部分引入學習曲線，將生產率變成一個關于時間的函數，使模型更符合實際情況[8]。

上述文獻在構建模型的過程并沒有考慮安全庫存的問題，這可能會引起零售商缺貨問題(在本文，安全庫存是指生產周期開始時供應鏈系統的持有庫存)。因為當生產周期開始時，生產商和零售商的庫存均為0，而生產商采用的運輸策略為相等運輸策略(每隔一段時間，給零售商運輸相同批量的產品)，所以生產出需配送數量的產品之前，零售商是處于缺貨狀態。Banerjee和Yan[9]首次將安全庫存引入易腐品生產與運輸協調決策模型，從而解決了零售商在生產周期開始階段的缺貨問題，但是該模型并沒有將安全庫存作為決策變量而是設為了一個常量，這顯然是不符合實際的，因為在實際生產過程中，生產商可以決定自己的安全庫存。Suughei和Williams在Banerjee和Yan模型基礎上考慮了一個生產商和多個零售商的情況，因為假定零售商的訂貨請求是依次進行，所以問題可以轉化為一個生產商一個零售商的易腐品生產與運輸協同決策[10]。

此外，Liang, Xiao, Wee, Taleizadeh等人使用了Stackelberg博弈模型研究了VMI模式下易腐品生產與運輸協同決策問題。在VMI模式下，零售商先根據市場信息決定自己的訂貨周期和零售價格；生產商根據零售商求出的信息求出自己的生產率以及原材料的補貨周期；然后零售商再根據生產商的信息求出自己的價格，最終兩者可以達到一個均衡[11～14]。

在上述文獻中，易腐品生產與運輸協同決策模型中的運輸策略均為相等運輸策略，但是在相等運輸策略下有可能出現缺貨的情況，本文通過引入安全庫存并將其作為決策變量避免了這種情況的產生。其次，文獻中普遍使用的相等運輸策略對于供應鏈系統來說并不一定是最優運輸策略，本文在沒有對運輸批量策略作任何假定的情況下通過分析最優運輸批量序列的性質得到了最優運輸策略的形式并在此基礎上提出了一種新的運輸策略，先增后等策略。先增后等策略即在一個生產周期內，生產商分批次向零售商發貨，發貨批量遵循先增加后相等的規律。最后，之前的有些文獻沒有明確地區分生產商庫存和系統庫存的區別(如Maw和Tsai直接使用生產商庫存代替系統庫存)。系統庫存等于生產商庫存加零售商庫存，其變動曲線是光滑連續的；而生產商庫存變動曲線是連續非光滑的，因為每當生產商給零售商補貨時，生產商庫存會瞬間下降。本文將在下文詳細闡述二級供應鏈系統中零售商庫存、生產商庫存和系統庫存之間的關系。

1 問題描述與符號

1.1 問題描述

本文考慮的易腐品供應鏈系統由一個生產商和一個零售商構成。首先將系統庫存定義為生產商庫存和零售商的庫存總和，然后假定當生產商庫存降為0且零售商庫存降至安全庫存(安全庫存為保證系統不缺貨而持有的最低庫存，本文用x表示)時，生產周期開始，重新到達該狀態時，生產周期結束。在生產周期內，生產商以固定的速率進行生產直到庫存達到最高水平，這段時期稱為生產階段；隨后生產商停止生產直到該生產周期結束，這段時期稱為非生產階段。系統庫存的具體變動過程如圖1所示：生產周期開始時，系統庫存的數量為x，此時生產商庫存為零，零售商庫存為x；生產商開始生產，因為生產率大于市場需求率，所以系統庫存一開始是增加的直到生產階段結束；在非生產階段，由于只消耗不生產，所以系統庫存是減少的直到生產周期結束。在生產周期內，假定零售商的需求率是固定的且運輸時間為0，生產商按批次給零售商補貨；每當零售商庫存降為0生產商立即向零售商補貨從而避免了零售商缺貨。本文討論了兩種運輸策略：一種是相等策略(EP)，一種是先增后等運輸策略(IEP)。圖2描述了在相等運輸策略下生產商和零售商的庫存變化；圖3則描述了在最優運輸策略下生產商和零售商的庫存變化。通過圖2、圖3可以看出，在需求穩定的前提下，一定數量的安全庫存可以完全避免零售商的缺貨情況；雖然一定數量的安全庫存增加了系統的庫存成本和折損成本，但避免了缺貨損失，所以本文將安全庫存引入到模型中。本文的目的是找到最優的安全庫存、生產時間，運輸次數 以及每次的運輸批量，使得總費用最小。

圖2 相等策略下生產商零售商庫存變動過程

圖3 先增后等策略下生產商零售商庫存變動過程

1.2 基本假設條件

(1)生產商的生產率和市場需求率恒定，生產率大于需求率；

(2)不允許缺貨，且不考慮訂貨提前期，運輸時間為0；

(3)產品進入倉庫后開始變質，生產商和銷售商的變質率相同，都為常數；

(4)變質產品不能被替換和修復；

(5)只考慮一個生產周期。

1.3 符號表示

p:生產商的生產率，為固定常數；d:零售商的需求率，為固定常數；x:安全庫存水平；n:一個生產周期內的發貨次數；θ: 固定折損率，為固定常數；D:一個生產周期內的折損總量；T1:生產階段的長度；T2:非生產階段的長度；T:生產周期；ti:第i次補貨和第(i+1)次補貨時間間隔長度；tx:第一次補貨點；I1(t):在t時刻的系統庫存水平,0≤t≤T1；I2(t): 在t時刻的系統庫存水平0≤t≤T2；Ib(t):在t時刻的零售商庫存水平0≤t≤ti；Iv(t):在t時刻的生產商庫存水平；Cs:生產商的啟動成本；Co:零售商單次運輸成本；Hv:生產商單位時間單位數量的庫存持有成本；Hb:零售商單位時間單位數量的庫存持有成本；Cdv:生產商的單位折損成本；Cdb:零售商的單位折損成本；TCv: 生產商的單位時間總成本；TCb:零售商的單位時間總成本；JTC:系統單位時間總成本。

2 模型構建

本部分主要有六小節，2.1主要分析了生產周期T和安全庫存x的關系；2.2，2.3，2.4分別分析了零售商成本，生產商成本以及系統總成本，并在2.5節建立了一個初始模型；2.6證明了最佳運輸批量應該滿足的性質。

2.1 系統庫存

系統庫存變化如圖1所示，在時刻t的庫存水平可以由下面的方程表示：

(1)

(2)

I1(0)=I2(T2)=x

(3)

I1(T1)=I2(0)

(4)

對上式聯立求解得：

(5)

(6)

(7)

在生產周期T確定的情況下，因為運輸過程中假定沒有折損，系統庫存的總折損量就等于生產量減去需求量，故:

D=pT1-dT

(8)

2.2 零售商總成本

零售商的總成本由運輸成本、庫存持有成本和折損成本構成。由于在一個生產周期內，零售商的訂購次數為n, 故零售商的運輸成本為nCo。對于零售商來說，在任意ti內滿足：

(9)

Ib(ti)=0,1≤i≤n

(10)

聯立求解得：

(11)

對于第i次補貨，零售商庫存在t=0時取得最大值。由于第i次補貨與第i+1次補貨的時間間隔為ti,在這段時間內，零售商正常消耗的庫存為d×ti;于是在第i次補貨與第i+1次補貨之間零售商的折損量可以表示成下面的形式：

(12)

零售商的折損損失為：

故零售商的庫存持有成本為：

故零售商的單位時間總成本為：

(13)

2.3 生產商總成本

生產商的總成本由啟動成本、庫存持有成本和折損成本構成。對于生產商來說，單位時間庫存水平等于單位時間總庫存水平減去單位時間零售商庫存水平；單位時間折損數量等于單位時間總折損數量減去單位時間零售商折損數量。故生產商的庫存持有成本為：

生產商的折損損失為：

故生產商的單位時間總成本為：

(14)

2.4 系統總成本

系統總成本等于零售商總成本加生產商總成本。

(15)

2.5 初始模型

本文研究的問題可以用如下模型表示：

minJTC

(16)

(17)

(18)

該模型的決策變量有安全庫存x，一個生產周期內的發貨次數n以及第i次補貨和第(i+1)次補貨時間間隔長度ti。該模型的目標函數即系統單位時間總成本最低。約束條件(16)表明了ti和T的關系；約束條件(17)、(18)表明了每當零售商庫存降為0時，生產商總有足夠的庫存以滿足零售商下一批次的需求。

2.6 最佳運輸批量序列的性質

在本小節，將給出幾個最佳運輸序列性質及其證明。由于在本模型中運輸批量和訂貨批次的時間間隔長度是一一對應的，所以在對性質的說明和證明中都是使用的訂貨批次的時間間隔長度。

圖4 在L和 L′中零售商補貨點及庫存變化

在L中，零售商第i次和第j次補貨時間點表示如下：

在L′中，零售商第i次和第j次補貨時間點表示如下：

同理可以得到在序列L′下零售商在Ti，Tj處的補貨量：

要證明L′滿足約束條件，只需要證明：

Iv(Ti)>q(Ti),Iv(Tj)>q(Tj)

(1)Tj>T1

本文令y等于Ti處的總庫存，令z等于在區間[Ti,Tj]折損總量。然后可以得到下面兩個式子：

Iv(Tj)=y+p(T1-Ti)-d(Tj-T2)-z

(2)Tj≤T1

證明過程和情形(1)類似，不再詳述。

故性質1得證。

性質2給定x,T1,n條件下，零售商最佳運輸批量序列一定滿足下面的方程：

(19)

證明方程(19)表明在第一次補貨點上，生產商會將所有庫存發送給零售商。假設最佳運輸批量序列不滿足方程(19),那么一定滿足下面的不等式：

本文將分兩種情形進行討論：

(1)所有的ti(i∈{1,2,…,n})都相等

本文可以找到x*

所以在非生產階段，調整后的序列是滿足約束條件的。顯然可以通過降低T1使上式恰好滿足，此時總成本降低了，并且滿足約束條件；進而表明在ti全相等的情形下，最佳運輸批量序列一定滿足方程(20)。

(2) 所有的ti(i∈{1,2,…,n})不全相等

根據性質1一定存在一個ti使得下式成立：

ti-t1=Δt,(Δt>0)

那么調整后的序列一定滿足約束條件，且調整后的目標函數值與原序列的差可以表示成下式：

eθt1+eθti-eθ(t1+m)-eθ(t1-m)=(eθ(ti-m)-eθt1)(eθm)-1)>0

調整后的序列要優于調整前的序列，故原先的序列并不是最佳的，命題得證。

性質3給定T1和n，最佳運輸批量運輸序列一定滿足下式：

t1

證明根據性質2，可以用方程(19)替換掉約束條件(17)。在給定n和T1的情況下，將約束條件(18～19)代入目標函數，利用拉格朗日條件極值法求解，并將解代入剩余約束條件，驗證是否是可行解。具體過程如下：

(20)

對(20)求關于ti的一階偏導數：

(21)

(22)

由(22)易知，在不考慮后n-1個約束條件的情況下，最優解一定滿足：

t2=t3=…=tn-1=tn

然后檢查上式求出的t2是否滿足約束條件。如果滿足，那么t3,…,tn一定滿足約束條件，性質3得證；如果不滿足，則令j=2并且在第j次補貨點上生產商將所有庫存發送給零售商，即：

p(1-e-θtj-1)=d×(e-θtj-1)

(23)

然后將方程(23)引入模型，重新利用拉格朗日條件極值法進行求解，然后檢驗是否滿足約束條件。如果不滿足約束條件，將j加1，重復上述步驟直到找到滿足約束條件的j。

通過上述步驟，可以得到最佳運輸批量序列一定滿足下列形式：t1

3 求解過程

根據性質2，本文用方程(19)代替約束條件(18)。根據性質3，最佳運輸批量序列是先增后等的。于是本文提出一個全新的運輸策略，定義為先增后等策略(Increasing size followed by equal-size policy, IEP),具體形式如下：t1

(1)相等策略

minJTC

(24)

(26)

(2)先增后等策略

minJTC

3.1 求解算法

因為相等策略是先增后等策略的一種情況，所以這里只介紹在先增后等運輸策略下的求解算法:

Step1令j等于1;

Step2令n等于1；

Step3求解(24)，得到x和JTC最小值，分別記為xj(n)，JTCj(n)；

Step4令n加1；

Step5重復步驟3和步驟4，直到條件JTCj(n)

Step6令j等于1,重復步驟2～5直到JTCj(nj)

Step7利用方程(28～30)求出其他決策變量的值。

4 算例分析

之前關于易腐品生產庫存集成的模型的文獻使用的都是同樣的數據，本文也使用之前的數據。

生產率p為2000000單位/年，需求率d為500000單位/年，折損率θ為0.1/年，零售商的訂購成本Co為$2000，生產商的啟動成本Cs為$100000，生產商的庫存持有成本Hv為$60/單位*年，零售商的庫存持有成本Hb為$40/單位*年，生產商的折損損失Cdv為$400/單位，零售商的折損損失Cdb為$600/單位。

利用上節的算法對兩種策略分別求解，結果如表1，表2所示：

表1 先增后等策略(j=3)

表2 相等策略

在相等策略和最優運輸策略下，單位時間系統總成本隨運輸批次n的變動過程如圖5所示：

圖5 JTC隨n變化圖

通過表1、表2以及圖5，可以得到如下結論：

(1)采取協調決策情況下的發貨批次n要小于單獨考慮零售商成本的情況，大于單獨考慮生產商成本的情況；這是因為在零售商運輸固定成本較小的情況下，增加發貨批次可以有效降低零售商的庫存成本，進而降低零售商的總成本；又由于系統庫存不變，零售商庫存水平高，生產商庫存自然就比較低，所以單獨考慮生產商成本，發貨批次n往往比較小。而協調決策綜合考慮了生產商和零售商的成本，所以發貨批次n介于兩者之間。

(2)采取協調決策有效地降低了系統總成本。從表1可以看出，在采用先增后等策略的情況下，協調決策的目標函數最小值為2778866要遠遠低于生產商單獨決策的最優值3032543，也要低于零售商單獨決策的最優值當2819690。從表2可以看出，在采取相等策略的情況下，協調決策的目標函數最小值為2851534，要遠遠低于生產商單獨決策的最優值3783502，也要低于零售商單獨決策的最優值2858585。雖說采取協調決策降低了系統總成本，但是對于生產商或零售商來說卻不是最優解。為了能夠讓雙方都接受協調決策，與之對應的機制設計和激勵機制是必不可少的，這也是本文未來關注的重點。

(3)在先增后等策略中，當n=7，x=120.73時，目標函數取得最小值，最小值為：2778866，要優于相等策略的最小值2851534，節省成本占總成本的2.5%，表明先增后等運輸策略確實優于相等策略。先增后等策略情況下，可以有效降低安全庫存，從而降低了系統的平均庫存水平，從而成本要低于采取相等策略的情況。

4 敏感度分析

在敏感度分析中，本文通過增加或減少以下幾組參數的值，進而觀察目標函數值的變化情況。分析的參數如下：(Cdv,Cdb)、(Hb,Hv)、(Cs,Co)、θ、p、d。結果詳見表3和圖6。

表3 敏感度分析

通過表3、圖6可以得到如下幾個結論：

(1)目標函數值對啟動成本，運輸固定成本(Cs,Co)和零售商需求率d變動高度敏感，對于(Cdv,Cdb)、(Hb,Hv)、θ敏感，對于生產率p基本不敏感；

(2) 所有參數對目標函數值的影響都是正向的，即參數值增加會導致目標函數值的增加；

(3)(Cdv,Cdb)、(Hb,Hv)對目標函數值的影響是相同的，這應該是因為在敏感度分析中，(Cdv,Cdb)=(Hb,Hv)/θ；在θ變動的情況，影響應該不是相同的。

5 結論

本文以單一生產商單一零售商構成的二級易腐品供應鏈系統為研究對象，研究了易腐品生產與運輸協調決策模型。開展本文的研究有助于幫助生鮮食品、易揮發產品等易腐品供應鏈上的企業從供應鏈的角度出發協調管理各方庫存，降低整個供應鏈系統的成本，提高整個供應鏈的效率。

本文在前人研究的基礎上通過引入安全庫存并將其作為決策變量，建立了一個更為完善的易腐品生產運輸協調決策模型；并在沒有對運輸策略作任何假定的情況下通過分析最佳運輸批量序列的性質，即最佳運輸批量序列需要滿足單調不減、生產商第一次發貨需將庫存全部發出這兩個性質，進而在此基礎上，提出了一種先增后等的運輸策略，最終求出了在該運輸策略下的最佳的生產批量和運輸批量以及系統庫存總成本，并將其與之前文獻普遍采取的相等運輸策略進行了比較，通過算例，證實了本文提出的策略要優于相等策略；同時也證實了不管先增后等運輸策略還是相等運輸策略，協調決策都有效地降低了系統總成本。

但是本文求出的解釋在特定運輸策略下的最優解而不是原模型的最優解；從性質3本文可以得到最佳運輸序列的形式，如何從性質3推導出最佳運輸批量序列是本文未來研究的重點。此外，采取生產運輸協調決策雖然可以有效降低系統的總成本，但是對于生產商和零售商自身來說都不是最佳決策，如何讓兩者放棄自己的最佳決策而采用協調決策進而達到系統最優也是本文未來的研究重點。