基于Drucker-Prager模型的FRP約束混凝土力學性能分析

蔡小玲 楊俊杰

(1.無錫環境科學與工程研究中心,無錫 214153; 2.無錫城市職業技術學院建筑工程學院,無錫 214000;3.浙江工業大學建筑工程學院,杭州 310014)

0 引 言

纖維增強復合材料(Fiber Reinforced Polymer,FRP)具有強度高、質量輕和耐腐蝕等優點,并已經廣泛應用于加固和新建結構中[1-4]。如果混凝土受到FRP布的約束,其抗壓強度和延性將得到極大的提高。FRP約束實心混凝土目前已得到廣泛的研究,我國規范[5]也對此類構件的設計作出了規定。關于FRP-混凝土-鋼雙壁柱(即FRP約束空心混凝土)的研究卻相對缺乏。除強度高、延性好以外,該結構形式還具有自重輕和抗彎剛度大的優點,可以被用于橋梁和高層結構中。

文獻[6-8]對FRP-混凝土-鋼雙壁短柱的軸壓性能進行了實驗研究并提出了應力-應變關系模型。研究表明:混凝土可以有效抑制內鋼管的屈曲而內鋼管可以為混凝土提供有效的約束。實驗研究雖然可以準確的模擬實際情況,但是它不能夠了解混凝土截面的應力分布也很難進行大量的參數分析。此外,已有的應力-應變模型基本都只適用于FRP約束實心混凝土,不能夠考慮不均勻約束應力的影響。但是有限元模擬可以克服上述確定,尤其是能夠得到混凝土截面的應力分布情況。有限元模擬采用的約束混凝土本構關系一般都來自Drucker-Prager模型或塑性損傷模型。研究人員對這些模型進行了適當的改進使之能夠較好地模擬FRP約束混凝土的力學性能[9-10],但是此類研究仍較為缺乏或缺少足夠的實驗驗證。

本文旨在通過基于Drucker-Prager材料模型的有限元方法對FRP約束混凝土,尤其是FRP-混凝土-鋼雙壁柱(FRP約束空心混凝土)的軸壓力學性能進行研究。基于主動約束混凝土和FRP約束實心混凝土的實驗研究,作者對有限元軟件ABAQUS提供的線性Drucker-Prager材料模型進行了適當的改進,并通過實驗數據驗證了改進后材料模型的正確性。在此基礎上,本文進行了廣泛的參數分析,主要包括混凝土截面應力分布的比較、空心率和FRP約束剛度對FRP約束空心混凝土力學性能的影響。作者最后對此類FRP約束混凝土的極限強度和極限應變進行了預測并和已有的實驗結果進行了比較。

1 Drucker-Prager材料模型及其改進

1.1 屈服準則

Drucker-Prager準則可以理解為von Mises準則的簡單修正,它主要考慮了靜水壓力對屈服的影響。ABAQUS提供了三種擴展的Drucker-Prager模型,本文只討論其中的線性模型。線性Drucker-Prager 模型屈服準則的數學表達式為

F=t-ptanβ-d=0

(1)

p=-I1/3

(2)

式中:t與偏應力張量的第二不變量(J2)和流動應力比值(K)相關;I1是主應力張量的第一不變量;β是材料的摩擦角;d是強化/軟化函數。

系數K為等雙軸抗壓強度和三軸抗壓強度的比值,其主要控制屈服面在偏平面上的形狀。當K=1時,在偏平面上的屈服面為von Mises圓。根據文獻[10]的研究,FRP約束混凝土的K值在0.7左右。為了確保屈服面外凸,ABAQUS將K的取值限定在0.778和1之間。若無特別說明,本文將K取為0.78。

本文基于FRP約束圓形混凝土的經驗強度公式來推導材料摩擦角β的取值。混凝土在均勻環向壓力(fl)下的軸壓強度可由式(3)確定[11]:

(3)

(4)

因為假定β只與材料本身有關而與σl無關,故可求得摩擦角β為53.7°。

1.2 強化準則

(5)

式中,β是1.1節中確定的摩擦角。

本節將通過文獻的實驗數據來推導適用于FRP約束混凝土的強化準則模型。

文獻[13]對主動約束混凝土(均勻圍壓)和FRP約束混凝土的軸壓性能進行了研究。混凝土試件為直徑63 mm、高126 mm的圓柱體,其單軸抗壓強度為51.6 MPa。主動約束混凝土承受的恒定圍壓分別為5 MPa、7.5 MPa、10 MPa、15 MPa、20 MPa和25 MPa。根據實驗測定的軸向應力-應變曲線和所受的圍壓可以確定混凝土在整個加載過程中的應力狀態和應變狀態(主要是軸向塑性應變)。混凝土的軸向塑性應變可以由下式確定:

(6)

圖1 硬化準則模型Fig.1 Strain hardening rule

基于上述討論,FRP約束混凝土的強化準則模型(即ABAQUS中輸入的應力-塑性應變數據)為:達到峰值應力前與單軸受壓混凝土的應力-塑性應變數據一致,此后應力保持恒定。若無單軸應力-應變的實驗數據可根據我國混凝土規范[14]確定,并將總應變根據式(6)轉換為塑性應變(σl=0)。

1.3 流動法則

(7)

式中:dλ為非負標量函數;?G/?σij規定了塑性應變增量矢量的方向;G為塑性勢能函數。

如果塑性勢能函數和屈服函數F相同,則流動法則和屈服條件是關聯的,反之則為非關聯的。由于混凝土的復雜性,需采用非關聯的流動法則。ABAQUS將塑性勢能函數定義為[12]

G=t-ptanψ

(8)

式中:t,p的定義同式(1);ψ是膨脹角,材料膨脹時為正,收縮時為負。

研究表明[10],FRP約束混凝土的膨脹角在加載過程中不是恒定不變的而是和塑性應變有關。

(9)

λ1=11.61ρ+980

(10)

λ2=5 700ρ+225 000

(11)

ψu=101.66exp(-0.06ρ)-37.5

(12)

(13)

由式(9)可知,流動法則主要與FRP的約束剛度有關。

圖2 流動法則Fig.2 Flow rule

1.4 Drucker-Prager模型在ABAQUS中的實現

有限元軟件ABAQUS提供了線性Drucker-Prager材料模型來模擬約束混凝土的力學性能。摩擦角(friction angle,β=53.7°)、流動應力比(flow stress ratio,K=0.78)由第1.1節確定。強化模型數據(Drucker-Prager hardening data)由第1.2節提出的強化準則模型確定。以上的參數都與應變無關,在計算過程中保持不變。

根據第1.3節對流動法則的討論,膨脹角(dilation angle =ψ)與混凝土的塑性應變相關,在計算過程中隨著塑性應變的發展而變化。ABAQUS中的SDFV選項可以實現用戶自定義與域變量(如塑性應變)相關的材料性質。該域變量又可以通過用戶子程序(subroutine)來定義。通過此方法可以考慮膨脹角在計算過程中隨著塑性應變發展的變化。

2 模型驗證

2.1 FRP約束實心混凝土

文獻[13]共對6類18個FRP約束混凝土圓柱體進行了軸向壓縮試驗。試件共包括三類FRP(表1)和兩種厚度(一層或兩層),其中,t是每層FRP布厚度,fuh是FRP抗拉強度,Ef是FRP彈性模量。混凝土圓柱體的尺寸仍為半徑63 mm、高126 mm。素混凝土單軸抗壓強度為51.6 MPa。

表1FRP材性

Table 1Material properties of FRP

基于ABAQUS的有限元模型如圖3所示。由于對稱性,本文只對實際試件的1/8建模。FRP布采用膜單元(M3D4R),混凝土采用實體單元(C3D8R)。模型底面(即實際構件的中間截面)的Z方向平動,側面1的Y方向平動和側面2的X方向平動被約束。模型采用位移加載,在其頂面添加一個豎直向下(-z方向)的位移。模型的網格劃分如圖3所示,單元尺寸大致為2 mm×2 mm。FRP布和混凝土界面部分的節點自由度彼此耦合(ABAQUS中的“Tie”命令),即FRP布和混凝土無相對滑動。FRP布設為各項異性材料,只考慮其環向模量,縱向模量、剪切模量設為無限小,泊松比為零。混凝土采用線性的Drucker-Prager材料模型,其參數設置(即屈服準則,強化準則和流動法則)根據本文第1節中的相關推導確定。因為模型上下端面的Ux和Uy自由度均未約束,構件不存在端部約束效應。截面應力分布沿z向無變化,文中選取模型的底面(即實際構件的中部截面)進行截面應力分析。

由圖4所示的應力-應變曲線可知:基于Drucker-Prager材料模型的有限元模型可以較準確地預測FRP約束實心混凝土在軸向壓縮時的應力、應變發展過程,混凝土的極限狀態應力也可以得到準確地預測。

圖3 FRP約束混凝土有限元模型Fig.3 FEM model of FRP confined concrete

圖4 FRP約束混凝土的應力-應變曲線Fig.4 Stress-strain curves of FRP confined concrete

2.2 FRP約束空心混凝土

較之FRP約束實心混凝土(圖5(a)),FRP約束空心混凝土具有自重輕、抗彎剛度大等優點。此外,空心混凝土收到不均勻的約束應力,其橫截面的軸向應力分布也是不均勻(詳見第2.1節的討論),只有通過有限元分析才能準確地確定其橫截面的應力分布。本文選取了文獻[8]的實驗結果來驗證有限元模型。實驗試件的截面形式如圖5(b)、圖5(c)所示,二者的唯一區別是有無內鋼管。

用于驗證的試件分別是DSTC(D37-C2-I,II)和CFHT(H37-A2-I,II)。FRP布的彈性模量是80.1GPa,拉伸強度為1 060.6 MPa(已考慮強度折減系數0.581,詳見文獻[16]),厚度為0.34 mm。素混凝土單軸抗壓強度為37 MPa。混凝土外徑為152.5 mm,DSTC試件的內徑為88 mm (鋼管壁厚2.1 mm,屈服強度352.7 MPa),CFHT試件的內徑為42 mm。基于ABAQUS的有限元模型和第2.2節中的類似,內鋼管采用理想彈塑性模型,其單元類型為殼單元S4R。內鋼管和混凝土內壁的界面節點的自由度仍全部耦合。

實驗得到的和有限元分析得到的應力-應變曲線的比較如圖6所示。本文提出的有限元模型可以較準確地預測FRP約束空心混凝土的應力-應變曲線。極限應力預測誤差在10%以內,能夠滿足精度要求。通過本節的驗證可以表明,基于Drucker-Prager材料模型的有限元模型可以合理地預測FRP約束混凝土的力學性能,該模型能夠用于后續的參數分析。

圖5 截面形式Fig.5 Cross-section type

圖6 FRP約束空心混凝土的應力-應變曲線Fig.6 Stress-strain curves of concrete-filled double-skin tubes

3 參數分析

3.1 混凝土截面應力分布

本小節主要研究了FRP約束實心混凝土(CFFT,圖5(a))和FRP約束空心混凝土(含內鋼管,DSTC圖5(b);不含內鋼管,CFHT圖5(c))的截面應力分布。試件的幾何尺寸為:外徑150 mm,

內徑80 mm,FRP布厚度0.3 mm,內鋼管厚度2.0 mm。混凝土單軸抗壓強度為51.6 MPa,鋼管的屈服強度為300 MPa。FRP布彈性模型為200 GPa,抗拉強度為1 630 MPa。有限元模型的建立和分析過程同本文第2節的介紹。達到極限狀態時的混凝土截面應力云圖如圖7所示,其中受壓為負,s11表示徑向應力,s22表示環向應力,s33表示軸向應力。

對于FRP約束實心混凝土(圖7(a)),由于混凝土受到均勻的約束,其環向和徑向應力的大小相等(均等于約束應力fl),軸向應力也在截面上均勻分布。軸向應力和環向、徑向應力的關系完全滿足式(3)。然而,對于FRP約束空心混凝土(圖7(b)、圖7(c)),其截面上的應力分布是不均勻的。環向應力和軸向應力的大小均沿著徑向(由內到外)降低,而徑向應力的大小沿著徑向增加。這些應力沿著環向均是均勻分布的。圖7也表明由于應力分布的不均勻,式(3)不能直接使用以確定軸向應力和約束應力的關系。

圖7 FRP約束混凝土截面應力分布Fig.7 Cross-sectional stress distribution of FRP confined concrete

為了進一步分析FRP約束空心混凝土的截面應力,圖8繪出了徑向應力(σr=s11)和環向應力(σθ=s22)沿徑向的變化,其中,p0為約束應力。圖8表明徑向應力沿著徑向增加(均小于約束應力),環向應力沿著徑向降低(均大于約束應力),且在任意位置的環向應力均大于徑向應力。對于FRP約束實心混凝土,其徑向和環向應力均等于約束應力。圖8繪出了含內鋼管(DSTC)和不含內管(CFHT)兩種情況下的混凝土截面應力分布。若增加內鋼管,徑向應力值會提高而環向應力值會降低,混凝土圓環內側和外側的應力梯度會降低(即截面的徑向和環向應力分布趨于均勻)。由圖8的軸向應力云圖可知,內鋼管可以使截面軸向應力的分布更加均勻,但是其外側的軸向應力會略低于不含內鋼管的FRP約束混凝土。圖8中的虛線為根據彈性力學計算所得的應力分布(無內鋼管),可以發現有限元計算結果和理論分析結果基本一致。

圖8 徑向和環向應力沿徑向的分布Fig.8 Radial and circumferential stress distribution along radial direction

3.2 空心率的影響

由第3.1節的討論可知,內鋼管可以顯著降低混凝土截面應力分布的不均勻性。實驗研究[8]也表明,若無內鋼管,內側混凝土更易被壓壞且混凝土向內的膨脹不能被有效的約束,進而降低了FRP的約束效應。因此無內鋼管的FRP約束混凝土(CFHT)在工程實際中的應用價值不大,本文接下來將只對含內鋼管的FRP約束空心混凝土(DSTC,即FRP-混凝土-鋼雙壁短柱)的力學性能進行討論。

空心率(φ)是影響FRP約束空心混凝土力學性能的重要因素。空心率的定義為混凝土圓環內徑和外徑之比。本文選取了四個空心率進行分析(即φ=0,0.27,0.53和0.80),分別對應實心混凝土,內徑為40 mm、80 mm和120 mm的空心混凝土試件。除FRP布的抗拉強度設為1 500 MPa外,試件的其他參數同第3.1節。有限元分析所得的應力-軸向應變曲線和橫向-軸向應變曲線如圖9所示。隨著空心率的增加,這些曲線的形狀并沒有明顯的改變。如圖9所示,混凝土的極限強度和極限軸向應變都隨著空心率的增加而增加。FRP約束空心混凝土比實心混凝土具有更高的強度和更好的延性。

圖9 空心率對FRP約束空心混凝土(DSTC)性能的影響Fig.9 Effects of void ratio on behaviour of concrete-filled FRP double-skin tubes (DSTC)

3.3 FRP約束剛度的影響

混凝土的三軸抗壓強度與其所受的圍壓直接相關。對于FRP約束混凝土,FRP布的剛度決定了圍壓增長的快慢和圍壓的大小(若假定FRP布極限拉伸應變不變)。因此FRP約束剛度對混凝土的力學性能有較大的影響。本文采用約束剛度系數(ρK)來表征FRP布的約束剛度,其定義如下[17]:

(14)

本小節分析了不同約束剛度系數下的混凝土應力-應變曲線和橫向-軸向應變曲線。約束剛度系數分別為0.21、0.31、0.41、0.62和0.83,分別對應的FRP布厚度為0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm、0.6 mm和0.8 mm。試件的其他參數同第2.2節。

圖10給出了不同約束剛度下的FRP約束空心混凝土的應力-應變曲線和橫向-軸向應變曲線。隨著約束剛度的增加,應力-應變曲線的強化階段曲線的斜率有明顯的增加,這表明混凝土軸壓應力增加的速率提高了。約束混凝土的極限強度和極限軸向應變也隨著約束剛度的增加而增加,但是約束剛度對極限強度的影響更為明顯。比較圖9和圖10可知,空心率對軸向應變的影響更為明顯,而約束剛度對軸壓強度的影響更為明顯。

圖10 約束剛度對FRP約束空心混凝土(DSTC)性能的影響Fig.10 Effects of confining stiffness ratio on behaviour of concrete-filled FRP double-skin tubes (DSTC)

4 極限強度預測

(15)

(16)

式中:fuh是FRP布抗拉強度;系數ke只與空心率相關,二者的關系通過擬合本文3.2節的有限元結果確定:

(17)

基于上述方法,FRP約束空心混凝土的極限狀態預測如圖11所示,其中包括了文獻[7-8]的實驗結果。由圖11可知,式(15)-式(17)可以較準確地預測混凝土的極限強度,預測結果和有限元(或實驗)結果之比的平均值為1.01,變異系數為0.10。

圖11 FRP約束空心混凝土(DSTC)的極限強度預測Fig.11 Prediction for ultimate strength of concrete-filled FRP double-skin tubes (DSTCs)

5 結 論

本文基于Drucker-Prager模型運用有限元軟件ABAQUS對FRP約束混凝土的力學性能進行了研究,可以得到以下主要結論:

(1) 對于ABAQUS自帶的線性Drucker-Prager模型,FRP約束混凝土的摩擦角為53.7°。用于強化準則模型的應力-塑性應變數據為:達到峰值應力前與單軸受壓混凝土的一致,此后應力保持恒定。流動法則可以根據式(9)確定。通過實驗驗證,本文確定的Drucker-Prager模型的參數能夠滿足精度要求。

(2) 與FRP約束實心混凝土相比,約束空心混凝土的截面應力(徑向、環向和軸向應力)分布并不均勻。通過設置內鋼管可以降低應力分布的不均勻性,改善FRP約束空心混凝土的力學性能。

(3) 本文討論了空心率和FRP約束剛度對FRP約束空心混凝土(含內鋼管,DSTC)力學性能的影響。空心率增加和FRP約束剛度的增加均可導致混凝土極限強度和極限應變的增加。研究發現,空心率對極限應變、約束剛度對極限強度的影響更為明顯。

(4) 本文提出了對FRP約束空心混凝土極限強度的預測公式,該公式考慮了空心率的影響,并和有限元結果及實驗結果的誤差很小。