對課標教材中相對誤差的表達式的理解和教學建議

■江西省南昌市第十中學 邵建群

相對誤差是人教版普通高中課程標準實驗教科書物理必修1學生實驗第3節《誤差和有效數字》中的概念，由于該部分不是教材中的主要內容，加上高一物理學時少、對實驗教學的輕視等原因，所以大部分學生包括教師都普遍對本節概念中的相對誤差的表達式及列舉的數據感到費解，在教學過程中同行之間也有過劇烈的爭論。現我在本文對上述問題作一番分析，膚淺或不當之處希望專家和同行們指正。

教材以毫米刻度尺測量一段銅線的直徑為例：直接測量讀數為1.2mm，由于估讀不準確，產生的誤差可能為0.2mm甚至更大，暫且說這次的誤差是0.2mm，則誤差與測量值之比為0.2/1.2=17%；如果把銅線密繞在木棒上共10匝，測出10匝的直徑和為12.3mm，由于是同一尺子即誤差還是0.2mm，則誤差與測量值之比變為0.2/12.3=1.6%。

之后教材把兩個式子推廣得出：相對誤差=絕對誤差/測量值。教學過程中發現：不少學生和教師對文中的相對誤差的表達式持否定態度，對0.2mm的得來及把它作為絕對誤差感到困惑，對第二次累積法測量的相對誤差中的分母12.3mm為什么不用一匝的1.23mm感到不可理解。我翻閱各中物理實驗參考書后認為，教材上相對誤差的表達式欠妥，但站在高中生、高中教材的角度又可認為該公式正確，這是因為：1.教材上給出了誤差的定義，但對絕對誤差僅僅根據給出的米尺的數據誤差是0.2mm，強行給出一個絕對誤差的概念不很嚴密。

其實絕對誤差就是教材中誤差的定義，但正如有了速度這個物理量但在實際生活中為了描述運動的快慢又細分為瞬時速度和平均速度這兩種一樣，誤差=測量值-真實值表達式中，如果單位一致表達式就表示物理學上的絕對誤差，教材和教學時應增加絕對誤差的引入背景，只有這樣才能讓學生接下去理解相對誤差的含義；至于教材認為米尺在測量長度時的絕對誤差是0.2mm是根據標準偏差的計算公式得出米尺的絕對誤差是最小分度的五分之一得到的一個極限誤差2.相對誤差的引入背景同樣很重要：如要比較速度表達式中的測量中長度和時間的絕對誤差，就會發現比較這兩種單位和物理量都不同的絕對誤差毫無意義。

為了解決以上問題，需引入另外一個物理量即相對誤差。相對誤差是絕對誤差與真實值之比，但由于公式中的絕對誤差無法求出，所以物理實驗理論中一般用標準偏差（或極限誤差，平均偏差）求出絕對值的近似值，定義中分母真實值同樣不能得出，為此實驗物理學中認為如果誤差是偶然誤差，則多次測量后（學生實驗一般取4～10次為最佳）的平均值作為真實值代入，這是因為多次測量的數據產生的偶然誤差中有正有誤，相加后可抵消一些，所以長用算術平均值代表真實值，這就會出現教材中相對誤差的表達式為相對誤差=絕對誤差/測實值，物理學一般用標準偏差（或極限誤差，平均偏差）和多次測量的平均值之比作為對相對誤差的估計值是通行做法，所以在教學過程中對相對誤差的幾種表達式的形式應向學生簡單介紹并引導學生理解。由此可得到原來教材中的相對誤差值是其實是相對誤差的估計值，從高中生的知識程度和課標教材對高中實驗精確度要求來看是可行的。

但鑒于教材的權威性和導向性，我認為在學生理解的基礎上把教科書上的相對誤差的幾種表達式相應改為：相對誤差=絕對誤差/真實值，實際上往往用例子中的相對誤差=極限誤差/測量平均值來作為相對誤差的估計值就更科學、更全面。這不僅有利于高中物理的學，而且也有利于高中物理的教，更有利于學生對待實驗數據的態度和處理技巧。提高學生的物理核心素養中的科學思維和科學探究及科學態度和責任感。另外，對第二次測10圈的相對誤差，編者的意圖是比較米尺測一圈與10圈總長的相對誤差的大小，但我認為應比較兩次均測一圈的相對誤差，否則讓學生感到難于理解：測得圈數越多，總長越長，同把米尺的相對誤差越小。但用同一把尺測量過短和過長都會產生較大的誤差這一事實不符。