基于冪風險譜和蒙特卡洛模擬的貸款優(yōu)化配置模型

遲國泰，張亞京，丁士杰

(大連理工大學管理與經(jīng)濟學部，遼寧 大連 116024)

1 引言

貸款組合優(yōu)化配置模型本質(zhì)上是在綜合考慮貸款收益和貸款風險條件下，求解一組恰當?shù)馁J款配置比例[1]。而商業(yè)銀行中小概率的極端損失是不可避免的，因此研究考慮商業(yè)銀行尾部風險的貸款配置問題具有重要意義。

在VaR風險測度方面，VaR (Value at Risk)是指在給定置信水平下貸款組合在一定時間內(nèi)可能發(fā)生的最大損失[2]。劉艷萍等[3]通過約束貸款組合的VaR進行貸款配置。匡海波等[4]利用VaR建立了港口物流質(zhì)押貸款組合模型。Lwin等[5]提出了MODE-GL演化算法求解均值-VaR的投資模型。

在CVaR風險測度方面，Artzner等[2]提出了CVaR(Conditional VaR)條件風險價值度量，CVaR是指資產(chǎn)組合損失大于給定VaR的條件下，資產(chǎn)組合的平均損失值，滿足次可加性、凸性、一致性。Rockafellar和Uryasev[6]給出了將CVaR投資組合問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型求解的方法。Andersson等[7]以CVaR最小為目標函數(shù)進行資產(chǎn)配置。Alexander等[8]提出了一種基于平滑技術(shù)的方法實現(xiàn)CVaR的仿真。Najafi和Mushakhian[9]通過隨機均值-半方差-CVaR方法構(gòu)建了投資組合模型。Gao Jianjun等[10]通過LMP和CVaR建立了投資組合模型。

在譜風險測度方面的研究，Acerbi[11]提出了譜風險。Acerbi和Prospero[12]給出了譜風險在投資組合中的規(guī)劃求解方式。Cotter和Dowd[13]比較了多種數(shù)值積分方法估算譜風險的精度。Adam等[14]對比了扭曲風險、譜風險在投資組合中的優(yōu)劣。Lim[15]通過施加不同參數(shù)值的譜風險約束來解決誤差敏感問題。韓萱和楊永愉[16]將風險厭惡系數(shù)與反映投資者心理的效用函數(shù)相結(jié)合構(gòu)造了混合型譜風險。Abad和Iyengar[17]通過迭代梯度算法解決了多個譜風險約束的投資組合問題。刁訓娣等[18]將極值理論與譜風險測度方法相結(jié)合進行資產(chǎn)配置。

在蒙特卡洛模擬應(yīng)用于資產(chǎn)配置方面，歷史數(shù)據(jù)往往較少或者較難獲得，不足以可靠地估計貸款可能造成的風險，因此許多研究采用蒙特卡洛方法進行貸款收益或損失的模擬與仿真。馬志衛(wèi)和劉應(yīng)宗[19]將貸款看做投資項目，以投資項目的財務(wù)內(nèi)部收益率和波動反映貸款收益和風險，并以蒙特卡洛進行收益模擬，結(jié)合無差異曲線與有效前沿進行貸款配置。司繼文等[20]通過蒙特卡洛模生成股票收益情景，并利用CVaR和混合整數(shù)規(guī)劃進行貸款配置。

上述研究不足在于：一是VaR僅將信用風險轉(zhuǎn)化為單一分位點，但也因此不能充分考慮超出分位點的下方風險值分布；CVaR同等看待尾部風險的大小，并沒有給不同損失賦以不同厭惡權(quán)重。二是現(xiàn)有譜風險研究并沒有將譜風險與貸款信用風險相結(jié)合，僅單一考慮了尾部風險，沒有兼顧信用風險。

針對上述存在問題，本文建立了基于冪風險譜和蒙特卡洛模擬的貸款優(yōu)化配置模型。本文根據(jù)貸款組合尾部損失越大、對應(yīng)風險厭惡權(quán)重也應(yīng)越大的思路，通過冪風險譜對極端風險進行控制，即彌補了CVaR僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時彌補VaR僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無法反映超過閾值的損失的弊端。

2 科學問題的提出及難點

2.1 商業(yè)銀行貸款配置的特點

(1)商業(yè)銀行貸款配置面臨風險是不可避免的，如果僅約束貸款組合的發(fā)生概率，而不控制極端風險出現(xiàn)時的損失大小，則極易出現(xiàn)“黑天鵝”事件。若銀行在99%的置信水平下發(fā)生1000萬損失的概率是1%，顯然對銀行影響不大；但若在萬分之一的小概率下發(fā)生500億損失，則銀行的生存就可能有問題。前者是“概率大小”問題；而后者則講的是“損失大小”問題。顯見，損失大小的“黑天鵝”事件，才是銀行應(yīng)該重點控制的問題。

(2)貸款配置時，信用等級變化引起的風險常常被忽略，且由于貸款歷史數(shù)據(jù)較少，往往無法獲得貸款客戶的歷史損失分布，造成貸款配置時很少考慮信用等級變化的風險。

2.2 問題的難點

難點1：用何種方法度量貸款組合的尾部風險，避免資產(chǎn)配置的“黑天鵝”事件發(fā)生。尾部風險出現(xiàn)概率雖小，但是一旦發(fā)生，對于銀行將產(chǎn)生極端的損失。恰當?shù)娘L險度量方法是商業(yè)銀行在貸款配置過程中不可或缺的風險防范手段。

難點2：如何將信用等級變化引起的風險納入總體風險的度量？信用等級的微小變化就會引起的總體風險變化，準確度量信用等級改變引起的風險對于銀行風險控制極為重要。

2.3 突破問題的思路

思路1：根據(jù)貸款組合尾部損失越大、對應(yīng)風險厭惡權(quán)重也應(yīng)越大的思路，通過冪風險譜對極端風險進行控制，即彌補了CVaR僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時彌補VaR僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無法反映超過閾值的可能損失的弊端。

思路2：通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，將信用遷移引起的風險引入風險度量中，彌補了現(xiàn)有研究僅考慮違約風險忽視信用等級變化的不足，并解決貸款歷史數(shù)據(jù)不足的問題。

3 貸款組合優(yōu)化模型的建立

3.1 冪風險譜測度

3.1.1 風險價值VaR

VaR(Value at Risk)是指在一定置信水平1-α下，某金融資產(chǎn)組合在將來的一段時間內(nèi)可能的最大損失。利用公式表示為[11]：

P(X<-VaRα)=α

(1)

令貸款組合收益率X的累積分布函數(shù)為F(x)，則可將式(1)轉(zhuǎn)化為[11]：

(2)

3.1.2 條件風險價值CVaR

條件風險價值CVaR是指在一定置信水平1-α下，某金融資產(chǎn)組合在未來一段時間內(nèi)損失超過VaR的平均值，利用公式表示為[14]:

(3)

式(3)中CVaR指在1-α置信水平下貸款組合損失大于VaRα的全部損失值的算數(shù)平均值。

3.1.3 譜風險測度

(1)連續(xù)形式的譜風險

(4)

在式(4)中的風險厭惡函數(shù)φ(p)是p∈[0,1]上的可積函數(shù)。且φ(p)滿足非負、正則、弱遞減性[21]：

(i)φ(p)≥0,?p，非負性。

(iii)φ(p1)≥φ(p2),ifp1≤p2，弱遞減性。

式(4)中φ(p)是風險厭惡函數(shù)，從條件(iii)知p1≤p2時，φ(p1)≥φ(p2)，故φ(p)為單調(diào)遞減的。

圖1 譜風險測度的風險厭惡權(quán)重

(2)離散形式譜風險

很多情況下資產(chǎn)分布F(x)并不是確定的，是根據(jù)歷史資產(chǎn)收益進行計算譜風險，此時使用到譜風險的離散形式，將式(4)轉(zhuǎn)化為離散形式如下[8]：

(5)

其中，N為有N種情景。

①式(5)中φi：為風險厭惡函數(shù)φ(p)的離散形式，通過積分表達后為[8]：

(6)

②式(5)中Xi:N：Xi:N是個有序變量，為N個收益由小到大排列后的第i個收益。{Xi:N|i=1,…,N}={Xi|i=1,2,…,N}，并且Xi:N

式(5)的含義：式(5)中的收益Xi:N是由小到大排列的，即將損失-Xi:N由大到小排列。而式(5)中的風險權(quán)重φi是由大到小排列的。即對較大的損失-Xi:N，賦予較大的風險權(quán)重φi，反映了對風險的厭惡偏好。

(3)冪風險譜PSR (Power Spectral Risk)

令式(4)中的φ(p)為冪函數(shù)[18]：

φ(p)=(1-β)p-β,(0<β<1)

(7)

其中，β為絕對風險厭惡系數(shù)，根據(jù)金融機構(gòu)自己風險厭惡程度自行在0-1之間取值[18]。β越大代表對尾部風險厭惡程度越大，由圖2可知，β=0.8對應(yīng)的φ(p)曲線中尾部風險厭惡程度大于β=0.5時的風險厭惡程度。

圖2 冪風險譜測的風險權(quán)重

(8)

將式(8)代入式(5)，得到冪風險譜測度PSR[18]：

(9)

因此冪風險譜式(9)既彌補了下文式(14)風險價值VaR[2-5]僅考慮了一個點的損失，即某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值-XNα：N、無法反映一旦超過這一數(shù)值的可能損失的弊端。又彌補了下文式(17)中條件風險價值CVaR[6-9]同等看待尾部風險，即相當于對尾部風險均賦予同等權(quán)重φi=1/Nα，忽略風險較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重的不足。

3.2 風險價值VaR和條件風險價值CVaR是本文譜風險的一個特例

3.2.1 VaR與CVaR是連續(xù)型譜風險式(4)的特例

(1)風險價值VaR是本文連續(xù)型譜風險式(4)的一個特殊情況。

設(shè)：δ為脈沖響應(yīng)函數(shù)(Dirac-delta狄利克雷函數(shù))，則風險價值VaR對應(yīng)的風險權(quán)重φ(p)[18]：

(10)

式(10)賦予尾部概率p=α時對應(yīng)的損失額無窮大的權(quán)重，而其余收益分位點上的權(quán)重為0。即風險價值VaR對應(yīng)的φ(p)僅在α分位點對應(yīng)一個風險數(shù)值，其他分位點的風險沒有考慮。

(11)

故，式(2)的VaR即為本文式(4)的一個特例。

本文式(4)的譜風險Mφ與式(2)的風險價值VaR的區(qū)別至少有二：

二是對待風險大小的態(tài)度不同。風險價值VaR無論風險大小，都是一個常數(shù)VaRα。而對于本文式(4)的譜風險Mφ，它對較大損失賦予越大權(quán)重φ(p)，因此譜風險是反映風險厭惡偏好的風險測度指標。

(2)條件風險價值CVaR是本文連續(xù)型譜風險式(4)的一個特殊情況。

設(shè)：φ(p)-風險權(quán)重，有[18]：

(12)

其中I為示性函數(shù)，當p≤α時，I=1，否則為I=0。

式(12)的CVaR對應(yīng)的風險權(quán)重φ(p)，在p≤α時，表示CVaR對0～α分位點的損失賦予的權(quán)重均為1/α。沒考慮損失越大、厭惡權(quán)重越大，賦予同等權(quán)重，沒反映風險偏好。在p>α時，表示CVaR對于α～1分位點的損失賦予的權(quán)重均為0。沒考慮α～1分位點的損失較小的情況。

將式(12)的兩種表現(xiàn)形式代入式(4)，則[18]：

(13)

因此得到式(13)的CVaR，也就是得到了上文式(3)中的CVaR。故CVaR即為本文式(4)的一個特例。

本文式(4)的譜風險Mφ與式(3)的條件風險價值CVaR的區(qū)別至少有二：

一是測度風險區(qū)間不同。CVaR是對p∈[0,α]分位點對應(yīng)的風險。而本文式(4)中對應(yīng)的譜風險Mφ是p∈[0, 1]全部分位點對應(yīng)的風險。二是對待風險大小的態(tài)度不同。CVaR無論尾部損失大小，對于p∈[0,α]對應(yīng)的損失，賦予的權(quán)重均為1/α。而對于本文式(4)的譜風險Mφ，它對較大損失賦予越大權(quán)重φ(p)，反映了風險厭惡的偏好。

綜合上述，本研究用反映損失越大、風險權(quán)重越大的式(4)譜風險Mφ來度量風險，改變了條件風險價值CVaR對于損失超出閾值部分的風險權(quán)重為同一定值，并沒有體現(xiàn)出商業(yè)銀行對于銀行風險越極端、厭惡程度越高、控制力度越大的不足。

3.2.2 VaR與CVaR是離散型譜風險式(5)的特例

(1)離散形式的風險價值VaR式(14)是離散形式譜風險式(5)的特例。

VaRα=-Xn:N=-XN·α:N

(14)

當置信水平1-α=95%，模擬次數(shù)N=10,000時，則n=N·α=10,000×5%=500，風險價值VaRα的值即為貸款組合收益Xi由小到大排序，即損失-Xi由大到小排序后，在第500位的那一個損失-X500：10 000。

(15)

將式(15)中兩種情況下的φi代入式(5)，并注意到式(14)中的VaR，則：

(16)

因此，離散型風險價值VaR式(14)即為本文離散型譜風險式(5)中的一個特例。

上文冪風險譜的式(9)彌補了式(14)風險價值VaR僅考慮了一個點的損失，即某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無法反映一旦超過這一數(shù)值的可能損失的弊端。式(9)中冪風險譜考慮了多個點的損失，且對于較大的損失-Xi:N賦予較大的風險權(quán)重φi，反映了對風險的厭惡偏好。

(2)離散形式條件風險價值CVaR式(17)是離散形式譜風險式(5)的特例。

設(shè)：CVaRα-置信水平取1-α時的條件風險價值，E(·)-期望函數(shù)，X-貸款收益，VaRα-置信水平取1-α時的風險價值，N-模擬總次數(shù)，Xi:N-資產(chǎn)收益X由小到大排列后的第i個資產(chǎn)收益，則[13]：

(17)

式(17)的含義：在由小到大排列后Nα個資產(chǎn)組合收益進行算術(shù)平均計算，即為條件風險價值CVaR。

將式(12)代入式(6)，得到條件風險價值CVaR離散形式的權(quán)重φi[13]：

(18)

式(18)中字母與式(6)、式(12)中含義相同。

將式(18)中兩種情況下的φi代入式(5)，并注意到式(17)中的CVaRα，則[13]：

(19)

因此，離散型條件風險價值CVaR為離散型譜風險式(5)中的一個特例。

上文冪風險譜式(9)彌補了條件風險價值CVaR式(17)對尾部風險均賦予同等權(quán)重φi=1/Nα，忽略風險較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重的不足。式(9)中冪風險譜對較大損失-Xi:N，賦予較大權(quán)重φi，反映了對風險的厭惡偏好。

3.3 貸款收益的Monte Carlo模擬

用Monte Carlo模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，將信用等級變化引起的風險引入風險度量中，解決貸款歷史數(shù)據(jù)不足的問題。

3.3.1 貸款收益率

設(shè)：ri-第i筆貸款信用等級變?yōu)镾i時(Si為非違約級別)的貸款收益率；pi-一年后的利息；Ti-第i筆貸款的貸款期限；rSi,t-信用等級為Si的貸款第t年的遠期利率(見表4)。則[22]：

(20)

式(20)考慮一年后信用等級變化情況[22]，考察時間點為一年末，信用等級在一年末一旦發(fā)生遷移，就按照遷移后的信用等級對應(yīng)的零息票收益曲線中的遠期利率進行折現(xiàn)，通過式(20)反映信用等級遷移對貸款收益率的影響。

若一年后等級Si為違約級別時，通過下文式(21)求貸款收益率。設(shè)：ri-貸款收益率，di-違約時的挽回率，則[22]：

ri=di-1

(21)

其中，一筆貸款違約時的挽回率di在模擬過程中，通過在滿足貝塔分布β(a,b)的數(shù)中隨機產(chǎn)生，其中a,b為決定貝塔分布均值和方差的相關(guān)參數(shù)[22]，下文實證4.2中參照現(xiàn)有研究[22]選取貝塔分布的參數(shù)為β(a,b)=β(2,8)。

3.3.2 信用等級遷移

根據(jù)CreditMetrics框架[23]，可知一個企業(yè)貸款從初始信用等級K級，遷移到S級的概率分布服從標準正態(tài)分布N(0,1)，如圖3[23]所示。信用等級從低等級到高等級排列后為違約Defualt(1)、CCC(2)、B(3)、BB(4)、BBB(5)、A(6)、AA(7)、AAA(8)個等級。

圖3 貸款收益與信用等級之間的關(guān)系[23]

設(shè)：Pk,s-貸款信用等級從k級轉(zhuǎn)移到s級的概率，Φ(·)-標準正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)，Ck,s-信用等級從k級遷移到s級的臨界點，x-模擬時隨機產(chǎn)生的標準貸款收益率，則[23]：

Pk,s=Φ(Ck,s-1

(22)

(23)

式(22)為貸款從k等級轉(zhuǎn)移到s等級的概率Pk,s。當隨機生成的標準貸款收益率x處于Ck,s-1

由此將下文3.3.3中每個模擬出的貸款收益x，與信用等級轉(zhuǎn)移臨界點Ck,s進行對比，便可知企業(yè)一年后的信用等級。

以BBB級為例，說明信用等級遷移臨界點Ck,s確定的過程。

表1是信用等級遷移矩陣[23]，如表1第4行是BBB級客戶遷移分別到Default級、CCC級、…、AAA級的概率，為0.16%、0.06%、…、0.03%。

將表1第4行第1列BBB級遷移到違約的概率PBBB,1=0.16%代入式(23)并查正態(tài)分布表，可得BBB級遷移到違約Default(1)級的臨界點CBBB,1：

CBBB,1=Φ-1(PBBB,1)=Φ-1(0.16%)=-2.945。

將結(jié)果列入表2第4行第1列。

…，…，…

BBB級遷移到AA(7)的臨界點CBBB,7:

CBBB,7=Φ-1(PBBB,1+PBBB,2+…+PBBB,7)=Φ-1(0.16%+0.06%+…+0.23%)=Φ-1(99.97%)=3.412

表1 一年內(nèi)信用等級轉(zhuǎn)移矩陣[23]

表2 信用等級遷移臨界點Ck,s

BBB遷移到各等級的臨界點如表2第4行所示。同理，可得AAA、AA、…、CCC等級向其他等級遷移的臨界點Ck,s，如表2其他行所示。

3.3.3 貸款收益率的Monte Carlo模擬

步驟1：隨機生成一組符合m維正態(tài)分布N(0,Cov)的向量x=(x1,…,xm)T，代表m筆貸款的標準收益率。

步驟2：根據(jù)貸款i的初始信用等級，將步驟1中得到的每一個貸款收益xi分別與表2其初始信用等級所在行的等級遷移臨界點Ck,s進行比較，如初始等級為BBB級，則與表2中BBB級所在行第4行進行比較。當?shù)趇個貸款收益xi滿足關(guān)系Cki,si-1

步驟3：計算信用等級遷移后的貸款收益r。

①當遷移后等級si為非違約等級，則由式(20)可以計算一年末的收益率。②當遷移后等級si為違約等級，則通過式(21)計算貸款收益率。由此，模擬出m筆貸款一年后經(jīng)過信用等級遷移后的收益率值r1j=(r11，…，r1m)，得到第一次模擬情景的值。

步驟4：重復N次步驟1-步驟3，可模擬出m筆貸款的N種不同情景下的收益值，即：rij=(ri1，ri2，…，rim),i=1,…，N。

步驟5：計算每筆貸款N種情景下收益率的均值uj。

設(shè)：uj-第j筆貸款全部N種情景模擬的收益率均值，N-模擬總次數(shù)，rij-第i種情景模擬出的第j筆貸款收益率，m-貸款筆數(shù)。則[22]：

(24)

步驟6：確定信用遷移后的收益率的變化量Xij。

設(shè)：Xij-第i種情景第j筆貸款信用等級遷移后引起的收益率變化量，則[22]：

Xij=rij-uj

(25)

式(25)通過信用等級遷移后貸款收益率rij與收益率均值uj之間的差值Xij，反映信用等級遷移引起的貸款收益變化。

3.4 基于冪風險譜的貸款組合配置模型的構(gòu)建

3.4.1 目標函數(shù)中的主要參數(shù)

設(shè)：Xi-第i種情景信用等級遷移引起的貸款組合收益變化量，wj-第j筆貸款配置比例。則[22]：

(26)

式(26)的含義：通過上文式(25)中得到的第i種情景第j筆貸款信用等級遷移后收益率變化量Xij，乘以對應(yīng)貸款配置權(quán)重wj，確定信用風險遷移后第i個情景下的貸款組合收益的變化量Xi。當Xi>0，表示情景i的貸款組合收益因信用等級遷移產(chǎn)生了收益。反之，表示因信用遷移產(chǎn)生了損失。

其中，下文式(27)中的Xi:N即為式(26)中所得的收益率變化量Xi由小到大排序后所得值。

式(26)中的rij為信用等級遷移后的貸款利率，通過式(26)將信用等級遷移的風險納入總體風險度量體系之中，從而在總體上對信用風險的不確定性有了較可靠的把握。完善了現(xiàn)有研究中常常忽略信用等級變化風險的不足。

3.4.2 目標函數(shù)的確定

以上文式(9)的貸款組合收益的冪風險譜MPSR最小為目標，建立目標函數(shù)如下[18]：

(27)

式(27)目標函數(shù)的好處：根據(jù)給不同貸款組合損失-Xi越大，其風險權(quán)重φi也就越大的思路，構(gòu)建冪風險譜MPSR最小建立非線性規(guī)劃的目標函數(shù)，使資產(chǎn)配置的最優(yōu)組合反映的風險厭惡的價值偏好。即彌補了現(xiàn)有研究條件風險價值CVaR[6-9]僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時彌補了現(xiàn)有研究風險價值VaR[2-5]僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無法反映一旦超過這一數(shù)值的可能損失的弊端。

3.4.3 約束條件的確定

(1)貸款組合收益大于給定目標收益。

設(shè)：u-貸款組合收益，m-貸款個數(shù)，uj-第j筆貸款N種情景模擬的收益率均值，wj-第j筆貸款的配置權(quán)重，r0-給定目標收益，則[22]：

(28)

(2)權(quán)重加和為1。

設(shè)：m-貸款個數(shù)，wj-貸款的配置權(quán)重，則[22]：

(29)

(3)風險集中度約束

設(shè)：wj-第j筆貸款的配置權(quán)重，則[22]：

0

(30)

式(30)的含義：通過單個資產(chǎn)權(quán)重wj小于20%[22]，避免資產(chǎn)過于集中[22]。

以式(27)為目標函數(shù)，以式(28)-式(30)為約束，構(gòu)建基于冪風險譜的貸款優(yōu)化配置模型。

特點：通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化量Xi。并以信用等級遷移后貸款組合損失越大、則風險厭惡權(quán)重越大的思路構(gòu)建式(27)的冪風險譜PSR最小為目標函數(shù)，以貸款組合的收益大于目標收益為約束，構(gòu)建貸款優(yōu)化配置模型，同時控制信用風險和尾部極端風險。

4 應(yīng)用實例

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本文待配置貸款共有12筆，12筆貸款信息如表3所示遠期利率[23]。表5前10行收集了某銀行十年間，與12筆貸款同信用等級、同貸款年限的實際收益率歷史數(shù)據(jù)。

表3 貸款信息

表4 不同信用等級遠期利率(零息票曲線對應(yīng)利率)rSi,t[23]

表5 全部貸款的歷史收益率hti(%)

4.2 Monte Carlo模擬貸款收益率

(1)Monte Carlo模擬收益率

步驟1：確定12筆貸款的相關(guān)系數(shù)矩陣。

(31)

將表5數(shù)據(jù)代入式(31)得到貸款之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表6所示。用矩陣ρ的形式表示：

(32)

表6 各企業(yè)貸款收益率之間的相關(guān)系數(shù)矩陣ρ=[ρij]m×m

步驟2：隨機生成一組12筆貸款的標準收益率。

令貸款1、…、貸款12的貸款收益率隨機變量分別記為x1、…、x12，且分別服從標準正態(tài)分布，x1～N(0,1)，…，x12～N(0,1)。

12個貸款的標準化收益率的聯(lián)合分布(x1,x2, …,x12)服從12維的正態(tài)分布N(0,Cov)。

其中，12維正態(tài)分布N(0,Cov)中0=(0,0,…0)12×1，Cov為12筆貸款的協(xié)方差矩陣。12筆貸款的協(xié)方差矩陣Cov為式(32)所得相關(guān)系數(shù)矩陣。

由Matlab軟件中的函數(shù)mvnrnd(μ,Cov)可隨機生成服從12維正態(tài)分布N(0,Cov)的收益率。第一次隨機生成的12筆貸款的收益率向量為x=(x1，…，x12)T=(-1.601, …, -1.438)T，結(jié)果列入表7第1行。

重復本步驟步驟2可以得到表7第2-10000行。

表7 Monte Carlo模擬得到的不同貸款標準化收益率x

步驟3：將步驟2中隨機生成的標準化收益率分別與表2中信用等級遷移臨界點Ck,s進行對照，確定12筆貸款其一年后的信用等級。結(jié)果列入表8。

步驟4：信用等級遷移后的貸款收益率的確定。

第1次模擬貸款1時，將貸款利率p1=4.10%、貸款期限T1=3、AA級1年后的遠期利率rAA,1=3.65%、AA級2年后的遠期利率rAA,2=4.22%代入式(20)，則第1次模擬的貸款1的等級遷移后的利率r1,1=3.896%，列入表9第1行第1列。

同理可得剩余11筆貸款信用等級遷移后的收益率，如表9第1行第2-12列所示。

表8 Monte Carlo模擬第一年末時貸款信用等級S

表9 Monte Carlo模擬第一年末時貸款收益rij

表10 信用等級遷移引起的收益變化量Xij

a)重復本步驟步驟4可以得到表9第2-10000行。

應(yīng)該指出，若信用等級遷移后變?yōu)椤斑`約”等級，則根據(jù)式(21)計算收益率。

(2)信用等級遷移后貸款收益的變化量Xij。

①確定每筆貸款在10000種情景收益率的均值uj。將表9第1列前10000行代入式(24):u1=(3.896%+…+3.99%)/10000=3.981%。結(jié)果列入表9最后一行第1列所示。

同理可以得到其他11筆貸款的收益率均值uj，如表9最后一行第2-12列所示。

②信用等級遷移引起的收益率變化量Xij。將表9第1行第1列r1,1=3.896%、及最后1列u1=3.981%代入式(25)：X1,1= 3.896%-3.981%= -0.085%。結(jié)果如表10第1行第1列。得到第1種情景中貸款1因信用等級遷移引起的收益率變化量X1,1= -0.085%<0，表明信用等級遷移后引起損失，表明貸款1信用等級由AAA級遷移到AA級引起損失。

同理可得其他情景中每筆貸款因信用等級遷移引起的收益率變化量Xij，如表10其他行列所示。

4.3 基于冪風險譜的貸款組合優(yōu)化配置模型

4.3.1 目標函數(shù)的確定

(1)信用等級遷移后貸款組合收益變化量Xi。

將表10中的信用等級遷移引起的貸款收益變化量Xij逐行分別代入式(26)中，可得到每一次模擬因信用等級遷移引起總變化量表達式Xi：

(33)

其中，w=(w1,w2,…,w12)表示組合中12筆貸款的配置比例，為待求解變量。

雖然式(33)中的X1,…，X10000含有未知變量wj，但在求解過程中每次給定一組wj，即可確定出式(33)的Xi，將式得到X1,…，X10000由小到大排列后對應(yīng)的值即為目標函數(shù)式(34)中X1:10000,…，X10000:10000。直至式(34)最小時，得到最終的貸款配置比例wj。

因此、下文式(34)中X1:10000,X2:10000,…，X10000:10000是式(33)得到Xi由小到大排列后對應(yīng)的值。

(2)冪風險譜的風險厭惡權(quán)重φi。

通過式(8)確定10000種情景貸款組合收益排序后對應(yīng)的風險厭惡權(quán)重φi，i=1, …，10000。

同理可得φ2，…，φ10000，結(jié)果如表11第1行第2-10000列所示。

(3)基于冪風險譜最小的目標函數(shù)。

將表11中風險厭惡權(quán)重φi代入式(27):

=-(0.01X1:10000+…+0.000050X10000:10000)

(34)

式(34)根據(jù)“不同貸款組合的損失-Xi越大，其風險權(quán)重φi越大”的思路，以冪風險譜MPSR最小建立非線性規(guī)劃模型，使資產(chǎn)配置的最優(yōu)組合反映的風險厭惡的價值偏好。

4.3.2 約束條件的確定

約束1：貸款組合收益大于給定目標值r0。

將表9最后一行uj值，代入式(28)不等號右側(cè)，得到貸款組合收益：

u=3.981%w1+4.475%w2+…+11.836%w12

(35)

再將給定目標收益r0=6.5%[19]，代入式(28)：

3.981%w1+4.475%w2+…+11.836%w12≥r0=6.5%

(36)

約束2：貸款配置比例wj加和為1。根據(jù)式(29):

w1+w2+…+w12=1

(37)

約束3：單筆貸款權(quán)重wj小于等于20%[19]。

0

(38)

4.3.3 模型的求解

以式(34)為目標函數(shù)，以式(36)-(38)為約束，構(gòu)建基于冪風險譜PSR最小的貸款組合優(yōu)化模型，通過非線性規(guī)劃求解最優(yōu)資產(chǎn)配置比例w。

求解過程由Matlab實現(xiàn)，求解的貸款配置結(jié)果wj如表12第1行前12列所示。

將表12第1行第1-12列代入式(35)得到貸款組合收益0.068，結(jié)果列入表12第1行第13列。

將表12第1行第1-12列代入式(33)后求得10000個Xi，將Xi由小到大排序后代入式(34)可求得冪風險譜為0.0101，結(jié)果列入表12第1行第14列。

將表12第1行第13、14列，代入“收益/冪風險譜”=0.068/0.101=6.73，表示單位冪風險譜上獲得的收益，結(jié)果列入表12第1行第15列。

5 模型的對比分析

5.1 對比模型1

思路：將式(34)中目標函數(shù)替換為式(21)的貸款組合收益的風險價值VaR最小，其他約束條件式(36)-(38)不變，構(gòu)建對比模型1。求解所得貸款配置結(jié)果如表12第2行前12列所示。

表11 冪風險譜的風險厭惡權(quán)重φi

表12 貸款配置結(jié)果

將表12第2行第1-12列代入式(35)得貸款組合收益0.0675，結(jié)果列入表12第2行第13列。

將表12第2行第1-12列代入式(33)后求得10000個Xi，將Xi由小到大排序后代入式(34)可求得冪風險譜為0.0197，結(jié)果列入表12第2行第14列。

將表12第2行第13、14列，代入“收益/冪風險譜”=0.0675/0.0197=3.43，表示單位冪風險譜上獲得的收益，結(jié)果列入表12第2行第15列。

5.2 對比模型2

思路：將式(34)中目標函數(shù)替換為貸款組合收益的條件風險價值CVaR式(27)最小，其他約束條件式(36)-(38)不變，構(gòu)建對比模型2。求解所得貸款配置結(jié)果如表12第3行前12列所示。

與上文5.1同理求得貸款組合收益0.0693、冪風險譜為0.0129、“收益/冪風險譜”=0.0693/0.0129=5.37，結(jié)果列入表12第3行第13-15列。

5.3 對比結(jié)果與分析

由表12可知，表12第1行第1-12列是本模型對于12筆貸款的配置結(jié)果，表12第2行是對比模型1用VaR最小為目標函數(shù)的貸款配置結(jié)果，表12第3行是對比模型2用CVaR最小為目標函數(shù)的貸款配置結(jié)果。

收益方面，由表12第12列可知，是對比模型2采用CVaR為目標函數(shù)時，獲得的收益最大為0.0693。

風險方面，由表12第13列可知，是本模型采用冪風險譜為目標函數(shù)時，其風險最小為0.0101。

單位風險的收益，由表12最后一列可知，是本模型采用冪風險譜為目標函數(shù)時，其貸款配置結(jié)果的單位風險的收益最大為6.73。故本模型為最優(yōu)模型。

6 結(jié)語

(1)本文通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，并以冪風險譜PSR最小為目標函數(shù)，以貸款組合的收益大于目標收益為約束，構(gòu)建貸款優(yōu)化配置模型。通過冪風險譜PSR、條件風險價值CVaR、風險價值VaR三種模型對比，實證結(jié)果表明基于冪風險譜PSR的貸款配置模型在單位冪風險譜下的收益優(yōu)于條件風險價值CVaR與風險價值VaR的貸款配置模型。

(2)利用冪風險譜來度量資產(chǎn)組合的風險，通過損失-Xi越大、其風險權(quán)重?i也就越大的思路，構(gòu)建冪風險譜PSR最小建立非線性規(guī)劃的目標函數(shù)，使資產(chǎn)配置的最優(yōu)組合反映的風險厭惡的價值偏好。即彌補了現(xiàn)有研究條件風險價值CVaR[6-9]僅均等看待尾部風險、忽略風險較大的損失應(yīng)予以更大權(quán)重，也同時彌補了現(xiàn)有研究風險價值VaR[2-5]僅提供某一置信水平下資產(chǎn)損失的最大值、無法反映一旦超過這一數(shù)值的可能損失的弊端。

(3)通過蒙特卡洛模擬信用等級遷移引起貸款收益的變化情景，并以信用等級遷移后貸款組合損失越大、則風險厭惡權(quán)重越大的思路構(gòu)建冪風險譜PSR最小為目標函數(shù)，以貸款組合的收益大于目標收益為約束，構(gòu)建貸款優(yōu)化配置模型，改變了現(xiàn)有研究[2-9]貸款配置時沒有同時控制信用風險和尾部風險的不足。