確界原理與連續歸納法的等價性

劉曉蘭

【摘要】本文先利用實數的連續歸納法證明了確界原理，然后利用確界原理證明了實數的連續歸納法，說明了二者的等價性。

【關鍵詞】實數 確界原理 數學歸納法

【Abstract】In this paper， the principle of Supremum and Infimum is proved by the continuous induction of real Numbers firstly， then the equivalence relation between continual induction and the Principle of Supremum and Infimum is given.

【Keywords】real number； principle of supremum and infimum； mathematical induction

【中圖分類號】O172.2 【文獻標識碼】C 【文章編號】2095-3089（2018）38-0128-01

1.引言

確界原理作為極限理論的基石在微積分理論中占有極為重要的地位，關于它的證明方法也有很多種，其中，文[1]通過實數的無限小數表示法來證明的做法顯得尤為巧妙簡潔，但若仔細推敲其證明過程，不難發現其中亦有許多美中不足之處，文[2]修正了其證明，但同樣復雜。本文先用連續歸納法給出確界原理的一個簡單證明，然后用確界原理給出連續歸納法的證明，證明了二者的等價性，進而可以將實數的連續歸納法作為實數完備性定理之一。

張景中院士在文[3]中提出了實數的連續歸納法，這是一個簡單、便于應用和掌握的方法。從它出發，可以用統一模式推出已知的一系列關于實數的定理并用統一模式證明微積分中涉及連續性的各個命題。[4]

2.關于正整數的數學歸納法原理

由上可知，連續歸納法與確界原理等價，故而它可以作為實數基本定理之一。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系編.數學分析（上冊）（第四版）[M].高等教育出版社.

[2]韓誠. 確界原理的一個修正證明[J].大學數學2014（30）：69-70.

[3]張景中，曹培生. 從數學教育到教育數學（最新版） [M] . 中國少年兒童出版社.

[4]張景中.數學與哲學[M].長沙： 湖南教育出版社.