考慮不同商業目標和公平關切的動態博弈模型及復雜性研究

李秋香， 張玉豪， 黃毅敏， 齊二石

(1.河南大學 管理科學與工程研究所，河南 開封 475004； 2.河南大學 商學院，河南 開封 475004； 3.華北水利水電大學 管理與經濟學院，河南 鄭州 450046； 4.天津大學 經濟與管理學部,天津 300072)

0 引言

近些年，隨著電子商務和信息技術的迅速發展，網上直銷渠道的興起對消費者的消費方式產生了巨大的影響，網上購物越發受到消費者的青睞。數據顯示，2016年我國零售百強企業實現銷售額4.82萬億元，同比增長18.5%；《2016年中國零售百強榜名單》中僅有6家電商上榜，但其銷售額占零售百強總銷售額的51.2%。在電子商務的背景下，市場趨于多元化，市場競爭激烈，零售商的商業行為在企業決策中具有舉足輕重的作用，研究零售商的商業行為對市場競爭的影響尤為重要，如設定不同的商業目標，考慮公平關切, 風險規避等行為具有一定的理論和現實意義。

眾多學者對市場決策者的商業目標和公平關切行為做了廣泛深入的研究。先前的研究大多認為企業最大的經營目標是利潤最大化，但現實中企業的經營目標不僅關注利潤獲得，而且還關注銷售收入，市場份額甚至顧客滿意行為[1,2]，尤其在寡頭市場競爭中，搶占市場份額成為寡頭競爭的重要決策部分。Cooper等[3]和Carpenter等[4]闡述了利潤與市場份額的關系，前者指出商業經營者需要關注市場份額指標，其能度量產品的績效或品牌的市場地位，后者認為一種品牌的市場行為能夠影響競爭者的市場份額。David等[5]在對眾多研究基礎上，分析得出在通常情況下，市場份額對商業盈利有積極的影響。Biplab等[6]比較全面的研究了市場份額，利潤和其它商業目標的關系，通過建立數學市場模型的元博弈分析，預測了市場份額，利潤及其它商業因素的一系列情景。以上文獻研究了市場份額，利潤等之間的相互關聯，但沒有考慮市場份額，不同商業目標等對系統穩定性及利潤獲得的具體影響。Li等[7]分析了寡頭零售商考慮不同商業目標的情況并對建立的模型進行了復雜性分析，研究發現企業考慮市場份額會擴大系統的穩定域，但沒有考慮決策者的公平關切行為。

近些年，許多學者將市場參與者的心理行為引入供應鏈中加以研究，行為供應鏈的相關研究發展迅速。在市場競爭中，決策者通常會關注公平問題，表現出公平關切行為，在公平關切的行為下，競爭者有可能會感到不公平時以己方利益受損為代價采取行動達到懲罰對方的目的[8]。Cui等[9]認為當供應鏈成員考慮公平關切時，制造商傾向于制定簡單的轉移價格契約使供應鏈協調，并介紹和分析了制造商和零售商之間考慮相對利潤的公平關切模型。Pavlov和Katok等分別研究了公平關切行為對供應鏈協調以及公平關切作為私人信息情況下對批發價格決策的影響[10,11]。杜少甫等[12]研究了零售商具有公平關切對供應鏈協調性的影響且給出了零售商考慮絕對利潤的公平關切模型。更多學者將公平關切行為引入到不同供應鏈領域或加入其它因素綜合研究。孫玉玲等[13]分析了收益共享契約下, 供應鏈成員具有公平關切的鮮活農產品供應鏈協調問題。劉琦鈾等[14]考慮了公平關切下的鮮活農產品供應鏈收益共享契約問題。周艷菊等[15]分析了零售商考慮公平關切對低碳供應鏈最優決策及渠道協調的影響。石松等[16]研究了低碳供應鏈中制造商公平關切行為對供應鏈定價策略及利潤的影響。Li等[17]在考慮公平關切行為情景下，分析了零售商增加產品服務行為的最優價格策略。刑偉等[18]分析了雙渠道供應鏈中公平關切對合作伙伴決策的影響。Choi等[19]和Katok等[20]分別通過一個實驗性研究分析了公平關切在競爭性供應鏈關系的作用和供應鏈合同中的公平問題。Hornibrook等[21]探究了供應鏈中公平關切與組織產出的關聯。Feng等[22]分析了基于私人成本信息的公平關切下的供應鏈異常表現。Li等[23]研究了雙渠道供應鏈中考慮公平關切的制造商的廣告合作問題。Qu等[24]研究了二階雙渠道供應鏈中制造商考慮公平關切的價格最優問題。許明輝等[25]和姚鋒敏等[26]分別分析了公平關切對零售商期權合約的協調作用以及零售商主導的閉環供應鏈成員決策最優化問題。

以上文獻將公平關切行為引入到供應鏈領域，對考慮不同因素影響下的供應鏈進行了廣泛而深入的探討，主要體現在供應鏈價格決策和渠道協調等方面的研究。但很少學者對供應鏈成員同時考慮不同商業目標和公平關切的情景進行建模并進行動態復雜性研究。

本文將研究由兩個零售商組成的寡頭市場，構建雙寡頭動態價格博弈模型并對其均衡點的復雜演化特征進行分析。關于寡頭競爭及復雜性分析的研究一直受到學者關注。Rand指出在Cournot模型調整過程中，可能出現Nash均衡消失繼而出現混沌現象[27]。Puu發現雙寡頭Cournot模型中會出現混沌吸引子并討論了三寡頭博弈競爭的情景[28]。眾多學者研究了不同情景下的供應鏈價格博弈模型的復雜特質。Huang等[29]考慮企業社會責任，研究了風險規避型寡頭市場的價格演化復雜特征。Huang等[30]建立了基于非線性需求方程的Cournot-Bertrand混合模型，分析了互補品市場價格競爭的動態復雜性質。以上文獻將數學分析和數值仿真結合來分析對應的模型，為復雜系統的動態博弈研究提供了很好的方法。

本文考慮零售商具有不同商業目標和公平關切行為，首先構建寡頭動態博弈模型，運用博弈論和非線性動力學理論分析系統的均衡點及穩定性，然后用數值仿真方法對系統的動態演化過程進行分析；最后建立系統的控制模型，對市場的混沌行為進行控制。研究結論對具有不同商業目標和公平關切行為的零售商在價格博弈方面具有一定的指導作用。

1 問題描述和效用方程的構建

1.1 問題描述與模型假設

本文考慮了兩個零售商(零售商1和零售商2)銷售兩種具有相互替代作用的商品，零售商1擁有傳統線下銷售渠道和網上直銷渠道，零售商2僅有網上直銷渠道。兩個零售商在同一市場進行價格競爭但在一個博弈周期內任何一方都不知道對方的競爭價格策略。由于在一個博弈周期內，市場參與者受市場復雜因素的影響以及不能得到市場決策的全部所需信息(如決策者的認知能力，收集處理信息的能力，經濟及環境因素)，故假設零售商具有有限理性和不完全信息。零售商1具有雙重商業目標—利潤獲得和市場份額，零售商2以利潤最大化為經營目標且具有公平關切行為。

圖1 供應鏈系統

其中TS,DS分別表示傳統線下銷售渠道和網上直銷渠道，p1,p2分別是零售商1傳統線下銷售渠道和網上直銷渠道的價格，p3是零售商2網上直銷渠道銷售價格。

1.2 效用方程的構建

文中變量和參數表示符號和含義如下：

Di(t):零售商i(i=1,2, 3)第t期零售商的需求函數;a:銷售渠道的潛在的市場規模;θ:消費者對傳統線下銷售渠道的忠誠度;θa:傳統線下銷售渠道潛在的市場規模;(1-θ)a:網上直銷渠道潛在的市場規模;b:零售商i(i=1,2)的價格彈性系數;k:零售商i(i=1,2)的交叉價格彈性系數;c:零售商i(i=1,2)銷售商品的單位成本;v:零售商1的商業目標平衡系數;λ:零售商2的公平關切系數。

根據文獻[7,10]，假設零售商1和零售商2第t期的線性需求函數如下：

D1(t)=θa-bp1(t)+kp2(t)+kp3(t)

D2(t)=(1-θ)a-bp2(t)+kp1(t)+kp3(t)

(1)

D3(t)=(1-θ)a-bp3(t)+kp1(t)+kp2(t)

其中b>k>0，a足夠大滿足市場需求。

零售商1和零售商2第t期的利潤函數：

(2)

其中零售商1的利潤等于傳統銷售渠道利潤πt和網上直銷渠道利潤πd之和，πt=(p1(t)-c)D1(t),πd=(p2(t)-c)D2(t)。

Du等[12]研究了零售商的公平關切行為，給出了零售商的效用方程如下:ur=πr-β(πm-πr),其中πm,πr分別表示制造商和零售商的利潤，零售商的公平關切感知取決于與制造商絕對利潤的比較，即零售商將制造商的利潤作為利潤參考依賴點。當零售商的利潤低于制造商的利潤時，零售商的效用會減小，零售商的利潤大于制造商的利潤時，零售商的效用會增加。

Cui等[9]也給出了零售商考慮公平關切的效用方程：

u(w,p)=π(w,p)+fr(w,p)

fr(w,p)=-αmax(γΠ(w,p)-π(w,p),0)

-βmax(π(w,p)-γΠ(w,p),0)

其中Π(w,p)，π(w,p)分別表示制造商和零售商的貨幣報酬，γΠ(w,p)是零售商選擇制造商的γ部分利潤作為其利潤參考指標，α,β分別為零售商感知到不平等時，自身憤怒和憐憫情景下效用損失的敏感系數；公平感知取決于零售商利潤與制造商的部分利潤的比較，只要γΠ(w,p),π(w,p)兩者之間不相等都會使得零售商的效用小于其利潤。

本文參考文獻[12]中的零售商公平關切效用模型，得出零售商1和零售商2的效用函數方程：

(3)

可知，零售商1的銷售額與其市場份額成正方向變化，即兩者變化趨勢相同，因此可用零售商1的銷售額e1=p1D1+p2D2表示其所占的市場份額[7]。

2 離散動態博弈模型及其復雜性分析

本節建立雙寡頭零售商的離散動態模型，求解并分析均衡點的穩定性，在系統穩定域內，只要零售商的價格調整速度保持在穩定域內，零售商經過有限次的價格博弈后，系統都會穩定在納什均衡點。

2.1 離散動態博弈模型

根據效用方程(3)，可求零售商1和零售商2的邊際效用函數，對效用方程求一階偏導數可得：

(4)

基于雙方有限理性和市場信息不完全情況下，博弈雙方將本期的邊際效用函數作為下期的價格變動參考依據，即當期的邊際效用大于零，下個博弈周期零售商會提高價格；當期邊際效用小于零，下個博弈周期零售商會降低價格；由此建立動態博弈方程，表示如下：

(5)

其中α1,α2,α3分別表示零售商1和零售商2的價格調整系數且α1,α2,α3>0。

2.2 系統平衡點

令系統(5)中pi(t+1)=pi(t)，可以得到系統(5)的平衡點,Ej=(p1,p2,p3),j=1,2,…,8;系統平衡點表示如下：

下面對均衡點的穩定性進行分析驗證，系統(5)的Jacobi矩陣J(p1,p2,p3)表示如下：

(6)

其中:J11=1+α1(αθ+b(cv-4p1)+k(2p2+p3-cv)),J22=1+α2(a-4bp2+bcv+k(2p1+p3-cv)-αθ),J33=1+α3(b(c-4p3)(1+λ)+a(1-θ)(1+λ)+k(p1+p2+cλ+p1λ))。

將均衡點依次帶入Jacobi矩陣，并求得各平衡點相應的特征值，如果特征值非零且大于1，則此均衡點為非穩定點。

以E1為例，得到對應的Jacobi矩陣

求得J(E1)的非0特征值分別為1+α1(aθ+bcv-kcv)，1+α2(a+bcv-k(aθ+cv),1+α3(bc(1+λ)+a(1-θ)(1+λ)+kcλ)，根據上述對各參數的范圍定義可得以上特征值均大于1，故E1為不穩定均衡點，同理可得E2,…,E7均為不穩定均衡點，E8是系統(5)唯一的Nash均衡點，其穩定性需要滿足Routh-Hurwitz穩定判據，Jacobi的特征多項式表示如下：

F(ξ)=A0+A1ξ+A2ξ2+ξ3

(7)

系統穩定需要滿足的條件如下:

其中A0=J11J23J32+J12J21J33+J13J22J31-J11J22J33-J13J21J32-J12J23J31,A1=J11J22+J11J33+J22J33-J13J31-J12J21-J23J32,A2=-J11-J22-J33。

上述已知,b>k>0,-2b<0,4b2-4k2>0,故一階主子式小于0，二階主子式大于0，所以海塞矩陣是負定矩陣，即零售商1的效用方程存在唯一最大值。

3 數值模擬

通過數值仿真分析不同參數組合下不同商業目標系數和公平關切水平對系統穩定性及利潤的影響。

3.1 穩定域分析

本節采用數值模擬分析系統(5)的穩定性及動態行為。根據市場實際情況，取系統參數如下:a=1,b=0.5,k=0.2,c=0.1,θ=0.6。根據系統穩定性條件，模擬給出零售商1和2的系統穩定域。

(1)商業目標平衡系數對系統穩定性的影響

圖2、圖3和圖4描述了在其它參數不變的情況下，商業目標平衡系數變化對系統穩定域的影響，其穩定域坐標軸由零售商的價格調整速度αi(i=1,2,3)表示，在由αi為坐標軸的穩定域中，只要零售商的價格調整速度取值沒有超過穩定域，則零售商經過有限次的價格博弈之后，價格依然會穩定在納什均衡點。可以看出，α3=0.5和v分別取0,0.5,1時，零售商1的傳統銷售渠道和網上直銷渠道的價格調整速度穩定范圍減小，穩定域變小，市場競爭減弱。

結論1雙寡頭零售商競爭中，零售商擁有傳統線下銷售渠道和網上直銷渠道時，考慮不同的商業目標會使其穩定域減小，系統中市場競爭減弱。

圖2 v=0,λ=α3=0.5,時系統(5)三維穩定域和二維穩定域

圖3 v=0.5,λ=α3=0.5,時系統(5)三維穩定域和二維穩定域

圖4 v=1,λ=α3=0.5,時系統(5)三維穩定域和二維穩定域

(2)公平關切水平對系統穩定性的影響

由αi(i=1,2,3)為坐標軸形成的圖5、圖6和圖7依次分析了αi=0.5時，λ=0,0.5,1的情景，三維穩定域隨λ的增大而減小；二維穩定域中，α2的范圍變化微小，α3的數值范圍較大幅度減小。零售商2的公平關切行為對系統的穩定性產生很大影響，公平關切水平越高，對應的穩定域越小。

結論2零售商1和零售商2組成的系統中，零售商2的公平關切行為影響自身的穩定域，且公平關切水平越高，自身穩價格調整的穩定范圍變小，系統穩定域變小，市場競爭減弱。

圖7 λ=1,α1=0.5,V=0.6時系統(5)三維穩定域和二維穩定域

3.2 價格調整系數對系統價格博弈的影響

通過對系統穩定域的分析可知，當某一零售商的價格調整系數超過穩定域的范圍時，系統會失去穩定性甚至出現混沌現象；價格分岔圖及李雅普諾夫指數(LLE)是證明系統混沌的重要依據。下面分析零售商1和零售商2的價格調整系數對系統的影響。

圖9 α1=α3=0.5,λ=0.5時系統(5)的價格博弈演化圖和李雅普諾夫指數

圖8描述了當α2=α3=0.5時，p1,p2,p3隨α1變化的價格演化圖，當α1<1.53時，系統價格處于穩定狀態，當α1=1.53時系統價格出現二周期分岔現象，隨著α1的不斷增大，系統經歷倍周期分岔最后進入混沌狀態，此時系統失去穩定且變得不可預測；對應的李雅普諾夫指數驗證了價格博弈的演化過程；當LLE小于0時，系統處于穩定狀態，當LLE等于0時，系統出現分岔現象，當LLE大于0時，系統處于混沌狀態。圖9是系統隨α2變化的價格博弈過程，當α2=1.74,價格出現二周期分岔現象，隨后保持穩定狀態，對應的李雅普諾夫指數是負數；當α2>2.3時，零售商1將退出市場競爭。圖10為系統隨零售商2的價格調整系數α3變化的價格動態過程，當α3=1.55時價格出現二周期分岔現象，經歷倍周期分岔最后進入混沌狀態。

結論3市場競爭中，零售商的價格調整系數應該控制在一定范圍內，當某一零售商的價格調整系數過大時，系統價格會出現分岔現象甚至陷入混沌狀態。

3.3 公平關切水平對系統價格博弈的影響

下面研究零售商2的公平關切水平對系統價格演化過程的影響，以α3的變化為例。

圖12 α1=α2=0.5,λ=1時系統(5)的價格動態變化圖和李雅普諾夫指數

通過對圖10、圖11和圖12分析可知，當α1=α2=0.5時，系統的穩定性隨取值的增大而減小，λ=0時，系統維持在穩定狀態，λ=1時，系統很快進入混沌狀態且零售商2的價格調整速度范圍較大程度的縮小。

結論4考慮公平關切會導致系統較早陷入混沌狀態且公平關切的水平越高，系統越容易進入混沌狀態。

圖13 α1=α2=0.5系統(5)的系統混沌吸引子

圖14 α1=α2=0.5系統(5)的價格時間序列

圖15 α1=0.5,α2=1.0,α3分別為1.6和2.3時系統敏感性且價格初始值為(1.216,1.073,0.843)和(1.216,1.073,0.844)

圖13為系統的混沌吸引子，是系統混沌狀態的重要特性之一，價格分布在不穩定空間軌道上，驗證了價格博弈的動態性。圖14表示系統價格的時間序列，當α3=2.0時價格出現四周期分岔，當α3=2.3時，p1,p2,p3的變化處于無序狀態，此時系統陷入混沌狀態。圖15為混沌系統的另一性質—混沌系統對初值的敏感依賴性，系統初始值有微小的變化，就會引起系統價格的劇烈波動，保持p1,p2初始值不變，p3的初始值變化0.001，系統就會發生劇烈變化；當α3=1.6時，p1,p2,p3經歷較大波動后逐漸回到初始值，即系統恢復穩定性，當α3=2.3時，p1,p2,p3出現連續無規律的波動，此時系統陷入混沌狀態。

3.4 價格調整速度,公平關切水平對零售商利潤的影響

利潤是評價零售商績效的重要指標之一。首先以α3變化為例分析價格調整速度對零售商利潤影響，隨后分析價格調整速度，公平關切水平雙因素同時對零售商利潤的影響。圖16中,當α3=2.3時，系統處于混沌狀態，零售商1和零售商2的利潤劇烈波動且大部分利潤低于穩定時利潤值，零售商2的利潤甚至出現負值，這不利于零售商利潤的最大化。平均利潤隨α3從0到2.3變化的過程中，系統穩定狀態的利潤平均值高于系統混沌狀態的利潤平均值，α3越大，零售商利潤損失越大。

圖17中(a),(b)分別描述了系統在穩定狀態和混沌狀態下，零售商利潤隨公平關切水平變化的情景，可知零售商2考慮公平關切不利于供應鏈參與者利潤最大化的實現且公平關切水平越高，利潤損失越大。圖18用三維網格圖顯示了零售商利潤同時隨價格調整速度和公平關切水平變化的情景，當λ,α3維持在較小數值時，系統利潤平穩不變，隨著兩參數值的增大，系統最后陷入混沌狀態且大部分利潤值低于系統穩定狀態利潤值；因此零售商2在市場競爭中,保持參數值處于適當范圍有利于自身利潤的穩定和提高。

圖16 α1=α2=0.5,α3=2.3時的利潤動態圖和隨變化的平均利潤圖

圖17 零售商平均利潤隨公平關切水平的變化圖

圖18 零售商利潤隨λ,α3的變化圖

結論5系統穩定狀態的平均利潤值大于系統混沌狀態的平均利潤值，零售商價格調整系數和公平關切水平過大不利于利潤最大化的實現，零售商的價格調整系數應該控制在一定范圍內，系統才能處于有序的競爭狀態且有利于市場競爭者實現商業目標。

4 混沌控制

在零售商1和零售商2組成的寡頭市場中，零售商的價格調整速度達到某一個臨界值時，系統會出現混沌狀態，此時系統處于無序狀態且不可預測，零售商的價格和利潤波動劇烈，甚至出現負值導致零售商的平均利潤下降，對零售商的利潤最大化目標很不利，因此零售商均有抑制競爭進入混沌狀態的動機，所以需要運用一些控制方法使系統恢復穩定狀態。

本文采用狀態反饋控制的方法對系統(5)進行混沌控制，控制系統表示如下形式：

假設初始系統(5)表示為pi(i+1)=fi(p1,p2,p3)(i=1,2,3),其控制系統為：

pi(t+1)=(1-u)fi(p1,p2,p3)+upi(t)(i=1,2,3)

(8)

其中u是控制因子，可以認為是政府對價格調整速度的管制，或是市場競爭者的學習，市場適應能力；當u=0時系統(8)退化為系統(5)。

圖19 控制因子u對價格動態博弈過程的影響

由圖19的動態演化過程可知，當控制因子u達到某-數值時系統由混沌狀態變為穩定狀態，系統的混沌得到有效控制，零售商的利潤同時也會整體提高。

5 結論

本文考慮零售商的不同的商業目標和公平關切行為，構建了雙寡頭零售商的動態價格博弈模型。運用非線性動力學和混沌理論對動態價格博弈模型的穩定性及參數對模型穩定性的影響進行了分析，得到以下結論：

(1)雙寡頭零售商競爭中，零售商擁有線下傳統銷售渠道和網上直銷渠道時，考慮不同的商業目標會使其穩定域減小，系統中市場競爭減弱。

(2)在零售商雙寡頭市場中，零售商考慮公平關切時會使其自身的穩定域減小且公平關切水平越高，相應的穩定域越小，不利于市場競爭的穩定性。

(3)零售商在市場競爭中，價格調整系數應該控制在穩定域內，當某一零售商的價格調整系數超過穩定域范圍時，即零售商的價格調整速度過快時，系統會出現分岔現象甚至陷入混沌狀態。

(4)零售商公平關切行為會導致系統陷入混沌狀態且公平關切的水平越高，系統越容易進入混沌狀態。

(5)系統穩定狀態的平均利潤值大于系統混沌狀態的平均利潤值，零售商價格調整系數和公平關切水平過大不利于利潤最大化的實現。價格調整系數越大，利潤損失越大。

本文只分析了一個零售商考慮公平關切時的情景，現實中，雙方零售商都有公平關切行為。考慮雙方零售商的公平關切行為、顧客需求的不確定性和顧客的異質性等情景有待進一步研究。