數學教學 理解先行
——以“對三角形穩定性的思考”為例

■劉思武

(作者單位：南京外國語學校仙林分校燕子磯校區)

章建躍教授提出的“理解數學，理解學生，理解教學”中，第一個理解就是讓教師要理解數學，這是數學教師必須做到的。教師理解數學是提高教學質量的前提，在此基礎上才能談理解學生，理解教學，踐行培養學生的核心素養，才有可能發揮數學的育人作用。

蘇科版數學教材八年級第一章就是全等三角形，其中判定方法“SSS”之后提出了三角形的穩定性。一講到穩定性，那從小學就開始講了啊，學生還能不知道，不就是拉不動嘛！哦，是嗎？還真的有愛思考的學生提出了質疑：當四根鋼條周圍焊接起來也是拉不動的，當三根皮筋構成三角形，它的形狀是能夠改變的呢！這里為什么出現大部分學生認為穩定性就是拉不動，教師又是如何理解的呢？這值得思考，讓我們深入探究一番。

關于三角形的穩定性，小學教師在備課時是怎么想的呢？三角形的穩定性為什么在給出“SSS”時提出呢？沒有真正的理解估計就很難把握其本質，更不用說理解學生、理解教學，所以章建躍教授在三個理解中將理解數學放在第一位是有所思考的，這為教師的自我提升提供了方向。

一、三角形穩定性的內涵

李邦河院士曾說，數學是需要玩概念的，而理解數學概念就要做到從表面到本質達到結構上的一種進步。三角形的穩定性到底是什么呢？這里有兩個關鍵詞，三角形和穩定性。一般來說，穩定性是指不易改變或保持其原有屬性的能力，穩定性又可以分為結構性的、系統的、過程的三種。回到三角形的定義：三條線段首尾相連所圍成的封閉圖形。這種連接是鉸鏈，而不是焊接。四邊形的不穩性也是因為鉸鏈可以隨著外力的作用而“變形”，所以了解這個就讓學生知曉即使梯子包含了四邊形卻為什么是“穩定”的，這個穩定性是物理層面的，指在外力作用下形狀不變，因為這個圖形的四邊都是固定連接，涉及物理中受力和材料性質的分析。

幾何圖形中的穩定性是指幾何圖形形狀的確定性，當三邊確定后，三個角的大小就確定了，也就是形狀、大小就跟著確定下來。即已知三邊得出三角形的三個角，從而面積、周長也就確定了，三角形的這種屬性就叫做三角形的穩定性。從三角形出現，這個性質就存在了，與有無外力拉動毫無關系，如由三根棉線構成的三角形在外力的作用下“穩”嗎？所以三角形的穩定性更多的是“定”，即唯一性。

數學教師應該擁有的一項基本功是舉例子。通過研究，筆者發現平時我們經常論及三角形穩定性在生活中的應用的例子有些是不合適的。在學習了三角形的穩定性之后，教師會讓學生舉一些生活中相關的例子，即三角形穩定性的外在表現。有學生會以三腳架為例，其實深入研究之后，發現原來三腳架的選擇不是因為三角形的穩定性，而是從物理的受力分析、節省材料以及攜帶方便等角度來考慮的。沒有研究就沒有發言權，理解數學本質是數學教師需要首先做到的。

二、三角形穩定性的數學證明

三角形的穩定性還可以通過實驗驗證，數學概念應更多地回歸到數學解釋上，即本質的探究。

已知：如圖1，在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。

求證：△ABC的形狀大小確定。

解析：要證明三角形的形狀大小確定，即證明△ABC 的三邊確定。我們不妨假設角的大小不確定，即存在一個三角形與△ABC三邊分別相等，但是對應角不相等。為了操作方便，按照圖2進行構圖，BA=BD，CD=CA，假設∠BAC≠∠BDC。連接AD，因為AB=DB，則∠BAD=∠BDA。由于AC=DC，則∠CAD=∠CDA。因為整體大于部分，所以∠ADC大于∠ADB，由此∠CAD大于∠BAD，這與整體大于部分相矛盾，從而假設不成立，即∠BAC=∠BDC。

圖1

圖2

三、理解數學的教學意義

理解數學概念，深入到數學內部就能夠真正弄清楚數學知識的內在聯系。數學教育的目的不僅僅是教授學生知識與技能，更是教會學生發現知識之間的內在聯系，構建一種知識結構，形成全局觀，看待問題能夠有一種高位認識，從而真正培養學生思考的習慣，以便將來進入社會即使忘掉所有的數學知識，但是用數學的眼光看待問題、用數學邏輯解決問題的能力仍然不會遺忘。因此，我們教師首先要理解數學，抓住本質，熟知每個知識點之間的聯系，整體地思考問題，從細處去理解知識點，并且能夠生發出一幅幅巨大的知識網，這一幅幅巨大的知識網匯聚在一起最后就形成了數學的大廈，真正能夠讓學生受益終生。

理解數學說起來容易，做起來難，作為教師首先要有深入的思考，能夠理解教材的章節設置，深悟其中的邏輯合理性，從而在教學中才更有發言權。在進行教學設計時能夠更加符合數學的內在聯系，讓學生收獲到高于知識點之上的東西：數學思想！如，在進行勾股定理教學設計時，是不是該研究直接給出三邊的平方關系是否合理？是否該考慮該章節在整個教材中的地位，放在整個知識框架中里去思考？是否應該重新設計，讓學生慢慢探索兩條直角邊與斜邊的關系，讓學生多一點探究，才更能夠體現數學的味道？為什么一元二次方程有時叫做解，有時叫做根？三角函數以前用線段的比來定義，現在為什么又叫做三角函數呢？雖然有些概念是規則下的定義，但是細細思考還是很有味道的，能夠發現數學的發展史。隨著研究的不斷深入，或者帶著問題去研究，你會得到更多的樂趣，這可能就是探究的樂趣。孫子兵法：求其上，得其中；取其中，得其下；求其下，必敗。這句話用在教師對數學的理解上也很有啟發。教師高位理解數學，進入到數學內部，才能有高效的教學。