素數的來源與“1-1”定理

程中戰

一、定義

兩個正整數集合的各元素沒有共同的分解質因子，稱這兩個集合互質。

例，A={3 6 7 21}，B={5 11 13 17 25}，集合A與B互質;

一個正整數集合的各元素與一個正整數沒有共同的分解質因子，稱這個正整數與這個集合互質。如上例中，5與集合A互質;

集合的所有元素的連乘積稱為集合的乘積，例，集合A={3 6 7 21}，集合A的乘積為

A=3×6×7×21

二、倍數公理

把正整數集合A適當分成兩個互質的集合B與C，有x=B+C， y=B-C，則x、y與集合A互質。例，A={2 3 5 6 7 11 13}，B={5 7 13}，C={2 3 6 11}，

x=B+C=455+396=851=23×37， y=B-C=455-396=59，顯然，851，59都與集合A互質。

三、素數的生成表達式

連續素數冪的集合A={1 2a 3b 5c 7d 11e 13f…pi}，冪指數a、b、c…i為非負整數，把集合A任意分成兩個集合B、C，有x =B+C，y=B-C ，則x、y一定是新素數或是若干個新素數的乘積。

特別地，當小于等于■（或■）的最大素數為p1，而又p1小于等于 p時，x（或y）一定是素數。

例，A={22 33 5 7 11 13}，B={{22 33 7}，C={5 11 13}，x=1471，y=41

因為■=6.403，5<6.403，5<13，所以，41一定是素數。

A={2 3 5 7 11 13 17 19 23}，B={{3 13 17 23}，C={2 5 7 11 19}，x=29879，y=619

因為■，23<24.879，23=23，所以，619一定是素數。

四、素數的來源

1+1=2， 2+1=3，把1看成是特殊的素數，這樣素數的最初集合為A ={1 2 3}，把A一分為二，有2×3±1=7， 5 這樣素數的集合擴展為A ={1 2 3 5 7}，再把A一分為二，有3×7±2×5=31，11;2×5±3=13，7。 用這種方法繼續擴展素數集合，就可以得出所有的素數。這個過程可表為口訣，1生2，2生3，3生萬數。顯然，運用倍數公理及素數的生成表達式直接就證明了素數有無窮多個。

對于每個大偶數2n（2n>4）總存在p1與p2關于n對稱，其中p1、p2為奇素數，有p1=n+k，P2=n-k，即2n=p1+p2，例，n=210，■=14.491，小于14.491的最大素數是13，從2～13的所有素數是 2 3 5 7 11 13， ?210的分解質因子是 2 3 5 7，那么210±11×13=353， 67是兩個素數，210±13=223，197也是兩個素數，所以，2×210=420=353+67=223

+197

五、“1-1”定理

任何一個偶數（包括0）都可表示為無窮多對不同的奇素數之差。

關鍵詞：孿生素數，類孿生素數，n生素數。

孿生素數：差為2的兩個奇素數;

類孿生素數：差為n的兩個奇素數（n為偶數）;

n生素數：即類孿生素數，例如，差為4的兩個奇素數稱為4生素數，差為6的兩個奇素數稱為6生素數，

證明：在素數數列1 2 3 5 7（p中，假設p是最后一個素數，據倍數公理則有：

（1）2×3×5×7×（×p±1必為一對孿生素數;

（2） 3×5×7×11×（×p±2必為一對差4的素數;

（3）2×5×7×11×（×p±3必為一對差6的素數;

（4）3×5×7×11×（×p±4必為一對差8的素數;

（5）2×3×7×11×（×p±5必為一對差10的素數;

（6）5×7×11×13×（×p±6必為一對差12的素數;

……

一般地，1×2×3×5×7×11×…×p±k必為一對差2k的素數。k為正整數，連乘積中不含k的質因子。假設p是素數數列中最后的一個素數時，必然存在最后一對孿生素數、四生素數、…n生素數，然而，通過上述計算式又可得出新的一對孿生素數、四生素數、…n生素數，所以，孿生素數、四生素數、…n生素數是無窮多的。又因為素數無限多，所以，素數p-p=0也無限多。

因此，任何一個偶數（包括0）都可表示為無窮多對不同的奇素數之差。

故，“1-1”定理成立。