《古典概型》教學方法探析

朱華 汪小梅

摘 要 古典概型是《概率論與數理統計》第一章：隨機事件及其概率 中的一個小節，是概率論中非常重要的一個概念，對于后面章節的學習幫助極大。

關鍵詞 古典概型 排列組合

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

在概率論發展史上，最先研究的是一類最直觀、最簡單的隨機現象，在這類隨機現象中，樣本空間的每個基本事件發生的可能性都相等，這樣的數學模型我們稱之為等可能概型。如果樣本空間只包含有限個不同的樣本點，則稱為古典概型。古典概型是《概率論與數理統計》第一章：隨機事件及其概率 中的一個小節，是概率論中非常重要的一個概念，對于后面章節的學習幫助極大。

1古典概型的定義

一般地，古典概型的基本思路如下：

（1）隨機試驗的樣本空間只有有限個樣本點，不妨記作;

（2）每個基本事件發生的可能性相等，即

若隨機事件A中含有個樣本點，則事件A的概率為：

古典概型是概率論發展初期計算概率的常用方法，所得的概率又稱為古典概率。在古典概型中，關鍵在于計算樣本空間及事件A中的樣本點的個數，而在計算中經常用到排列組合的方法，所以在介紹古典概型之前給學生復習下或者詳細講解下（文科學生高中未學排列組合）排列組合的方法是很有必要的。

2排列與組合相關概念

加法原理：完成一件事，可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，...，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。

乘法原理：完成一件事，需要分成個步驟，做第一步時有種不同的方法，做第二步時有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。

組合：從個不同的元素中任取個不同元素，不考慮次序將它們并成一組，稱之為組合，所有不同的組合種數記為，

排列：從個不同的元素中任取個不同元素，按一定的順序排成一列，稱之為排列。所有不同的排列種數記為。

組合數的計算公式：，排列數的計算公式：

3典型題型

例1：拋擲骰子模型。

拋擲一顆勻質骰子，觀察出現的點數 ， 求“出現的點數是不小于3的偶數”的概率.

解：樣本空間 ={1，2，3，4，5，6}，n=6

事件A=“出現的點數是不小于3的偶數”={4，6}，m=2

事件A的概率為：

例2：正品率和次品率。

設在100 件產品中，有 4 件次品，其余均為正品.

求：（1）這批產品的次品率;

（2）任取3件，全是正品的概率;

（3）任取3件，剛好兩件正品的概率。

解略

例3：投球入盒問題。

把3個小球隨機地投入5個盒內。設球與盒都是可識別的。

求下列事件的概率：（1）? A=“指定的三個盒內各有一球

（2）B =“存在三個盒，其中各有一球

解：（1），，

（2），，

例4：生日問題。

某班有50個學生，求他們的生日各不相同的概率（設一年365天）。

分析：此問題可以用投球入盒模型來模擬：

50個學生50個小球

365天365個盒子

4小結

古典概型的核心是樣本點的計算，而排列組合的方法是關鍵，這也是重點和難點，這些需要大量的練習來熟練。

參考文獻

[1] 朱曉穎，蔡高玉，陳小平.概率論與數理統計[M].人民郵電出版社，2016.

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