需求不確定下供應鏈間古諾博弈決策分析

孫紅霞, 李 煜, 李繼華

(1.北京工商大學 商學院,北京 100048; 2.國網北京市電力公司 物資分公司,北京 100054; 3.山東華宇工學院 基礎部，山東 253034)

0 引言

現如今，為了能在日趨激烈的市場環境中獲取競爭優勢，企業間單打獨斗的競爭模式已十分罕見，取而代之的是供應鏈與供應鏈之間的競爭模式。企業往往通過采取與供應鏈上下游企業緊密合作的方式參與市場競爭，在實現“單贏”的同時實現“共贏”，從而為企業帶來更多的利潤。然而在供應鏈間的競爭中，各供應鏈上的成員是以最大化供應鏈整體利潤為目標進行決策還是以最大化自身利潤為目標進行決策都是需要考慮的問題。所以，如何為企業確定最佳決策結構，如何制定合理的產品價格從而使供應鏈獲得更多競爭優勢，是企業在供應鏈管理中需要解決的關鍵問題。因此，開展供應鏈間競爭決策分析研究對于指導供應鏈的實際運營有著重要的現實意義。

目前有關供應鏈競爭決策的研究主要集中于兩個方面。一方面是以單條供應鏈為研究對象，分析供應鏈內部的不同企業間的競爭問題[1～6]。另一方面則是考慮供應鏈與供應鏈間的競爭。肖迪和黃培清[7]采用非合作博弈的方法研究了兩條均由一個供應商和一個制造商組成的供應鏈之間的價格競爭。李伯勛等[8]以兩條包含一個制造商和一個零售商的供應鏈為研究對象，討論了兩供應鏈采用不同決策結構時鏈間Stackelberg博弈問題。孟慶春和李慧慧[9]通過考慮供應鏈間的競爭關系，結合新產銷合一理念，研究了供應鏈價值最大化問題。不少學者還將供應鏈間的競爭應用于不同領域。陳志松等[10]研究了多晶硅光伏供應鏈的競爭、合作與協調。付小勇等[11]將雙鏈競爭問題用于解決廢舊電子產品回收市場中存在處理商選擇回收渠道的問題，并構建了雙鏈競爭下處理商回收渠道選擇的博弈模型。Hafezalkotob[12]將鏈間價格競爭問題拓展到綠色供應鏈中，建立了在政府財政干預影響下的價格競爭模型。此外，一些學者還研究了需求不確定環境下的供應鏈競爭的問題。Wu等[13]研究了在需求不確定下兩條供應鏈競爭的均衡解。艾興政等[14]利用貝葉斯統計推斷方法和博弈理論構建市場不確定環境下鏈與鏈競爭的控制結構模型。之后，艾興政等[15]又構建了在需求不確定環境下兩個制造商、兩個排他性零售商構成的鏈與鏈價格競爭模型。Ai等[16]研究了在需求不確定條件下兩條銷售可持續產品的供應鏈間的競爭問題，對制造商與零售商的決策進行分析。He等[17]分析了需求不確定環境下多條供應鏈間的競爭問題。張婷婷[18]利用均值標準差期望效益函數研究了不確定市場需求下零售商是領導者，制造商是跟隨者的兩條供應鏈間的價格競爭。

近年來，隨著人們所研究問題復雜性和不確定性的提高，對模糊集理論的研究也越來越豐富。主要對區間值模糊集[19]、直覺模糊集[20]和區間值直覺模糊集[21]等進行研究，并將這些模糊集理論拓展到理論研究、解決多屬性決策問題和實際應用中。由于市場信息的不確定性以及決策環境的復雜性，對市場需求函數的變動情況的認識是模糊的，很難用精確的數據對市場需求函數進行描述，而模糊集理論恰好可以提供一種處理市場需求函數模糊性的方法。在上述文獻中研究的需求不確定供應鏈間競爭問題中，未將決策者的態度或偏好考慮其中。而在現實中，決策者的態度在供應鏈管理中起著至關重要的作用，會影響最終的決策結果，所以有必要將決策者對供應鏈風險的態度考慮其中。因此，本文利用區間數將需求函數模糊化，并引入心態指標用于描述決策者對風險的態度，構建了三種模式下的供應鏈間價格競爭模型，分析了心態指標等變量對零售價格、顧客需求量、供應鏈利潤以及最終決策結果的影響。

1 區間數及其排序

定義1[22]設A=[aL,aU]為有界閉區間，如果aL,aU∈,則稱A為區間數，用I={[aL,aU]|aL≤aU,aL,aU∈}表示上的全體區間數。當aL=aU時，記[aL,aU]=aL，即實數可視為特殊的區間數。

定義2[22]設A=[aL,aU]，B=[bL,bU],A,B∈I且aL>0,bL>0，定義運算如下：

(1)[aL,aU]+[bL,bU]=[aL+bL,aU+bU]；

(2)[aL,aU]-[bL,bU]=[aL-bU,aU-bL]；

(3)λ×[aL,aU]=[λaL,λaU]，λ>0。

定義3[23]設區間數A=[aL,aU]，對任意的α∈[0,1]，其排序指標定義如下：

FA(α)=MA+(2α-1)DA

(1)

對任意兩個區間數A=[aL,aU]和B=[bL,bU]，排序方法如下[23]：

(1)若任意α∈[0,1]，均有FA(α)≤FB(α)，則A≤B；

(2)若任意α∈[0,1]，均有FA(α)=FB(α)，則A=B；

(3)若任意α∈[0,r]?[0,1]有FA(α)≤FB(α)，而任意α∈[r,1]?[0,1]有FA(α)≥FB(α)，對于心態偏謹慎者而言，A≤B；對于心態偏激進者而言，A≥B。

2 問題描述

本文考慮市場上存在兩條包含一個制造商和一個零售商的二級供應鏈。假設兩條供應鏈經營可相互替代的同質商品，供應鏈間進行古諾博弈，供應鏈內部進行Stackelberg博弈，目標是選擇價格策略并最大化利潤。此外，根據供應鏈采用集中決策還是分散決策，鏈間博弈中產生了三種決策結構，即分散-分散決策、集中-分散決策和集中-集中決策。其中，集中決策是以最大化供應鏈整體利潤為目標進行決策；分散決策是以最大化自身利潤為目標進行決策。

為了方便討論與分析，本文首先給出如下記號：

dik：需求不確定下第k種模式第i條供應鏈的顧客需求量；ai：需求不確定下第i條供應鏈的市場規模，它描述的是當零售價為零時的需求；b：需求不確定下顧客需求對價格的敏感系數；θ：需求不確定下產品的可替代性；pik：第k種模式下零售商i的零售價格；wik：第k種模式下制造商i的批發價格；ci：制造商i的單位生產成本；πRik：需求不確定下第k種模式零售商i的利潤函數；πMik：需求不確定下第k種模式制造商i的利潤函數；πSCik：需求不確定下第k種模式供應鏈i的總利潤函數。

i=1,2;j=3-i

(2)

零售商的利潤函數可表示為

πRik=(pik-wik)×dik

(3)

制造商的利潤函數可表示為

πMik=(wik-ci)×dik

(4)

供應鏈的總利潤函數可表示為

πSCik=(pik-ci)×dik

(5)

根據公式(1)，零售商、制造商以及供應鏈總利潤函數的排序指標可依次表示為

(6)

(7)

(8)

注1平均心態指標是指第i條供應鏈上各成員心態指標的平均數。即αi=(αi1+αi2)/2，其中αi1為第i條供應鏈上制造商的心態指標；αi2為第i條供應鏈上零售商的心態指標。

注2由于利潤函數為區間數，而區間數的排序由排序指標的大小決定。因此，最大化利潤通過最大化排序指標來實現。

3 模型建立與分析

在建立供應鏈間價格競爭模型時，假設供應鏈中的產銷量相等，因為兩條供應鏈進行的是古諾博弈，因此他們同時決定各自的零售價格和批發價格。在進行分散決策時，供應鏈中的制造商為領導者，零售商為跟隨者，即鏈內進行的是Stackelberg博弈。下面將對分散-分散決策(模式1)、集中-分散決策(模式2)和集中-集中決策(模式3)這三種情況分別建立模型并求解。

3.1 模式1：分散-分散決策

在該模式下，兩條供應鏈均采用分散決策，根據假設，存在鏈內動態博弈。首先，制造商i以利潤最大化(即最大化利潤的排序指標，下文不再贅述)為目標確定批發價格wi1即：

其次，零售商i根據制造商i的批發價格wi1來確定零售價格pi1并使自身利潤最大化，即：

(9)

聯立p11與p21得

(10)

將式(10)代入式(7)，求wi1偏導，得到制造商的批發價格wi1，即：

(11)

根據公式(11)可得到分散-分散決策模式下批發價格的均衡解

(12)

再將公式(12)代入公式(10)可得到分散-分散決策模式下零售價格的均衡解

(13)

最后，將公式(13)分別代入公式(2)和(5)，可求得分散-分散決策下的顧客需求量和利潤函數。

3.2 模式2：集中-分散決策

集中-分散決策表示第一條供應鏈采用集中決策，以最大化供應鏈整體利潤為目標決策；而第二條供應鏈采用分散決策。

首先分析第一條供應鏈。由于該鏈采用集中決策，則有

由?FπSC12/?p12=0，得到

(14)

其次分析第二條供應鏈。第二條供應鏈內進行Stackelberg博弈，即：制造商作為領導者先給出批發價格，零售商根據給定的批發價格做出最優反應，根據公式(6)，采用逆向歸納法得到零售商2的零售價格

(15)

聯立公式(14)和(15)，得到

(16)

(17)

將公式(16)(17)代入公式(7)，并對w22求偏導，得到供應鏈2批發價格的均衡解

(18)

將公式(18)分別代入公式(16)(17)，可得到集中-分散決策模式下零售價格的均衡解

(19)

(20)

最后，將公式(19)(20)分別代入公式(2)和(5)，可求得集中-分散決策下的顧客需求量和利潤函數。

3.3 模式3：集中-集中決策

當兩條供應鏈都采用集中決策時，兩者均以最大化供應鏈整體利潤為目標進行決策，并確定最優的零售價格，即:

由?FπSCi3/?pi3=0，得到

(21)

聯立p13與p23可求得集中-集中決策模式下零售價格的均衡解

(22)

最后，將公式(22)分別代入公式(2)和(5)，可求得集中-集中決策下的顧客需求量和利潤函數。

3.4 結果分析

性質1在分散-分散、集中-分散和集中-集中三種競爭模式下，兩條供應鏈上的零售價格均隨著市場規模的擴大而增大。

證明將公式(13)(19)(20)(22)對Ci求偏導，可分別得到

由于一階導數均大于0，因此在這三種模式下零售價格隨著市場規模的擴大而增大。

性質2在集中-分散和集中-集中競爭模式下，顧客需求量和供應鏈利潤均隨者市場規模的擴大而增大。

證明首先分析市場規模對顧客需求量的影響。將公式(19)(20)(22)代入(1)(2)兩式并對Ci求偏導，可分別得到

將式子簡化可得一階導數大于0，因此在這兩種模式下顧客需求量均隨市場規模的擴大而增大。

同理，分別將兩種模式下的供應鏈利潤對求Ci偏導，可得供應鏈利潤隨著市場規模的擴大而增大。

性質3在集中-分散和集中-集中競爭模式下，兩條供應鏈上的零售價格均隨著產品可替代性的變大而增大。

證明將公式(19)(20)(22)對Mi求偏導，可分別得到

其中，S=4B1B2-M1M2。簡化上述式子并發現其一階導數均大于0，因此在這三種模式下零售價格隨產品可替代性的變大而增大。

4 算例分析

考慮到模型的復雜性，本節在數值算例的基礎上，分析了三種模式(分散-分散、集中-分散、集中-集中)下心態指標、產品可替代性、價格敏感系數、市場規模等關鍵變量對均衡解和最終決策結果的影響。為了重點討論關鍵變量的影響，本節采用控制變量的思想假設兩條供應鏈具有相似性，即α1=α2=α，c1=c2=c，a1=a2=a。

4.1 數值算例

假設市場上存在兩條包含一個制造商和一個零售商的二級供應鏈，分別記為供應鏈1和供應鏈2，兩條供應鏈上分別有制造商1、零售商1和制造商2、零售商2，他們經營著相互替代的同質商品，并在市場上進行價格競爭。假設兩條供應鏈的單位生產成本和市場規模相同并且兩條鏈上的決策者對供應鏈風險的態度持溫和心態，在需求不確定環境下市場規模為a1=a2=[50,60]，產品可替代性為θ=[0.4,0.5]，顧客需求對價格的敏感系數為b=[0.6,0.7]，兩條供應鏈中各成員的心態指標均為0.5，即α1=α2=0.5，單位生產成本為c1=c2=8。

根據上節的推導結果，可分別求出三種模式下的最優零售價、批發價、顧客需求量以及供應鏈利潤，如表1所示。(結果保留2位小數)

表1 三種模式下最優零售價、批發價、顧客需求量和供應鏈利潤

4.2 心態指標對競爭結果的影響分析

心態指標反映了供應鏈上的決策者對風險的態度，風險的態度會影響到供應鏈間的競爭結果?；谏鲜隼樱旅娣治鋈N模式下心態指標的變化對零售價格、顧客需求量以及供應鏈利潤的影響。圖1、2、3分別反映了決策者的風險態度(α)與零售價格、顧客需求量和供應鏈利潤的關系。以下各圖中，集中-分散決策1代表采用模式2時第一條供應鏈的有關結果，集中-分散決策2代表采用模式2時第二條供應鏈的有關結果。

圖1 不同模式下心態指標與零售價格的關系

在供應鏈競爭中，由圖1可知，當決策者的心態逐漸趨向于樂觀時，無論采取集中還是分散決策，零售價格都不斷上升。此外，無論決策者的對待風險的態度如何，供應鏈間在進行價格競爭時，采取分散決策的零售價格要遠高于采取集中決策時的情況，而且隨著風險偏好的增加，采取分散決策的零售價格的增加速度大于采取集中決策時的情況。由圖2可知，當決策者的心態逐漸趨向于樂觀時，無論采取集中還是分散決策，顧客需求量都平穩上漲。其中，采取集中決策時供應鏈的需求量高于采取分散決策時的情況，當一條供應鏈采用集中決策而另一條采用分散決策時，采用集中決策的供應鏈需求量高的優勢更明顯。這說明采用集中決策的供應鏈利用較低的零售價格優勢奪取了更多的市場，從而增加了自身的需求量。由圖3可知，當決策者的心態逐漸趨向于樂觀時，無論采取集中還是分散決策，供應鏈的利潤都持續增長。當α≤0.7289時，無論其中一條供應鏈采取集中決策還是分散決策，另一條供應鏈采用集中決策要優于采用分散決策；當α>0.7289時，此時無均衡解。

圖2 不同模式下心態指標與顧客需求量的關系

圖3 不同模式下心態指標與供應鏈利潤的關系

4.3 模糊變量對競爭決策結果的影響

基于上述分析，本節將討論當模糊變量a,b,θ分別變化時，對決策結果的影響。假設模糊變量取值的左右端點差均保持0.1不變。

4.3.1θ改變對結果的影響

當θ分別等于θ=[0,0.1]，θ=[0.1,0.2]，θ=[0.2,0.3]，θ=[0.3,0.4]，且其他變量保持不變時，不同模式下供應鏈利潤與心態指標的關系如圖4所示。結合圖3(θ=[0.4,0.5])，改變時五種決策結果見表2。

表2 不同θ下的決策結果

從結果來看，當決策者保持相同的風險態度時，相同模式下產品的可替代性越高，供應鏈的利潤越高；當風險偏好的增加時，三種模式下的供應鏈利潤均呈上升趨勢。此外，產品的可替代性會影響最終的決策結果，當θ從[0,0.1]變化到[0.3,0.4]時，集中-集中決策為該供應鏈間競爭的唯一均衡解，且此決策結果不受心態指標的影響，而當θ=[0.4,0.5]時，決策的結果受心態指標的影響。分析發現，產品的可替代性越高，決策結果受心態指標影響的可能性會越大。

4.3.2b改變對結果的影響

當b分別等于b=[0.5,0.6]，b=[0.7,0.8]，b=[0.8,0.9]，b=[0.9,1]，且其他變量保持不變時，不同模式下供應鏈利潤與心態指標的關系如圖5所示。結合圖3(b=[0.6,0.7])，b改變時五種決策結果見表3。

表3 不同b下的決策結果

從結果來看，當決策者保持相同的風險態度時，相同模式下顧客需求對價格的敏感度越高，供應鏈的利潤越低；當風險偏好的增加時，三種模式下的供應鏈利潤均呈上升趨勢。此外，價格敏感度不同對最終的決策結果會有影響，當b=[0.7,0.8]，b=[0.8,0.9]，b=[0.9,1]時，集中-集中決策為供應鏈間競爭的唯一均衡解，無論心態指標是多少，最終決策結果不變；而當b=[0.6,0.7]或b=[0.5,0.6]時，決策結果有了變化，并且不同的心態指標下的供應鏈利潤會對最終決策結果有一定影響。分析發現，顧客的需求對價格的敏感度越低，決策結果受心態指標影響的可能性會越大。

4.3.3a改變對結果的影響

當a分別等于a=[30,40]，a=[40,50]，a=[60,70]，a=[70,80]，且其他變量保持不變時，不同模式下供應鏈利潤與心態指標的關系如圖6所示。結合圖3(a=[50,60])，a改變時五種決策結果見表4。

表4 不同a下的決策結果

從結果來看，當決策者保持相同的風險態度時，相同模式下市場規模越大，供應鏈的利潤越高；當風險偏好的增加時，三種模式下的供應鏈利潤均呈上升趨勢。此外，市場規模和心態指標的不同對最終的決策結果會有影響，隨著市場規模的增大，獲得均衡解所在的心態指標的范圍也增大。分析發現，市場規模越大，決策結果受心態指標影響的可能性越小。

5 結論

本文研究了在需求不確定環境下兩條包含一個制造商和一個零售商的二級供應鏈之間的價格競爭問題，考慮了鏈間競爭中產生的分散-分散決策、集中-分散決策、集中-集中決策這三種競爭模式。通過建立供應鏈間價格競爭模型求出不同模式下供應鏈競爭的均衡解，分析了需求不確定環境下市場規模對供應鏈利潤、顧客需求量和零售價格的影響以及產品可替代性對零售價格的影響。通過算例分析出決策者對供應鏈的風險態度會影響零售價格、需求量、供應鏈利潤以及最后的決策結果，分析發現市場規模越小，顧客的需求對價格的敏感度越低，產品的可替代性越高，決策結果受心態指標影響的可能性會越大。

在未來的研究中，可在本文的基礎上將供應鏈上的一家制造商和零售商拓展為包含多家制造商與零售商的供應鏈；將兩條鏈間的競爭拓展為多鏈間的競爭。此外，本文考慮的是鏈間同時競爭的情況，考慮鏈間競爭存在先后順序，一條鏈為領導者，另一條鏈為跟隨者的情形也是今后研究的方向。