高考數學導數題的幾種解題方法

宋傲寒

高考數學中考到導數題的可能性極高，而導數部分往往成為同學們的難點。全國一卷自13年至17年文數、理數均涉及導數大題，不難看出導數在高考試卷中所占的地位十分重要。并且在16年的高考大綱中明確提出：在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查，展現數學的科學價值和人文價值，努力實現全面考查綜合數學素養的要求。本文針對近幾年的高考導數題進行了分析與總結，歸納并整理了幾種解題方法，希望能對考生起到一定的幫助。

方法一：放縮法

無法用分離法和主變量法解決的問題，可嘗試用放縮法，放縮時需注意放縮的尺度，放縮尺度不同，精確度不同。在解答導數問題中，我們常用的是函數切線，割線逼近兩種方法，這兩個常用的結論為lnx≤x-1（當且僅當x=1時等號成立），ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立）。

例題? （2014 年全國Ⅰ卷，理 21）設函數，曲線在點（1，f （1））處的切線為y= e（x-1）+2

（I）求a， b; （Ⅱ）證明：.

高考中常用的幾種放縮類型

一、對數放縮

（放縮成一次函數）

（放縮成雙鉤函數）

（放縮成二次函數）

（放縮成類反比例函數）

二、指數放縮

（放縮成一次函數）

（放縮成類反比例函數）

（放縮成二次函數）

三、指對放縮

四、三角函數放縮

五、以直線y=x-1為切線的函數

方法二：浮出主元法

浮出主元法即為將題目中的兩個未知數a、b中的一個用未知量x進行代換，使得未知量x具有未知數的性質，此類方法使用時需注意可用x代換a、b，但不能用a、b代換x。

例題 （2013陜西，理21）（本小題滿分14分）已知函數f（x）=ex，x∈R.

（1）若直線y=kx+1與f（x）的反函數的圖像相切，求實數k的值;

（2）設x>0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）公共點的個數;

（3）設a

解析 2013陜西理數第21題第三問 即可使用浮出主元法的方法進行運算

（1）f（x）的反函數為g（x）=lnx.

設直線y=kx+1與g（x）=lnx的圖像在P（x0，y0）處相切，則有y0=kx0+1=lnx0，k=g'（x0）=，解得x0=e2，.

（2）略解得

當x>0時，

若0

若，曲線y=f（x）與y=mx2有一個公共點;

若，曲線y=f（x）與y=mx2有兩個公共點.

（3）法一：（浮出主元法）由題可知a

那么比較與的大小

即比較（b-a）[f（a）+ f（b）]與2[f（b）- f（a）]的大小

不妨設x∈（0，b）

設g（x）= （b-x）[f（x）+ f（b）]- 2[f（b）-f（x）]? g（b）= 0

g'（x）= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x）f'（x）+2f'（x）

? ?= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x+2）f'（x）

? ?= -ex-eb+（b-x）ex+ 2ex

? ?= ex-eb+（b-x）ex

g'（x）= ex-eb+（b-x）ex? ? ? ? ?g'（b）= 0

g''（x）= ex+ex （b-x-1）=（b-x） ex>0

∴ g'（x）單調遞增? 又∵g'（b）=0 ∴g（x）單調遞增? g（x）>0

令x=a 將a代入g（x）中? 即可證出

法二：可以證明

事實上，

令

則 （僅當x=0時等號成立），

∴ψ（x）在[0，+∞）上單調遞增，

∴x>0時，ψ（x）>ψ（0）=0.

令x=b-a，即得（*）式，結論得證.

方法三：高等數學在導數中的應用

導數試題中涉及到了較多的高等數學知識，比如洛必達法則、泰勒展開式、中值定理等。適當的了解并學會應用高等數學的知識，可以使得解題速度大大提高。例題第二問中使用的簡便方法便是洛必達法則。

例題? （全國卷）已知函數，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0，

（Ⅰ）求a、b的值;

（Ⅱ）如果當x>0，且x≠1時，，求k的取值范圍。

解析? （Ⅰ）略解得a=1? b=1

? （Ⅱ）（洛必達法則）

參考文獻：

[1]百度文庫用戶mhacker618. 高考導數大題中最常用的放縮大法. 百度文庫. 2018（8）

[2]韋問敏.高考數學導數試題解題研究——以2013-2016年新課標全國卷為例，云南師范大學 2017