歐氏空間正交分解的一個應用

勞美鳳 覃俐慧 盧家寬

摘 要 內積空間是高等代數里最優美的理論之一，它把幾何、代數、分析熔于一爐。本文討論歐氏空間的正交分解的一個應用，即對有限維歐氏空間規范正交基的存在性給出了一個較為自然的證明，從而使得初學者較好掌握施密特正交化方法。

關鍵詞 歐氏空間 規范正交基 正交補

中圖分類號：TN911文獻標識碼：A

1基本定義與命題

內積空間是高等代數里最優美的理論之一，它把幾何、代數、分析熔于一爐。大部分高等代數教材只處理了內積空間理論的有限維部分，但對于這一相對較為簡單部分的理解，不僅對于完成高等代數的學習是必要的，而且也為將來學習更深入的內積空間理論打下堅實的基礎。

有限維歐氏空間規范正交基的存在性定理，在歐氏空間理論中具有基本的重要性。因此，施密特正交化方法也是重要的方法。但有的高等代數教材介紹施密特正交化方法時，處理的方法不夠自然，使得學生在理解和掌握施密特正交化方法時存在一定的困難。本文使用歐氏空間的正交分解，對有限維歐氏空間規范正交基的存在性給出了一個較為自然的證明，從而使得初學者較好掌握施密特正交化方法。

本文只討論有限維歐氏空間。

2基本定義與命題

定義1：歐氏空間兩兩正交的非零向量的向量組稱為正交組.僅由一個非零向量組成的向量組也說是正交的。

若正交組中的每個向量都是單位向量，則該正交組稱為規范正交組。

歐氏空間的由正交組構成的基稱為的正交基。由規范正交組構成的基稱為的規范正交基。

性質2：設是歐氏空間的規范正交基，則

定理3（正交分解）：設是歐氏空間的有限維子空間，則。

3正交分解的一個應用

定理4：設是歐氏空間的線性無關的向量，則可從出發作出正交組，且，

教材介紹該定理的證明時，都是直接使用施密特正交化方法給出新的向量組，并驗證滿足要求，并沒有解釋為什么此方法從何而來，使得學生在理解和掌握施密特正交化方法時存在一定的困難。我們從歐氏空間的正交分解定理出發，給出了如下較為自然和簡潔的證明，從而使得初學者較好地理解和掌握施密特正交化方法。

定理4的證明 （歸納法）當時，因為只含一個非零向量的向量組也是正交組，令即可。

假設當時，結論成立，即從可從出發作出正交組

當時，令則由定理3知， 令其中。則是正交組。這時，由性質2有

注意到，從而有

因此，

容易驗證 證畢。

設是歐氏空間的基，則可從出發作出正交組，再正交化。從而說明歐氏空間存在規范正交基。

基金項目：本文得到大學生創新創業訓練項目（201910602068）的支持。

參考文獻

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[2] 張賢科，許甫華.高等代數學[M].北京：清華出版社，2004.