線性二次型調節器算法研究

朱云昊，湯衛紅

（海裝西安局 西安 710068）

0 引言

四旋翼飛行器結構簡單、輕便易攜帶、能垂直起降、自由度高，是一種良好的驗證飛行控制算法的平臺，無人機飛行控制系統是其能夠安全、有效地完成復雜戰術、戰略使命的基本前提，因此，研究無人機的自動飛行控制技術具有十分重要的現實意義。目前線性二次型調節器（LQR）在處理可精確數學描述的對象時取得了很大的成功，在提高飛行控制系統的穩定性方面能發揮較大作用。

1 線性調節器方程

其中，x為n維狀態向量；u為r維控制向量，且u不受限制。尋找一個最優控制，使

為極小。

其中，F為n?n對稱半正定常數陣；Q(t)為n?n對稱半正定時變陣。R(t)為n?n對稱正定時變陣。求解這個最優控制問題，可以用極小值原理，也可以用動態規劃法。這里用極小值原理來求解。

1.1 極小值原理求解

（1）哈密頓函數為

（2）伴隨方程為

（4）將u*代入狀態方程得

初始狀態為x(t0)

1.2 另外一種求解方式：Riccati微分方程[1]

設

其中，P(t)為待定的n?n時變陣。

稱為Riccati微分方程。其邊界條件為

狀態反饋的閉環方程為

最優性能指標為

2 線性伺服機方程

要求系統的輸出跟蹤指定的輸入函數η(t)。η(t)與輸出向量y有相同維數。尋求最優控制u*(t)，使以下性能指標取極小值[2]。

2.1 極小值原理求解

性能指標中的加權陣F和Q(t)為半正定，R(t)為正定。

控制方程為

邊界條件為

2.2 另外一種求解方式：Riccati微分方程

這時不能像線性調節器那樣，僅認為λ(t)和x(t)有關系。為此，設

對t求導：

最優控制

可見，u*包括兩項：一項是狀態x反饋；另一項代表跟蹤η(t)所必須的控制信號。

線性時變系統·方程

系統能控的條件下，無限時間伺服機問題的最優控制解存在，并且可以通過有限時間伺服機問題的解取tf→∞的極限求得。于是

最優控制

3 算法的解釋[3]

系統的協態方程為

橫截條件：

轉移矩陣?(t,t0)，該齊次方程組滿足初始條件λ(t)=p(t)x-ξ(t)

將?(t,t0)2n*2n分為四個n?n的子矩陣，可以得到

可以得到：

令

所以λ(t)=p(t)x-ξ(t)。

4 線性二次型框圖

輸入的控制量與反饋的狀態之間會有一定誤差e，通過LQR控制使得誤差e保持在最小，使輸出狀態與預期盡可能保持一致，求出最優控制u，使誤差取最小值[4]。

圖1 LQR控制框圖

5 小結

本文詳細的描述線性二次型調節器的基本原理及算法，從算法的構造，推導，解算，解釋等幾個方面，結合線性二次型的分類，說明了該算法的詳細流程。結合原理，畫出了線性二次型的基本結構框圖。