物理競賽中含有非平衡電橋的復雜電路問題研究

姚春賢

(江蘇省蘇州市西安交通大學蘇州附屬中學,江蘇 蘇州 215000)

電路的分析聯系著理論教學和實驗兩大物理主線,且其教學內容與實際有著密切的聯系,在高中物理教學中有著舉足輕重的地位．非平衡電橋在實際工程和科學實驗中應用較廣,如測量溫度、壓力、形變等[1-3],已成為中學物理競賽、高考及高等學校物理實驗的熱點問題．為了更有效地指導學生學會靈活應用非平衡電橋法解決實際問題,培養其高層次的實驗素養和創新實踐能力,本文將對戴維南定理、基爾霍夫定律及△-Y變換法進行簡單介紹,并將其應用于含有非平衡電橋的復雜電路問題中．通過實例演練和對比,總結出一套行之有效的求解方法,希望能夠為廣大師生提供一些參考．

1 戴維南定理

戴維南定理的推導和證明一般高中都不涉及(大學教材都會詳細講解[4]),為了便于學生理解,本論文將通過具體的實例給出戴維南定理的內容．在圖1(a)電路中,E=10 V,r=1 Ω,R1=1 Ω,R2=2 Ω,R3=3 Ω,問R4上的電壓為多少?對于這種只需計算復雜電路的一個支路上的電壓或電流時,可以將這條支路畫出,而把其他部分看作是一個由理想電源(E0)和內阻(R0)串聯的電源來等效代替．E0為有源端口網絡的開路電壓,即將R4斷開后A、B兩端的電壓,R0為去除端口網絡中所有電源(將理想電壓源短路,理想電流源開路)后的等效輸入電阻,這就是戴維南定理．利用戴維南定理,如圖1(a)所示的電路即可簡化為圖1(b)的形式,求等效電源的過程其實就是求等效電動勢和等效內阻的過程,其中

(1)

(2)

(a)原始電路圖

對于戴維南定理的使用條件及注意事項可參考文獻[4]．

2 基爾霍夫定律

基爾霍夫定律包括基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律．

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律,簡記為KCL,是電流的連續性在電路上的體現,其物理背景是電荷守恒定理．即在電路中任意一個節點上,任一時刻流入節點的電流之和等于流出該節點的電流之和,方程為

(3)

其中,n是與所求節點相連的支路數,ik是第k個進入或離開該節點的電流．

基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律,簡記為KVL,是電場為位場時電位的單值性在電路上的體現,其物理背景是能量守恒定理．即沿著閉合回路所有元件兩端的電勢差(電壓)的代數和等于0,方程為

(4)

其中,m是這個閉合回路的元件數目,uk是該回路中第k個元件兩端的電壓．

3 △-Y變換法

圖2(a)和圖2(b)分別為△網絡和Y網絡,△網絡中的3個電阻分別為R12、R23和R31,Y網絡中的3個電阻分別為R1、R2和R3,兩個網絡中任意兩個節點之間的電壓及分別從3個節點(節點1、節點2和節點3)流入的電流如圖2所示,根據完全等效的原理，即

i1△=i1Y,i2△=i2Y,i3△=i3Y,

(5)

u12△=u12Y,u23△=u23Y,u31△=u31Y,

(6)

(a) 三角形聯接電路圖 (b) 星形聯接電路圖

可導出△-Y變換公式即

(7)

特別的,當構成△或Y電路的3個電阻相等時,

(8)

△-Y變換的推導和證明詳細講解見文獻[4]．對于△-Y變換的使用條件及注意事項可參考文獻[5]的實例練習．

4 實例

計算如圖3所示電路中經過電阻R9兩端的電流I9．

圖3 包含非平衡電橋的復雜電路

對于單一的非平衡橋式電路可直接通過戴維南定理、基爾霍夫定律或△-Y變換法進行求解,具體求解過程可參考文獻[6]．

仔細觀察圖3可知,該電路并非單一的非平衡電橋電路,而是包含了非平衡電橋的復雜電路(圖3中右側的虛線框內的部分為非平衡電橋),因此直接用戴維南定理、基爾霍夫定律或△-Y變換法進行求解比較困難,本文將戴維南定理與基爾霍夫定律或△-Y變換法相結合用于求解本題,其求解過程相對簡單,且便于師生理解．

4.1 直接用戴維南定理求解

根據上文中講述的戴維南定理及使用條件,首先對圖3所示電路中的局部電路1進行一次戴維南等效,而其余部分保持不變,經等效變換后可得到如圖4所示的電路．

圖4 對局部電路進行戴維南等效后的電路圖

其中,Req為局部電路1(圖3所示電路中左側虛線框內的電路)的等效電阻,Eeq為等效電壓源．

經簡化后,發現要求出流經電阻R9兩端的電流,其電路結構仍然比較復雜,需對電路進行第二次戴維南等效,分別畫出求解開路電壓和等效電阻的電路圖,如圖5和圖6所示．

圖5 求解開路電壓的等效電路圖

圖6 求解等效電阻的等效電路圖

仔細觀察圖5和圖6,可知根據電路圖5不難求出開路電壓,但是在圖6中仍然包含非平衡橋式電路(圖6虛線框內的結構),因此仍然需要利用前文中講述的△-Y變換法求解其等效電阻．

通過上述討論可知,在此題的求解中,如果單獨使用戴維南定理對其進行分析,其求解過程比較復雜而且計算量較大,本論文不做詳細計算,讀者可進行相關計算．

4.2 戴維南定理和△-Y變換法相結合進行求解

首先對圖3所示電路中的局部電路1進行戴維南等效,而其余部分保持不變可得到如圖7所示的電路．

圖7 對局部電路1進行戴維南等效后的電路圖

仔細觀察該電路圖,發現其中的非平衡電橋電路中包含了由對稱電阻構成的三角形電路(圖7中虛線框內的電路結構),因此可直接對虛線框內的電路結構進行△-Y變換,變換后可得如圖8所示的電路結構圖．

圖8 經△-Y變換后的等效電路圖

繼續對圖8進行串/并聯等效可得如圖9所示的等效電路．

圖9 經串/并聯等效后的電路圖

圖9中Ra,Rb和Rc分別為3個分支的等效電阻,Ia,Ib和Ic為流經電阻Ra,Rb和Rc的電流,其電流方向如圖9所示．根據圖9電路結構,很容易求解出電流Ib和Ic,其計算結果過程和計算結果如下.

(9)

(10)

(11)

將圖9中所標識的數據代入方程 (9)～(11),可得Ia=1.5 A,Ib=1.125 A,Ic=0.375 A．根據圖3可知,I9=Ib-Ic=0.75 A．通過比較4.1和4.2中的兩種解法,可知戴維南定理和△-Y變換法相結合的方法對于求解含有非平衡電橋的復雜電路更加簡便和容易．

4.3 戴維南定理和基爾霍夫定律相結合進行求解

這種解法的第1步跟4.2節中的解法一致,通過對電路中的局部電路1進行戴維南等效,而其余部分保持不變可得到如圖10所示的電路．

圖10 對局部電路1進行戴維南等效后的電路圖

然后利用基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律對該電路進行分析,在圖10所示的電路中I1、I5、I6、I7、I8和I9分別為流過電阻Req、R5、R6、R7、R8和R9上的電流,其電流方向如圖10所示．

選取如圖10所示的節點1、節點2和節點3,并利用基爾霍夫電流定律分別對節點1、節點2和節點3列KCL方程,其方程組1的表達式如下.

節點1:I1-I5-I6=0.

(12)

節點2:I5-I7-I9=0.

(13)

節點3:I6+I9-I8=0.

(14)

選取如圖10所示的回路1、回路2和回路3(3個回路的方向均為順時針方向,如圖10所示),并利用基爾霍夫電壓定律分別對回路1、回路2和回路3列KVL方程,其方程組2的表達式如下.

回路1:I6R6+I9R9-I5R5=0.

(15)

回路2:I9R9+I8R8-I7R7=0.

(16)

回路3:I1Req+I5R5+I7R7-Eeq=0.

(17)

將題目中所有已知數據代入方程組1和方程組2,并聯立方程組求解,可得，I9=0.75 A．

通過比較4.1、4.2和4.3中的3種解法,可知將戴維南定理與基爾霍夫定律或△-Y變換法相結合用于求解本題,其求解過程相對簡單,且便于師生理解．

5 結論

非平衡電橋是電路理論教學環節中比較重要的一個環節,針對高中物理教學內容的特點和中學生的認知能力,本論文首先給出了戴維南定理、基爾霍夫定律和△-Y變換法的具體內容,并以實例的形式將戴維南定理與基爾霍夫定律或△-Y變換法相結合用于求解含有非平衡電橋的復雜電路,通過分析對比,讓學生熟練掌握和應用戴維南定理、基爾霍夫定律和△-Y變換法在復雜電路中的應用,并得出了適宜中學生學習和掌握的求解方法．近兩年來,在本校的教學實踐表明,本方法得到了廣大師生的一致好評．