沙溪口水電站壩下整治工程數學模型與物理模型比較研究

張 明, 彭 偉,王 斐,馮小香,王義安

(交通運輸部天津水運工程科學研究所 工程泥沙交通行業重點實驗室，天津 300456)

水工數學模型和物理模型是當前水運工程研究中普遍采用的技術手段，兩者各有利弊。對于一些復雜的水運工程問題，數學模型和物理模型常相互配合[1-7]，以發揮各自的長處，并提高研究的精度。不過，目前數學模型和物理模型結果的相似性和差異性問題卻缺乏足夠研究，除在少數領域開展過對比研究外[8-10]，對于內河航道整治工程中的一些復雜問題進行對比研究的還較少，尤其是鎖壩、明渠等對天然河道水流有明顯影響的整治建筑物，因工程前后河道水流特性可能會發生比較大的變化，進行兩者比較研究對于成果間的相互驗證十分必要。

本文以沙溪口壩下航道整治工程為實例，通過比較分析，研究了數學模型、物理模型的鎖壩分流量問題，對比了兩者在航道水深、水位、流速等通航條件上的相似性和差異性，提出了滑梁水、剪刀水等礙航水流在數學模型中的識別方法。研究成果可為復雜水工模型試驗提供參考，對同類航道整治工程也具有一定的借鑒意義。

1 模型試驗方案

沙溪口水電站位于閩江干流沙溪與富屯溪匯合口下游約5.5 km，在水口水電站上游約108 km。沙溪口水電站壩下近壩段處于水口水庫的回水變動區，當水口庫水位較低時，該段河道比降大、水深淺、流速大，具有典型山區河流特性[11]。

沙溪口船閘下游設計最小通航流量為265 m3/s，天然情況下船閘下游水位僅63.07 m，比設計最低通航水位63.8 m低0.73 m，近壩段航道水深一般僅0.3～0.8 m(圖1)，達不到航道設計水深2.1 m的要求。在航道升級整治工程中，擬采用鎖壩、丁壩、明渠相結合的方案來抬高船閘下游水位，結合適當疏挖方式增加航道水深。鑒于整治方案的復雜性，研究采用數學模型進行了多組次方案的篩選試驗，在此基礎上，利用物理模型對方案效果進行了驗證，并進一步對方案進行了優化。本文重點關注數學模型和物理模型試驗成果的相似性和差異性問題，為便于對比，僅以設計方案為例進行說明，設計方案(圖2)布置情況主要如下：

圖1 沙溪口樞紐壩下河勢圖Fig.1 River graph of reaches downstream Shaxikou hydro-junction

(1)沙溪口壩下航道設計水深2.1 m，明渠上游段航道寬40 m，明渠內航道寬55 m，明渠下游段航道寬50 m。

(2)在右汊修建鎖壩一條，壩長約184 m，壩頂高程63.8 m，壩頂寬2 m，迎水坡1 ∶2，背水坡1 ∶3。

(3)在左汊修建對口雍水壩，下接通航明渠一條，明渠長約1 660 m，頂寬100 m，渠首底高程61.1 m，渠尾底高程58.45 m，渠底底坡1.6‰，兩側渠壁高2.0 m，明渠右側邊坡1 ∶2.5，明渠左側邊坡1 ∶20。

(4)在左汊鯉魚洲中部拋設一條丁壩SJ1，為防止流量大于265 m3/s時明渠右側向明渠內產生滑梁水，在右側明渠外的中、下部拋設兩條丁壩SJ2和SJ3。

(5)對口壅水壩、明渠兩側擋墻壩頂寬1 m，對口壅水壩和明渠左側擋墻的兩側邊坡均為1 ∶0.5，明渠右側擋墻的內側邊坡為1 ∶2.5，外側邊坡為1 ∶0.5。

(6)對左汊鯉魚洲邊灘進行局部疏挖，疏挖控制高程61.6～63.5 m；將明渠內航道的高點炸除，不足設計高程區域采用填筑塊石混凝土填充，其它航段僅炸除高于設計底高程的淺點區域，近壩段航道的設計底標高見圖3。

圖2 設計方案平面布置圖Fig.2 Layout of design scheme圖3 壩下近壩河段航中線高程與設計底標高沿程變化圖Fig.3 Natural and design riverbed elevations at mid-route along waterway downstream the dam

2 數學模型與物理模型簡介

2.1 數學模型

2.1.1 控制方程

(1)

水平方向動量方程

(2)

(3)

式中：u、v，ω分別為ξ、η和σ方向的速度分量；t為時間變量；H為總水深；Q為單位面積的水量變化值；g為重力加速度；ρ0為水體密度；Pξ、Fξ和Mξ為ξ方向的靜水壓力梯度、紊動動量通量、動量的源(匯)，Pη、Fη和Mη為η方向的靜水壓力梯度、紊動動量通量、動量的源(匯)；Cξ和Cη為坐標轉換系數；υV為垂向紊動系數。

2.1.2 計算網格

數學模型進口為沙溪口樞紐壩址，出口位于壩軸線下游約4.5 km。模型采用正交曲線網格，在計算域內共布置了735×270個網格，縱向網格平均尺度約6.1 m，橫向網格平均尺度約2.5 m，明渠附近網格進行了加密處理，縱向網格尺度一般4～8 m，橫向網格尺度一般1～4 m。

2.1.3 模型驗證

模型計算地形為2015年實測地形。根據同年觀測的270 m3/s、1 000 m3/s、1 800 m3/s三級流量下的水位、斷面流速、汊道分流比對平面二維水流數學模型進行驗證，驗證結果表明，上述三級流量下，對于船閘最近的水位測站，模型計算的水位與實測水位相差僅-0.03 m、-0.07 m、-0.02 m，其它水位測站最大相差均在±0.1 m；模型計算斷面流速分布與實測值基本一致，左汊分流比在上述三級流量下相差分別為-4.7%、-2.4%、-2.6%，數學模型驗證的精度滿足規范要求，可以用于航道整治工程的方案論證計算。

2.1.4 鎖壩處理

鎖壩會造成局部水頭損失，數學模型將其能量損失在參量化后以源匯項的形式添加到動量方程中，主要以下式表示

(4)

式中：H0為鎖壩頂部水深；△E為鎖壩上下游的水頭損失；△x為沿水流方向的網格寬度。

2.2物理模型

物理模型為1 ∶50的整體定床正態模型，按重力相似準則設計。模型范圍自沙溪口水電站壩上1 km處至壩下4.5 km附近，模擬河段長約5.5 km，模型依據的地形與數學模型相同。

物理模型采用平面導線控制系統進行放樣，采用斷面法進行地形制作，平面誤差和高程誤差均控制在±5 mm以內。進口流量由西門子電磁流量計控制，測量精度為0.01 L/s(模型流量)，尾水位用帶微調的翻板式尾門進行控制和調節，整體表層流場采用尚水公司研制的VDMS流場實時測量系統測量，測量精度為0.1 m/s(原型流速)，單個測點流速采用ACM2-RS型電磁流速計測量，測量精度為0.1 cm/s(原型流速)。

物理模型也采用三級流量對河道沿程水位、斷面流速及左汊分流比進行驗證，驗證結果表明，在Q=270 m3/s、1 000 m3/s、1 800 m3/s時，對于船閘最近的水位測站，模型水位與實測水位偏差分別為-0.01 m、0.01 m、-0.08 m，其它測點的水位偏差一般在±0.10 m以內；各測流斷面流速分布趨勢、主流位置及流速大小與實測值基本一致；左汊分流比模型觀測值與實測值偏差分別為-2%、-3.9%、-2.9%。

3 數模和物模試驗結果比較分析

3.1 分流比

鯉魚洲右汊修建鎖壩后，其水流具有堰流特性，堰流水流形態與上游水位有關，水位流量關系可根據堰流的理論公式計算

(5)

(6)

式中：Q為流量；σs為淹沒系數；ε為側收縮系數；m為流量系數；g為重力加速度；Hw為堰頂全水頭；H0為堰頂以上作用水頭；a0為動能修正系數；υ0為斷面平均流速。

將上式淹沒系數σs、側收縮系數ε取1，b取184 m時，在給定的堰頂以上作用水頭H0后，查詢流量系數，并根據迭代計算后可以得到鎖壩理論最大過流量和水位流量關系，以此水位流量關系作為模型試驗的參考約束值，與數學模型與物理模型得到的右汊過流量進行對比。

圖4 鎖壩上游水深流量關系Fig.4 Deep-discharge relationship of closure dike

由圖4可見，在上游堰頂水深小于0.8 m時，相同水深情況下數學模型與物理模型的流量值均比理論計算值偏低，原因主要在于鎖壩附近右岸岸邊存在突嘴，小流量對鎖壩過流存在一定的收縮效應；在上游堰頂水深為1～2 m時，如電站下泄流量Q=1 000 m3/s、1 800 m3/s條件下，相同水深情況下數學模型與物理模型的流量值比較接近，與理論公式計算值也相差不多；在上游堰頂以上水深約2.9 m時，如電站下泄流量Q=3 000 m3/s條件下，相同水深情況下，數學模型計算的右汊過流量比理論計算值偏大，可能是在洪水流量下，鎖壩兩側邊灘溢流，右汊實際過流寬度要大于鎖壩長度，從而增加了數學模型計算的右汊過流量。

從數學模型和物理模型的左汊分流比來看，工程前后，數學模型和物理模型的結果總體上吻合較好，但個別流量級下仍存在一定的偏差。在對比的五級流量下，偏差較大的是電站泄流Q=353 m3/s時，數學模型與物理模型結果相差約9%，這主要是因為在相同流量下，物理模型水位偏低，導致其鎖壩過流量偏少，同時因小流量情況下，分流量的少量變化對于分流比影響較大。在其余情況下，工程前后，各級流量下數學模型和物理模型的左汊分流比相差均在5%以內。

3.2 航道水位

因數學模型和物理模型建模時地形處理方式的不同，二者水位除一些控制性斷面相差不多外，沿程其余測點處的水位并非都能吻合較好，往往存在一定的偏差。尤其是對一些缺乏驗證資料的流量級，個別位置的水位測點，數學模型和物理模型結果有時還相差較大。此時若以絕對值進行比較，其結果因包含了兩種研究方法的差異，而使得研究結果的差異進一步放大；而工程前后各自的水位相對變化值可以消除研究方法的差異，兩者的變化規律一般較為一致。

從天然情況船閘下閘首水位來看，設計最小通航流量下(Q=265 m3/s)數學模型比物理模型高0.09 m，設計最大通航流量下(Q=3 000 m3/s)高0.3 m，但若從二者工程前后相對值的變化來看，最小通航流量、最大通航流量下數學模型水位分別抬升0.62 m、0.01 m，而物理模型水位分別抬升0.63 m、0.11 m，兩者相差-0.01 m、-0.10 m。兩者的規律基本一致，誤差也更小。

3.3 航道水深

從數學模型結果來看，明渠出口向下游，由于下游航道開挖引起水位下降等原因，下游航道水深比設計水深2.1 m略有偏低，最小為1.79 m，位于明渠出口處。明渠中部由于水位雍高，航道水深在2.07～2.18 m，明渠渠首及沙溪口水電站施工橋橋區河段，航道水深在1.67～1.94 m間，鯉魚洲洲頭向上游，航道水深約為2 m。航道水深主要呈現兩頭低，中間高的特征。

物理模型航道水深的分布規律與數學模型計算值基本一致，但由于物理模型水位相對較低，航道水深也相應小些，明渠渠首上游約160 m處的丁壩SJ1附近，航道水深最小，僅為1.57 m。明渠內航道水深一般為1.62～1.8 m。

3.4 航道流速

采用實測垂線平均流速與表面流速之間的關系(圖5)，將平面二維水流數學模型計算的垂線平均流速值轉換為表面流速，并與VDMS采集的物理模型表面流速進行比較，以沙溪口水電站泄流Q=3000 m3/s時為例，從航道中心線流速來看(圖6)，數學模型計算值與物理模型測量值的變化趨勢基本一致，但局部位置仍存在一定的差異，如明渠尾部500 m航段，數模計算值整體上比物理模型測量值偏小，最大相差0.56 m，平均相差0.31 m，定義流速偏差率=(物理模型流速-數學模型流速)/數學模型流速×100%，其中流速偏差率取絕對值，則該段流速偏差率最大為24%，平均為13%。明渠進口500 m航段及明渠下游500m航段，流速偏差率平均分別為5%、6%。

對于沙溪口水電站施工橋橋區河段，在Q=265 m3/s、1 000 m3/s、1 800 m3/s、3 000 m3/s時，數學模型最大流速分別為2.45 m/s、2.72 m/s、3.04 m/s、2.92 m/s，物理模型最大流速分別為2.38 m/s、2.61 m/s、3.2 m/s、3.35 m/s，流速偏差率分別為2.9%、4.0%、5.3%、14.7%，上述典型流量級下，數學模型與物理模型結果總體上差別不大。

圖5 實測垂線平均流速與表面流速關系 Fig.5 Relationship of measured data between depth-averaged velocity and surface velocity圖6 近壩段航道物理模型與數學模型流速沿程變化對比圖Fig.6 Contrast map of velocity between physical model and mathematical model along the waterway

3.5 復雜礙航水流

利用數學模型和物理模型的流場信息進行航道縱向流速、橫向流速和回流流速分析在目前航道整治工程研究中的應用較為廣泛，但對于滑梁水、剪刀水這類具有較強動態特性的復雜礙航水流，以往研究中，主要根據物理模型試驗來觀察流態，利用數學模型進行分析研究的報道較少。

物理模型試驗表明，一般情況下，丁壩SJ1因挑流影響斜流偏大；在電站泄流Q≥750 m3/s時，明渠渠頂及丁壩SJ2、SJ3漫流后，因丁壩為斜坡式結構，壩頭處壩頂高程較低，丁壩上游產生向明渠內的翻壩水流，航道內的斜流強度較大，最大橫向流速可達0.78 m/s。隨著流量進一步增大，丁壩及明渠渠頂淹沒深度增加，丁壩挑流作用有所減弱；明渠出口處，由于左右側礁石挑流作用，航道內產生剪刀水，尤以Q=1 000 m3/s、Q≥1 800 m3/s時較為明顯，最大橫向流速達1.08 m/s。

圖7 Q=1 000 m3/s時近壩段航道橫向流速分布圖Fig.7 Transverse velocity distribution of waterway downstream the dam at discharge 1 000 m3/s圖8 明渠出口典型斷面流速分布圖Fig.8 Velocity distribution of typical section near the open channel export

將數學模型計算的航道流速分解成平行與航線的縱向流速和垂直與航線的橫向流速(橫向流速向左為正，向右為負)，以Q=1 000 m3/s為例(圖7)，因丁壩SJ1、SJ2、SJ3挑流影響，在其附近的航道均有明顯的橫向流速高值區，尤其在丁壩SJ3附近，航道右側邊緣局部流速達0.6～0.9 m/s，與物理模型觀測結果基本一致；明渠出口下游，因左右側水流與經明渠而下的主流交匯，流場較為紊亂，橫向流速分布也較不規則，從典型斷面(明渠下游150 m)流速分布(圖8)來看，航道兩側水流匯入航道較為明顯。從滑梁水、剪刀水在各級流量下的強弱變化規律來看，均以電站下泄流量Q=1 000 m3/s最為典型，數學模型通過分析航道縱向流速和橫向流速分布揭示的滑梁水、剪刀水等礙航水流規律與物理模型觀測結果基本一致。

4 討論

水工物理模型試驗是建立在相似理論基礎之上的，只有相似理論所規定的各項相似條件得到滿足時，模型水流運動才能同原型水流達到相似[12]。但實際上，物理模型與原型難以做到完全相似，試驗過程中，水位、流場等數據也會因采集設備及手段的制約而產生一定的誤差。水工數學模型通過建立水流連續性方程和動量方程來描述水流的運動，由于水流運動的復雜性，一些復雜水流現象在機理的認識上還不足，此外，因數學模型一般對整治建筑物進行一定的概化處理，在整治建筑物具體結構型式以及局部流態問題的模擬方面還存在一定的不足。因此，水工物理模型和數學模型均是原型的一種近似，客觀上兩種模型均存在誤差，雖然理想情況兩種模型結果趨于一致，但實際的差異常常難以避免的。這也是本文數學模型和物理模型結果出現相似性和差異性的主要原因。

對于一些復雜的水工模型問題，基于兩種模型結果相似性的特點，在前期研究中，可以發揮數學模型研究周期短、研究范圍不受場地限制、方案修改方便的優勢，進行多方案篩選計算，并為物理模型提供邊界條件；因兩種模型結果存在一定的差異，以及物理模型直觀和對于局部工程問題模擬更精確的原因，需要物理模型對數學模型成果進行進一步驗證，以提高研究的精度，并進行方案的細部優化。這種數學模型和物理模型相互配合的復合模型研究方法在沙溪口水電站壩下航道整治工程中得到了很好的應用，該方法對于縮短試驗周期、節約試驗費用具有積極作用。

5 結論

(1)在沙溪口水電站壩下航道整治工程研究中，數學模型和物理模型的分流比、航道水位、水深、流速等總體上差別不大，兩種方法均可以模擬航道內的滑梁水、剪刀水等礙航水流，但兩者局部位置的水位、流速以及個別流量級的分流比仍具有一定的差異。

(2)基于數學模型和物理模型結果的相似性和差異性，對于復雜的水工模型問題，建議開展數學模型和物理模型相互配合的復合模型研究，以發揮兩種手段的優勢，縮短研究周期和節約試驗費用，并提高研究精度。