基于UPM-LPM的增強(qiáng)指數(shù)投資策略

黃金波，吳莉莉，尤亦玲

(1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.珠三角科技金融產(chǎn)業(yè)協(xié)同創(chuàng)新發(fā)展中心，廣東 廣州 510320)

1 引言

近年來，隨著我國(guó)股票市場(chǎng)做空機(jī)制的引入和金融衍生產(chǎn)品的相繼推出，量化交易已然成為當(dāng)前業(yè)界和學(xué)界討論的熱點(diǎn)。所謂量化交易是指以先進(jìn)的數(shù)學(xué)模型替代人為的主觀判斷，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)從龐大的歷史數(shù)據(jù)中海選能帶來超額收益的多種“大概率”事件以制定策略，極大地減少了投資者情緒波動(dòng)的影響，避免在市場(chǎng)極度狂熱或悲觀的情況下做出非理性的投資決策。量化交易離不開產(chǎn)生量化投資策略的各類模型，市場(chǎng)上存在許多基于不同理念構(gòu)建的量化投資模型，其中，指數(shù)跟蹤模型在業(yè)界特別受歡迎。在國(guó)外，指數(shù)跟蹤模型很早就被養(yǎng)老基金、共同基金和對(duì)沖基金的管理人廣泛運(yùn)用于資產(chǎn)配置和量化選股。指數(shù)跟蹤模型的投資理念是：市場(chǎng)組合的表現(xiàn)是最好的，投資者只需構(gòu)建跟蹤組合緊跟市場(chǎng)的走勢(shì)，就能獲得市場(chǎng)平均收益。指數(shù)跟蹤模型在業(yè)界受到普遍歡迎的理論依據(jù)是：長(zhǎng)期來看，經(jīng)濟(jì)體總有持續(xù)增長(zhǎng)的動(dòng)力，反映實(shí)體經(jīng)濟(jì)的股票市場(chǎng)也應(yīng)有長(zhǎng)期的上漲趨勢(shì)；與此同時(shí)，大量的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，那些通過主動(dòng)調(diào)整來企圖戰(zhàn)勝市場(chǎng)的投資策略，在短期內(nèi)也許能取得較好收益，但長(zhǎng)期來看絕大部分主動(dòng)投資策略的表現(xiàn)不如市場(chǎng)組合，而且由于頻繁的頭寸調(diào)整產(chǎn)生的交易成本會(huì)消耗大量的收益[1]。

指數(shù)跟蹤模型的核心是界定跟蹤誤差。Roll[2]開創(chuàng)性地將跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率之差的標(biāo)準(zhǔn)差定義為跟蹤誤差波動(dòng)率(Tracking Error Volatility, TEV)，進(jìn)而提出TEV最小化模型和均值-TEV模型，并指出均值-TEV有效的組合通常是均值-方差無(wú)效的。隨后，Kwiatkowski[3], Coleman等[4]及Alexander和Baptista[5]沿用了TEV的概念。但是Beasley等[1]認(rèn)為TEV指標(biāo)是不合理的，如果跟蹤組合收益率和指數(shù)收益率之差為常數(shù)，計(jì)算出的TEV是零，但是跟蹤誤差顯然不為零。所以，Beasley等[1]和Lobo等[6]使用跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率之差的均方差作為跟蹤誤差，而Clarke等[7]將跟蹤誤差定義為跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率之差的絕對(duì)值，Rudolf等[8]基于跟蹤組合收益率和指數(shù)收益率的絕對(duì)離差，給出四個(gè)不同的跟蹤誤差公式。目前，指數(shù)跟蹤模型的研究主要根據(jù)不同的理念來定義跟蹤誤差，并加入交易成本、權(quán)重約束、風(fēng)險(xiǎn)約束等各類現(xiàn)實(shí)約束構(gòu)建指數(shù)跟蹤模型[9-11]，進(jìn)一步尋找求解技術(shù)來對(duì)模型進(jìn)行求解[1,12-15]。

雖然指數(shù)跟蹤投資策略的理念和模型已經(jīng)非常成熟，但是增強(qiáng)指數(shù)投資策略是近年才被提出的新的研究領(lǐng)域[16-17]。所謂增強(qiáng)指數(shù)是指在跟蹤指數(shù)趨勢(shì)的同時(shí)，獲取超過指數(shù)平均收益的超額收益[18-19]。增強(qiáng)指數(shù)模型源于但不同于指數(shù)跟蹤模型。二者的相同點(diǎn)是無(wú)論指數(shù)上升還是下降，二者要跟蹤指數(shù)的趨勢(shì)；不同點(diǎn)在于指數(shù)跟蹤模型盡可能完美復(fù)制指數(shù)，而增強(qiáng)指數(shù)模型希望產(chǎn)生一個(gè)偏離指數(shù)的絕對(duì)收益。Canakgoz和Beasley[20]首次明確區(qū)分了指數(shù)跟蹤模型和增強(qiáng)指數(shù)模型，并對(duì)這兩方面的文獻(xiàn)進(jìn)行了較全面評(píng)述。Roman等[16]基于二階隨機(jī)占優(yōu)理論構(gòu)建增強(qiáng)指數(shù)模型并運(yùn)用割平面法 (cutting plane approach)進(jìn)行求解。Valle等[21]提出三階段方法 (three-stage solution approach)來選擇絕對(duì)收益組合，并且展示該方法可以拓展到增強(qiáng)指數(shù)模型。Guastaroba等[22]基于Omega ratio提出兩個(gè)新的增強(qiáng)指數(shù)模型，并且展示每個(gè)模型都可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，當(dāng)加入基數(shù)約束和頭寸約束后，該模型可轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃問題。Filippi等[17]將增強(qiáng)指數(shù)模型的目標(biāo)定義為最大化超額收益且最小化跟蹤誤差，并將其轉(zhuǎn)化為雙目標(biāo)混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，進(jìn)而運(yùn)用雙目標(biāo)啟發(fā)式算法來求解。與指數(shù)跟蹤模型類似，目前增強(qiáng)指數(shù)模型研究的差別主要在于構(gòu)建不同的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并發(fā)展出不同的計(jì)算方法對(duì)模型進(jìn)行求解[16,20]。

在本文，我們基于LPM與UPM構(gòu)建不同于已有研究的增強(qiáng)指數(shù)模型。LPM在文獻(xiàn)中已經(jīng)被廣泛用來構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖和投資組合選擇模型，如戴曉鳳和梁巨方[23]運(yùn)用Copula函數(shù)描述資產(chǎn)之間相關(guān)性，用LPM度量風(fēng)險(xiǎn)，尋找最優(yōu)套期保值比率。LPM是指投資收益低于目標(biāo)收益部分(未達(dá)標(biāo)部分)的期望值[24]，我們將UPM定義為投資收益超出目標(biāo)收益部分的期望。如果取投資收益為跟蹤組合收益率，目標(biāo)收益為指數(shù)收益率，則LPM度量跟蹤組合收益低于指數(shù)收益部分的平均損失，UPM度量跟蹤組合收益高于指數(shù)收益部分的超額收益。顯然，理想的投資策略是最小化LPM而最大化UPM。為了避免雙目標(biāo)優(yōu)化問題帶來的復(fù)雜性，我們最大化UPM與LPM的比值，從而構(gòu)建基于UPM-LPM之比的增強(qiáng)指數(shù)模型。

由于LPM和UPM的定義中含了最大值函數(shù)和兩個(gè)待定參數(shù)，導(dǎo)致基于UPM-LPM之比的優(yōu)化問題較難處理。在一般情況下，基于UPM-LPM的優(yōu)化模型是一個(gè)復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，我們很難得到模型的解析解[24]，當(dāng)跟蹤組合的資產(chǎn)數(shù)量較大時(shí)，我們甚至很難得到模型的數(shù)值解。因此，為解決該模型的求解復(fù)雜性和高維投資組合選擇的“維數(shù)災(zāi)難”問題，本文運(yùn)用非參數(shù)估計(jì)中的核估計(jì)方法直接得到跟蹤組合的密度函數(shù)，而無(wú)需考慮組合中各資產(chǎn)之間的聯(lián)合分布，大幅度降低了估計(jì)的維度，克服“維數(shù)災(zāi)難”問題。實(shí)際上，運(yùn)用非參數(shù)估計(jì)方法對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)度量進(jìn)行估計(jì)是近年研究的熱門話題，王江濤和周勇[25]研究了高頻波動(dòng)率非參數(shù)估計(jì)中的窗寬選擇問題，而黃金波等[26]給出了非參數(shù)框架下的均值-VaR投資組合問題。進(jìn)一步，基于跟蹤組合的核密度函數(shù)得到跟蹤組合的LPM和UPM核估計(jì)量，理論上，LPM和UPM的核估計(jì)量是組合頭寸的光滑函數(shù)，具有任意階導(dǎo)數(shù)，便于優(yōu)化問題求解。最后，本文運(yùn)用滬深股票市場(chǎng)上五個(gè)常用指數(shù)及其成份股數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膶?shí)用性。

2 增強(qiáng)指數(shù)模型

與傳統(tǒng)的均值-風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇模型一樣，增強(qiáng)指數(shù)模型也要同時(shí)權(quán)衡跟蹤組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)，與傳統(tǒng)的均值-風(fēng)險(xiǎn)模型不同的是，增強(qiáng)指數(shù)模型要在權(quán)衡收益與風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)兼顧跟蹤指數(shù)趨勢(shì)。因此，增強(qiáng)指數(shù)投資策略在建模過程中就需要將指數(shù)的表現(xiàn)作為參考點(diǎn)，來度量跟蹤組合的超額收益和損失，這一思想與LPM和UPM的定義非常契合，因此，本節(jié)構(gòu)建基于LPM和UPM的增強(qiáng)指數(shù)模型，并運(yùn)用非參數(shù)核估計(jì)方法對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。

2.1 UPM/LPM的定義與估計(jì)

Markowitz[27]提出的方差指標(biāo)開啟了風(fēng)險(xiǎn)量化分析的研究。Roll[2]運(yùn)用方差來度量指數(shù)跟蹤的誤差建立指數(shù)跟蹤模型，但經(jīng)典的方差指標(biāo)是對(duì)稱風(fēng)險(xiǎn)度量工具，既把偏離均值的下端損失看作風(fēng)險(xiǎn)，也把偏離均值的上端收益看作風(fēng)險(xiǎn)，顯然不符合人們僅把損失視為風(fēng)險(xiǎn)的心理認(rèn)知。鑒于方差指標(biāo)的缺陷，Bawa[28-29]和Fishburn[30]提出下偏矩來度量風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的收益率是隨機(jī)變量X，α是預(yù)先確定的目標(biāo)收益，通常根據(jù)投資者自身的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度或者財(cái)富水平進(jìn)行設(shè)定，常用的取值為0，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率或者期望收益，令Y=X-α，τ是固定的正整數(shù)，τ-階LPM可以定義為：

LPMτ,α(X)=E[max(α-X,0)]τ

=E[max(-Y,0)]τ

(1)

E[·]表示數(shù)學(xué)期望，f(y)為Y的密度函數(shù)。與方差相比，LPM僅把α以下的損失看作風(fēng)險(xiǎn)，而并不把α以上的收益看作風(fēng)險(xiǎn)，所以LPM是下端風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度；基于LPM的最優(yōu)組合不僅能有效控制投資組合的損失，而且具有不限制組合收益的特點(diǎn)[31]；通過設(shè)定參數(shù)α和τ，LPM指標(biāo)可以退化為其它的下端風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)[32]。例如設(shè)定τ=0，則LPM表示損失概率，設(shè)定τ=1，則LPM表示期望損失，設(shè)定τ=2且α=E[X]時(shí)，則LPM表示下半方差。

Markowitz[27]提出用收益率的方差度量風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，也提出用收益率的均值來代表收益，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)得到學(xué)者的廣泛認(rèn)可，但在實(shí)踐運(yùn)用中卻存在困難。研究表明，最優(yōu)組合頭寸對(duì)組合中各資產(chǎn)的平均收益率十分敏感，而實(shí)踐中平均收益率的估計(jì)通常要嚴(yán)重依賴于樣本區(qū)間的選取，不同樣本區(qū)間可能得出非常不同的估計(jì)值，從而導(dǎo)致得到的最優(yōu)組合頭寸大相徑庭。因此，部分學(xué)者認(rèn)為超過收益率均值以上的部分都應(yīng)視為收益，這種界定與人們的實(shí)際投資感受更加接近。因此，Sortino等[33]提出用Higher Partial Moment來測(cè)算超額收益，本文將其定義為UPM。類似下偏矩的定義，τ-階上偏矩(UPM)可以定義為：

UPMτ,α(X)=E[max(X-α,0)]τ

(2)

同LPM一樣，通過設(shè)定參數(shù)α和τ，UPM可以退化為收益概率、期望收益和上半方差等。

在LPM和UPM的定義里，α是投資者預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)收益，通常是某個(gè)常數(shù)，低于該目標(biāo)收益的部分被視為風(fēng)險(xiǎn)，而高于該目標(biāo)收益的部分應(yīng)視為收益。在本文，我們研究增強(qiáng)指數(shù)模型，投資者的目標(biāo)收益應(yīng)該與指數(shù)收益掛鉤，作為對(duì)傳統(tǒng)LPM定義的拓展，我們考慮α取指數(shù)收益率的情況，此時(shí)α為隨機(jī)變量。因此，在以下的討論中，我們將默認(rèn)α可以是隨機(jī)變量。

顯然，超過目標(biāo)收益的部分是是投資者喜好的，而低于目標(biāo)收益的部分是投資者厭惡的，所以，投資者的目標(biāo)是最大化UPM的同時(shí)最小化LPM，由此我們就定義如下的優(yōu)化目標(biāo)：

(3)

如果令τ=0，則上式就是上端收益發(fā)生的概率除以下端損失發(fā)生的概率，令τ=1，則上述指標(biāo)就是Omega Ratio[22]，令τ=2且α=E[X]，上式就表示上半方差除以下半方差。

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們需要估計(jì)出LPM和UPM，才能進(jìn)一步估計(jì)出PM，根據(jù)公式(1)和公式(2)可知，如果要得到LPM和UPM的解析表達(dá)式，需要給出密度函數(shù)或分布函數(shù)，但是實(shí)際中我們事先并不知道資產(chǎn)收益率的密度函數(shù)或分布函數(shù)，只能根據(jù)資產(chǎn)收益率的歷史樣本來對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。一個(gè)可供選擇的樣本分布函數(shù)是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，但是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是分段函數(shù)，不具有通常意義上的光滑性，另一個(gè)更好的選擇是用核光滑方法得到分布函數(shù)或密度函數(shù)的核估計(jì)量，可以克服經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)不光滑的缺陷。因此，我們用核估計(jì)方法。設(shè)yt,t=1,2,…,T為Y的樣本，則f(y)的核估計(jì)式為[34]：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

為進(jìn)一步得到任意非負(fù)整數(shù)j下Gj(ξt)的一般表達(dá)式，我們給出如下迭代公式

命題1：對(duì)于任意的正整數(shù)j≥2，有迭代公式：

(9)

證明：根據(jù)Gj(ξt)的定義，用分部積分法，可得：

(10)

令y=ξt，即得證。

通過公式(8)和迭代公式(9)，可以得到任意正整數(shù)j下的Gj(ξt)表達(dá)式。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，我們有：

(11)

因此，根據(jù)Gj(ξt)的表達(dá)式和公式(11)，可以得到Hj(ξt)的表達(dá)式。例如：

(12)

2.2 基于UPM-LPM的增強(qiáng)指數(shù)模型

(13)

(14)

根據(jù)公式(5)，可得窗寬h計(jì)算公式為：

(15)

將(13)式和(14)式代入(3)式中，可以得到PM的核估計(jì)式。假設(shè)投資者的初始財(cái)富標(biāo)準(zhǔn)化為1，為了防止風(fēng)險(xiǎn)過于集中，投資者對(duì)資產(chǎn)i的持有頭寸不超過ui，而出于交易成本考慮，投資者對(duì)持有的資產(chǎn)i的頭寸不低于li。在此背景下，我們定義如下的增強(qiáng)指數(shù)模型：

由前面的定義，我們知道UPM度量跟蹤組合的超額收益，LPM度量跟蹤組合的預(yù)期損失。最小化LPM的含義是：當(dāng)跟蹤組合收益低于指數(shù)收益時(shí)，讓二者的差距越小越好，即讓跟蹤組合盡可能跟蹤指數(shù)趨勢(shì)；最大化UPM的含義是：當(dāng)跟蹤組合收益高于指數(shù)時(shí)，讓二者的差距越大越好，即讓跟蹤組合盡可能獲取高于指數(shù)平均收益的超額收益。這正是增強(qiáng)指數(shù)策略的投資理念：在跟蹤指數(shù)趨勢(shì)的同時(shí)獲取盡可能多的超額收益。因此，投資者基于我們模型設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)指數(shù)投資的理念，同時(shí)不同的τ值，可以反映出不同類型的投資者。因此，該模型可以廣泛地應(yīng)用到公募基金、私募基金以及養(yǎng)老基金的管理實(shí)踐。

3 實(shí)證分析

為考察模型在實(shí)際金融市場(chǎng)中的表現(xiàn)，本節(jié)選取我國(guó)滬深股票市場(chǎng)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，我們主要檢驗(yàn)如何運(yùn)用成份股來跟蹤與之對(duì)應(yīng)的指數(shù)趨勢(shì)，同時(shí)獲取超出指數(shù)平均收益的超額收益。我們選取的指數(shù)按照成份股的數(shù)量從小到大依次是上證50，深證100，滬深300，深證成指和上證綜指。五個(gè)指數(shù)中，上證50和上證綜指代表上海證券交易市場(chǎng)的大盤行情，深證100和深證成指代表深圳證券交易市場(chǎng)的大盤行情，滬深300是綜合反映滬深市場(chǎng)整體走勢(shì)的跨市場(chǎng)指數(shù)。我們選取指數(shù)及其成份股的日收益率數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)區(qū)間是2005年1月4日至2016年12月30日，樣本容量是2915，同時(shí)我們也基于指數(shù)的收盤價(jià)數(shù)據(jù)給出五個(gè)指數(shù)的時(shí)間趨勢(shì)(見圖1)。如圖所示，樣本區(qū)間內(nèi)五個(gè)指數(shù)走勢(shì)是一致的，都經(jīng)歷了兩次完整的大幅上升和下降周期。我們把2005年1月4日至2010年12月31日共計(jì)1457個(gè)收益率數(shù)據(jù)作為估計(jì)樣本，把2011年1月4日至2016年12月30日共計(jì)1458個(gè)收益率數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本，所有數(shù)據(jù)來自Wind經(jīng)濟(jì)金融數(shù)據(jù)庫(kù)。

圖1 指數(shù)收盤價(jià)的時(shí)間趨勢(shì)

由于部分成份股是新近加入指數(shù)編制，而部分成份股的上市時(shí)間較短，我們剔除了數(shù)據(jù)存在缺失的成份股，而最終保留數(shù)據(jù)完整的成份股來跟蹤指數(shù)。同時(shí)出于交易成本的考慮，購(gòu)買指數(shù)中的所有成份股是不合算的，通常需要在進(jìn)行優(yōu)化配置之前選擇部分成份股進(jìn)入跟蹤組合。借鑒Ling等[36]的思想，我們基于指數(shù)和成份股的收益率數(shù)據(jù)，依次計(jì)算出所有成份股的Beta值。由于增強(qiáng)指數(shù)模型的首要任務(wù)是跟蹤指數(shù)的趨勢(shì)，所以選擇Beta值最接近1的成份股構(gòu)建跟蹤組合的股票池。此外，Ling等[36]的研究中，還考慮了隨機(jī)Beta和最大Beta標(biāo)準(zhǔn)選擇成份股，這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)與跟蹤指數(shù)趨勢(shì)的內(nèi)涵相差較遠(yuǎn)，不是本文考慮的內(nèi)容。根據(jù)五個(gè)指數(shù)所含成份股的數(shù)量，最終選取的進(jìn)入跟蹤組合的成份股數(shù)量分別是10、25、30、50和100。表1給出了樣本數(shù)據(jù)說明和指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)。第2列給出各指數(shù)包含的成份股數(shù)量，第3列給出進(jìn)入跟蹤組合的成份股數(shù)量，第4列是樣本量。第5-10列給出了各指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)，均值顯示五個(gè)將上述五個(gè)數(shù)據(jù)集的估計(jì)樣本代入模型EIM，并設(shè)定相應(yīng)的具體約束條件，求解模型可以得到最優(yōu)的投資策略。由于指數(shù)編制中成份股的份額不可能為負(fù)，所以我們?cè)诩s束條件中設(shè)定li=0，ui=1，i=1,2,…,n。為了比較不同τ對(duì)投資策略表現(xiàn)的影響，我們?nèi)×鶄€(gè)不同參數(shù)值，即τ=0,1,2,3,4,5。為比較最優(yōu)投資策略在實(shí)際中的表現(xiàn)，我們引入三個(gè)常用的投資績(jī)效評(píng)價(jià)指標(biāo)：夏普比率 (Sharpe Ratio, SR)、信息比率 (Information Ratio, IR)和歐米茄比率 (Omega Ratio, OR)。計(jì)算公式如下：

表1 數(shù)據(jù)說明與指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

以上三個(gè)指標(biāo)的計(jì)算公式中，rp=a′r為跟蹤組合的收益率，rf為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，設(shè)定rf=0不影響比較結(jié)論，σ(rp)為跟蹤組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，rI為指數(shù)收益率。SR，IR和OR的值越大，跟蹤組合的表現(xiàn)越好。IR≥0表示跟蹤組合平均收益大于指數(shù)平均收益，OR≥1表示跟蹤組合收益率大于指數(shù)收益率部分的均值大于跟蹤組合收益率小于指數(shù)收益率部分的均值，即跟蹤組合收益率占優(yōu)指數(shù)收益率。作為比較基準(zhǔn)，我們將三個(gè)指標(biāo)中的rp替換為rI，可以得出指數(shù)的表現(xiàn)測(cè)度，很顯然，指數(shù)自身的IR=0，且不存在OR。另外，我們也報(bào)告了跟蹤組合收益率與指數(shù)收益率的均值。實(shí)證結(jié)果見表2。

表2 增強(qiáng)指數(shù)模型的表現(xiàn)

注：Data1～ Data5依次表示上證50、深證100、滬深300、深證成指和上證綜指及其成份股的收益率數(shù)據(jù)集，0～5分別表示τ=0,1,2,3,4,5六個(gè)取值。

表2給出了最優(yōu)投資策略的樣本內(nèi)表現(xiàn)，靜態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)和動(dòng)態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)。靜態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)，即我們將最優(yōu)投資策略直接運(yùn)用到檢驗(yàn)樣本，期間保持跟蹤組合頭寸不變，直至結(jié)束。動(dòng)態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)，即我們每隔50天調(diào)整一次估計(jì)樣本，每次剔除最舊的50個(gè)樣本，加入最近50個(gè)交易日的樣本，以保證每次估計(jì)樣本容量不變，將更新后的估計(jì)樣本代入模型得到最優(yōu)跟蹤組合的頭寸，并將該組合頭寸應(yīng)用到接下來的50個(gè)樣本外數(shù)據(jù)，依次類推，直至結(jié)束。表2的第1列是投資表現(xiàn)指標(biāo)，第2列給出本文使用的數(shù)據(jù)集，第3列為對(duì)應(yīng)指數(shù)的表現(xiàn)，第4-9列是模型的樣本內(nèi)表現(xiàn)，第10-15列是靜態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)，第16-21列是動(dòng)態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)。

從樣本內(nèi)表現(xiàn)來看，在五個(gè)不同數(shù)據(jù)集且六個(gè)不同參數(shù)值τ=0,1,2,3,4,5下，基于模型的最優(yōu)投資策略在所有指標(biāo)上的表現(xiàn)全面占優(yōu)指數(shù)。具體地，基于模型的最優(yōu)投資策略的均值和SR全部大于或等于相應(yīng)指數(shù)的均值和SR(部分等于是由于小數(shù)點(diǎn)四舍五入的結(jié)果)，基于模型的最優(yōu)投資策略的IR全都大于零，而且基于模型的最優(yōu)投資策略O(shè)R全都大于1。

樣本內(nèi)的優(yōu)良表現(xiàn)是模型優(yōu)化的自然結(jié)果，而樣本外的表現(xiàn)是我們關(guān)注的重點(diǎn)。從靜態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)來看，基于模型的投資策略僅在Data5τ=2時(shí)的表現(xiàn)不如指數(shù)，在其它29種情況下的表現(xiàn)都優(yōu)于指數(shù)。SR、IR和OR的結(jié)果也肯定了這個(gè)結(jié)論(見加黑數(shù)字)。因此，從樣本外的表現(xiàn)來看，基于模型的投資策略表現(xiàn)十分穩(wěn)健。從動(dòng)態(tài)策略的樣本外表現(xiàn)來看，基于模型的投資策略全面占優(yōu)指數(shù)，進(jìn)一步說明，基于本文模型的投資策略非常穩(wěn)健。動(dòng)態(tài)調(diào)整策略的優(yōu)勢(shì)在于使用最近的數(shù)據(jù)更新估計(jì)樣本，能夠適時(shí)根據(jù)變化的市場(chǎng)環(huán)境調(diào)整跟蹤策略，但是動(dòng)態(tài)策略的劣勢(shì)在于，不斷地調(diào)整頭寸可能會(huì)帶來額外的交易成本。對(duì)比靜態(tài)策略和動(dòng)態(tài)策略的實(shí)證結(jié)果，也可以看出，兩種策略的表現(xiàn)各有優(yōu)劣。

為了更加直觀地展示本文提出的模型表現(xiàn)，我們給出Data3(其它四個(gè)數(shù)據(jù)集下的圖形類似)下各種跟蹤投資策略的累積收益圖(初始投入資金為1元)。圖2展示了基于模型最優(yōu)投資策略的樣本內(nèi)累積收益，圖3-4分別展示了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)。我們?cè)趫D上同時(shí)展示了指數(shù)和六個(gè)不同參數(shù)取值τ=0,1,2,3,4,5時(shí)模型的表現(xiàn)。由圖可知，本文提出的模型在不同參數(shù)設(shè)定下都能夠很好地跟蹤指數(shù)的趨勢(shì)，同時(shí)獲取高于指數(shù)平均收益的超額收益，動(dòng)態(tài)投資策略在樣本外能更好地跟蹤指數(shù)趨勢(shì)。

圖2 投資策略的樣本內(nèi)表現(xiàn)

圖3 靜態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)

圖4 動(dòng)態(tài)投資策略的樣本外表現(xiàn)

4 結(jié)語(yǔ)

量化投資策略的開發(fā)依賴于量化模型，而量化模型的構(gòu)建基于投資理念，本文將指數(shù)收益率作為跟蹤組合的目標(biāo)收益，建立UPM-LPM之比最大化的優(yōu)化模型，旨在跟蹤指數(shù)趨勢(shì)的同時(shí)，獲取超過指數(shù)平均收益的超額收益，契合當(dāng)下業(yè)界熱衷的增強(qiáng)指數(shù)投資理念。基于滬深股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)的實(shí)證分析表明，我們的模型能夠很好實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)指數(shù)投資理念，模型的樣本外表現(xiàn)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。本文的研究成果在理論上可以豐富量化投資模型和資產(chǎn)配置理念，實(shí)踐上可以優(yōu)化業(yè)界量化投資策略和工具。當(dāng)然，本文仍遺留以下問題需要解決。首先，我們沒有證明模型中目標(biāo)函數(shù)的凸性。目前LPM本身的凸性證明仍然是一個(gè)較難的公開話題，雖然有些文獻(xiàn)在特定分布(例如正態(tài)分布或t分布)下證明了LPM的凸性，但在一般分布下是否仍然具有凸性目前還沒有被證明。雖然如此，本文建立的模型仍然能夠得到精確度很高的數(shù)值解，因?yàn)楸疚哪Ｐ偷哪繕?biāo)函數(shù)具有很好的光滑性，特別是目標(biāo)函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)，可以運(yùn)用全局最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行求解。其次，我們的模型沒有考慮交易成本、風(fēng)險(xiǎn)配置等現(xiàn)實(shí)約束，然而，考慮這些約束并不會(huì)使得模型的求解更加困難，因?yàn)槲覀冎恍枰獢?shù)值解，而不考慮解析解。此外，我們也正在考慮將LASSO等變量選擇方法引入模型，實(shí)現(xiàn)在模型優(yōu)化過程中選股。