巧用數形結合法破解初中函數難題

數形結合法是將函數表達式（數）與函數圖象（形）緊密聯系起來，把復雜的函數問題轉化為直觀易懂的圖形問題，或者借助數的精確性來闡明形的某些屬性，從而降低問題的難度，提高解題效率.

1一次函數中的數形結合問題

例1如圖1，直線 l₁:y₁=kx+a 分別交 x 軸、（204號 軸于點 A(-2，0) 、 B(0，1) .直線 l₂:y₂=-2x+ b 分別交 x 軸 .y 軸于點 δ_C，D ，與直線 l₁ 相交于點 E ，已知

解得 所以直線 l₁ 的表達式為

（2）因為 B(0，1) ，

所以 OB=1

因為

所以 OC=3OB=3 ，

所以 C(3，0) ·

把 C(3，0) 代人 y₂=-2x+b ，

得 -6+b=0 ，

解得 b=6 ，

所以 y₂=-2x+6 ，

聯立

解得

所以 E(2，2) ·

又 A(-2，0)，C(3，0) ，

所以 AC=3-(-2)=3+2=5 ，

所以S△AEC

（3）由(2）知， E(2，2) ，（1）求 l₁ 的表達式；

（2）求 ΔACE 的面積；

(3）直接寫出 y₁>y₂ 時， x 的取值范圍.

解析 （1）根據題意得

觀察函數圖象可得，當 x>2 時，函數 y₁ 的圖象在函數 y₂ 的圖象上方，

所以，當 _y1>y₂ 時， x 的取值范圍是 x>2

點評本題第(2)問需要求解 ΔACE 的面積，需要通過函數表達式（數）確定三角形的底邊和高，進而利用三角形面積公式求出 ΔACE 的面積；第（3)問中，觀察函數圖象(形)可知，直線 l₁ 在直線 l₂ 的上方時對應的點的橫坐標的范圍，即為所求，體現了“以形助數、以數解形”的數形結合思想.

2二次函數中的數形結合問題

例2如圖2，拋物線 y=-x²+bx+3 與 x 軸交于點 A 和點 B ，與 軸交于點 c ，且 OA=OC ，點M，N 是直線 x=-1 上的兩個動點，且 MN=2 （點N 在點 M 的上方），則四邊形 BM+CN 的最小值是

解析因為點 c 是拋物線 y=-x²+bx+3 與（204號 軸交點，所以點 c 的坐標為 (0，3) ，所以 OA=OC=3 ，所以點 A 的坐標為 (-3，0) ，所以 0=-9-3b+3 ，所以 b=-2 4所以拋物線解析式為：（20 y=-x²-2x+3=-(x+1)²+4 .所以拋物線對稱軸為直線 x=-1 ，令 y=0 ，則 -x²-2x+3=0 ，解得 x=1 ，或 x=-3 ，所以點 B 的坐標為 (1，0) ，取 E(0，1) ，連接 AM，EM，AE ，所以 CE=MN=2 又因為 MN//CE ，所以四邊形MNCE是平行四邊形，

所以 CN=ME

因為點 ^A，B 關于直線 MN 對稱，所以 AM=BM ，

所以 BM+CN=AM+ME?AE 0

所以當 A，M，E 三點共線時， AM+ME 最小，最小為 AE ，即此時 BM+CN 最小，

所以 ，所以四邊形 BM+CN 的最小值為

點評本題需要先求出點 C 的坐標，求出點 A 的坐標即可求出拋物線解析式，從而求出點 B 的坐標，取 E(0，1) ，連接 AM，EM，AE ，可證四邊形MNCE是平行四邊形，得到 CN=ME ，則四邊形BCNM的周長 =BC+CN+NM+BM ，再由點 A ，B 關于直線 MN 對稱，得到 AM=BM ，則 BM+CN =AM+ME≥AE ，故當 A，M，E 三點共線時，AM+ME 最小，最小為 AE ，即此時 BM+CN 最小，據此求解即可.在本題中，利用函數表達式確定點的坐標，再通過幾何圖形的性質和數量關系進行求解，體現了數形結合法在解決復雜函數問題中的強大作用.

3結語

數形結合法作為一種重要的數學思想方法，在初中函數學習中具有不可替代的作用.它能夠將抽象的函數知識直觀化、形象化，幫助學生更好地理解函數的概念和性質，提高學生解決函數難題的能力.通過本文的探討和實例分析，希望能為教師的教學和學生的學習提供有益的參考，讓學生在函數學習中充分運用數形結合法，提升數學素養，為今后的數學學習打下堅實的基礎.在未來的教學中，應進一步加強對數形結合法的研究和應用，不斷探索其在函數教學中的新途徑和新方法，以提高數學教學質量.

參考文獻：

[1]邱麗濱.初中數學教學中數形結合法的應用案例分析[J].考試周刊，2015(93)：50.

[2]張維軍.“數形結合法”在初中數學解題中的應用[J].數理天地(初中版）， .2023(7):29-30

[3]王銀峰.初中數學中“數形結合”的妙用[J].天天愛科學（教育前沿），2019(8)：132.