高考題中解答存在漏洞的四道題

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

試題1 (2017年高考全國Ⅲ卷文科數學第19題)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.

(1)證明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.

為了方便表述，現把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

解(1)取AC的中點O，連接DO，BO，如圖1.

因為AD=CD，所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.

從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

(2)連接EO.

由(1)及題設知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在Rt△AOB中，BO2+AO2=AB2.

又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，

故∠DOB=90°.

上述解答，漏洞在哪里？漏在哪一步？漏什么？我們先看下面的結論1.

證明方法1(解析幾何法) 以直角頂點C為原點，邊CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2.

方法3(幾何畫板法) 借助幾何畫板，可畫出如圖3的圖，由圖直觀看到，點D不一定是斜邊AB的中點.

漏什么？這個漏洞怎么補？我們先看下面的結論2.

此結論通過作圖，如圖4，觀察圖形就可理解.

由上述結論2我們可看出，上述高考題的解答，漏了說明OB與OD的關系式或OB與AB的關系式或OD與AB的關系式這個條件.

這個漏洞可以說是很嚴重的，甚至致使了解答上的錯誤，也很容易誤導學生.當然這也許是命題者的疏忽，但是由于數學是一門非常嚴謹的自然科學，所以我們都要引以為戒！

許多學生和老師都認為這道高考題是道容易題，筆者認為是道難題，難在不容易嚴謹地判斷出E是BD的中點.這種觀點，可能命題者不同意，也可能命題者在命制這道高考題時，沒有意識到嚴格地判斷出E是BD的中點確實不容易.

試題2 (2017年高考北京卷文科數學第15題)已知等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5.

(1)求{an}的通項公式；

(2)求和：b1+b3+b5+…+b2n-1.

為了方便表述，現把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

解(1)設等差數列{an}的公差為d，

因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2.

所以an=2n-1.

(2)設等比數列{bn}的公比為q，

因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3.

所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1，

(1)求f(x)的最小正周期；

為了方便表述，現把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

為了方便表述，現把命題者(官方)給出的解答照錄如下：

由an=(1-an-1)an-1，得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.

所以Sn=a1-an+1， ①

命題者(官方)給出的解答過程中，有三處漏洞，甚至可以說是有三處錯誤，第一、二處漏洞是③處、④處的等號不應該有，否則an+1=an=0.第三處漏洞是⑤處不應該是“閉”，否則an=0.

另外，筆者有一些不成熟想法：雖然在證明不等式時，可以不考慮等號成立的條件，再說，“3>2”可以改寫為“3≥2”，“3=3”可以改寫為“3≥3”，但是由于數學是一門非常嚴謹的自然科學，所以我們在教學過程和學習數學的過程中都會很自然地想到等號成立的條件.在此高考試題的第(1)問和第(2)問待證不等式左邊的等號既然不成立，這個等號就不要加上去了，否則會誤導考生，甚至會影響考生的前途和命運.