一道用微元法求解物理題的推廣

韓福濟

(湖北省武漢市華中科技大學附屬中學 430074)

一、題目及微元法

例1 如圖1(a)，一質量為m的均勻閉合細繩套在一光滑鐵圓錐上，鐵圓錐半頂角為α，求解當細繩平衡時，繩中的張力為多少？

分析：細繩在光滑鐵圓錐上的每點受力相同，如以整個細繩為研究對象，則問題變得很難，而將細繩用微元法化為小的微分弧段，也可以認為是質點為研究對象，就可以分析其受力，從而將問題迎刃而解.

解將細繩劃分為n個小弧段，取其中的一個弧段微元為來研究.

假設繩圈的半徑為R，這個小弧段的圓心角為θ,質量為Δm，微元的受力分析如圖1(b)所示：重力為Δmg，彈力為N，合力為T，有平衡條件得到下列式子：

(1)N·cosα=T，N·sinα=Δmg.

現在設微元弧段的兩個端點的張力分別是T1、T2，并且它們的大小相等，其合力T，方向指向原點O. 由力的分解可知：

并且由于繩圈是均勻的，所以有

聯立(1)(2)(3)式，得到：

二、將圓錐體推廣為光滑鐵球體

例2 如圖2(c)，一質量為m的均勻閉合細繩套在一光滑鐵球體上，鐵球體的半徑為R，繩套的長度為L，且繩套長度小于球的大圓周長. 求解當細繩平衡時，繩中的張力為多少？

分析1 類比于例1，進行分析計算.

重力為Δmg，彈力為N，合力為T，有平衡條件得到下列式子：

現在設微元弧段的兩個端點的張力分別是T1、T2，并且它們的大小相等，其合力T，方向指向原點O. 由力的分解可知：

并且由于繩圈是均勻的，所以有

聯立(5)(6)(7)式，得到：

分析2 在球體上，假設有一個圓錐體相切于繩套處，如圖3. 則問題轉化為例1中的圓錐體上繩套的張力問題，就可用例1的結果.

所以利用例1的結果就得到所求的繩子的張力為

三、將圓錐體推廣為更一般的旋轉體

例3 如圖4，一質量為m的均勻閉合細繩套在一光滑的花瓶上，花瓶表面是一個旋轉體的表面. 旋轉體表面是由函數y=1-x2繞著y軸旋轉一周得到的，繩套的長度為L. 求解當細繩平衡時，繩中的張力為多少？

分析在這個花瓶上，也同樣假設有一個圓錐體相切于繩套處，如圖4. 則問題轉化為例1中的圓錐體上繩套的張力問題.

解(轉化法) 假設有一個圓錐體相切于繩套處，如圖4. 那么鐵球體上繩套中的張力就變為圓錐體上的繩套的張力問題. 所以只需要求出相切的圓錐體的半頂角α即可.

所以利用例1的結果就得到所求的繩子的張力為

最后再留一個問題，對于更一般形狀的，比如光滑的橢球體，是否有解決辦法？