用于鐵路線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損識(shí)別的概率密度分布演化方法

徐 磊，翟婉明，陳憲麥，陶偉峰

(1.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031；2.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410075；3. 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092)

我國(guó)擁有龐大的鐵路線路網(wǎng)，線路長(zhǎng)期穩(wěn)定、安全運(yùn)營(yíng)所需的狀態(tài)監(jiān)測(cè)管理工作重要性日益凸顯。國(guó)內(nèi)外一般采用綜合檢測(cè)列車對(duì)影響行車的線路異常情況進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)與綜合評(píng)判。影響車輛-軌道耦合系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱此系統(tǒng))的隨機(jī)因素眾多，各因素之間的相互作用機(jī)理尚未完全明確。此系統(tǒng)的激擾源具有隨機(jī)性和演變性(如常見的軌道不平順)，在理想的平順狀態(tài)下能夠反映到車輛響應(yīng)中的線路傷損，極易被線路不平順產(chǎn)生的響應(yīng)掩蓋。從隨機(jī)不平順激擾下的車輛響應(yīng)中解耦出線路損傷產(chǎn)生的響應(yīng)亦是困難的，因?yàn)槌黄巾樀碾S機(jī)變化特性外，線路本身的動(dòng)力參數(shù)也是隨機(jī)的。因此，通過車輛系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)實(shí)時(shí)反饋線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)及傷損情況是一個(gè)艱巨的研究課題。

現(xiàn)階段，一般基于計(jì)算機(jī)或雷達(dá)視覺分析軌道系統(tǒng)圖形特征，進(jìn)行病害的診斷[1-2]。本文基于隨機(jī)分析的一般理論，考慮線路不平順的空間隨機(jī)性和長(zhǎng)時(shí)效演變性，以及軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)的隨機(jī)性，將車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論[3]與概率密度演化方法[4]結(jié)合，提出一種用于鐵路線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損識(shí)別的概率密度分布演化方法。該方法以車輛-軌道耦合動(dòng)力模型為核心，在妥善解決用于動(dòng)力模型激勵(lì)的軌道不平順隨機(jī)性及演變性模擬、線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)隨機(jī)模擬與組合等兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上，將正常與傷損下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行概率密度分布的差分，從而發(fā)現(xiàn)線路損傷。

1 軌道不平順的隨機(jī)性和演變性模擬

對(duì)于某段待監(jiān)測(cè)的鐵路線路，采用如下方法模擬此區(qū)段軌道不平順的隨機(jī)性和長(zhǎng)時(shí)效演變性。

(1)制定不同線路條件下的累計(jì)概率譜。文獻(xiàn)[5]指出軌道不平順譜近似服從自由度為 2 的χ2分布函數(shù)。可針對(duì)不同的鐵路線路區(qū)段(路基、橋梁、隧道等)，構(gòu)建相應(yīng)的累計(jì)概率譜(圖1)。

(2)通過長(zhǎng)期的線路監(jiān)測(cè)及統(tǒng)計(jì)分析，確定不同監(jiān)測(cè)時(shí)段內(nèi)線路區(qū)段軌道不平順譜線的隨機(jī)波動(dòng)范圍。若以月為監(jiān)測(cè)的時(shí)間單位，假定第i月此線路區(qū)段軌道隨機(jī)不平順譜在累計(jì)上、下限概率分別為Ci,u和Ci,d的累計(jì)概率譜內(nèi)波動(dòng)；同時(shí)，用τi→k,u、τi→k,d表示從第i月到第k月的上、下限譜累計(jì)概率變化率，一般存在等式

Ck,u|d=Ci,u|d(1±τi→k,u|d)

( 1 )

(3)根據(jù)(2)中確定的線路不平順譜線累計(jì)概率范圍，采用拉丁超立方抽樣(LHS)方法[6]進(jìn)行此累計(jì)概率范圍內(nèi)軌道譜的抽樣，對(duì)采集的軌道譜進(jìn)行逆傅里葉變換[3]，生成隨機(jī)軌道不平順時(shí)域樣本。

需要指出的是：

①每條譜樣本由服從一定空間頻率-譜密度規(guī)律的樣本點(diǎn)組成。一般而言，頻率越低，譜密度值越大，因此采用LHS法對(duì)不同頻率下譜密度值抽樣時(shí)，需滿足臨近低頻點(diǎn)的譜密度更大、譜密度值對(duì)應(yīng)的累計(jì)概率均在擬定的譜累計(jì)概率范圍內(nèi)這兩個(gè)基本要求。

圖1 武廣高速鐵路普通路基段軌道不平順的累計(jì)概率譜(截止波長(zhǎng)：1～120 m)

②計(jì)算及實(shí)測(cè)資料表明[7]，同一路段的軌道不平順呈現(xiàn)“記憶”重復(fù)特性，即其隨機(jī)波形具有一定的相似性。因此，在用逆傅里葉變換法[3]生成軌道隨機(jī)不平順時(shí)域樣本時(shí)，取不同不平順時(shí)域樣本對(duì)應(yīng)的獨(dú)立相位序列ζn相同，即ζn=exp(iΦn)，Φn服從0～2π均勻分布。

2 參數(shù)隨機(jī)的軌道模型構(gòu)建與計(jì)算

國(guó)內(nèi)外基于車輛、軌道系統(tǒng)參數(shù)確定的動(dòng)力分析居多[3]，這在線路的初始設(shè)計(jì)、評(píng)估階段十分有用。隨著車-線系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)，此系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)源一般會(huì)發(fā)生隨機(jī)演變，從而進(jìn)入隨機(jī)振動(dòng)的范疇。本文假定車輛參數(shù)確定，主要簡(jiǎn)述線路參數(shù)隨機(jī)時(shí)的模擬與組合方法和線路參數(shù)隨機(jī)時(shí)軌道系統(tǒng)的構(gòu)建及計(jì)算方法。

2.1 線路參數(shù)隨機(jī)模擬與組合

以板式軌道為例，闡述動(dòng)力參數(shù)(取軌下膠墊垂橫向剛度、阻尼參數(shù)，CA砂漿垂橫向剛度、阻尼參數(shù))的隨機(jī)模擬與組合方法。在時(shí)間域，假定不同的隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布[8]且獨(dú)立；在空間域(即沿線路區(qū)段)，同一參數(shù)的隨機(jī)模擬樣本間具有相關(guān)性，而不同隨機(jī)參數(shù)的模擬序列是獨(dú)立的。

上文已述及同一結(jié)構(gòu)層的系統(tǒng)部件(如軌下膠墊垂向剛度)參數(shù)樣本間具有相關(guān)性，其相關(guān)系數(shù)為

( 2 )

通過式( 2 )，可以形成n維相關(guān)正態(tài)分布隨機(jī)變量抽樣序列的相關(guān)系數(shù)矩陣

( 3 )

步驟3通過線性變換，令

( 4 )

式中：μ為均值矩陣。

根據(jù)Cantor集合映射的思想[12]，依據(jù)不同樣本的出現(xiàn)概率進(jìn)行不同隨機(jī)參數(shù)的樣本序列組合，實(shí)現(xiàn)動(dòng)力計(jì)算樣本的降維[13]。

2.2 軌道模型建模與計(jì)算

線路參數(shù)隨機(jī)與否對(duì)軌道系統(tǒng)的建模與計(jì)算影響較大。將2.1節(jié)中模擬出的隨機(jī)參數(shù)組合序列均布在軌道模型中，采用有限單元法進(jìn)行軌道系統(tǒng)建模。

2.2.1 軌道模型

軌道模型[14](圖2)采用板式軌道結(jié)構(gòu)，取相鄰軌下膠墊間距為一軌段單元，鋼軌為連續(xù)點(diǎn)支承Euler梁，鋼軌墊層為線性剛彈簧及阻尼器單元，軌道板通過CA砂漿與路基連接，CA砂漿模擬為線性均布面彈簧和黏滯阻尼器，每個(gè)軌段單元有40個(gè)自由度，可表示為

( 5 )

式中：

δ1=[U1LrV1LrW1LrθX1LrθY1LrθZ1LrU1RrV1RrW1RrθX1RrθY1RrθZ1RrV1LsW1LsθX1LsθY1LsθZ1LsW1RsθX1RsθY1Rs]T

( 6 )

δ2=[U2LrV2LrW2LrθX2LrθY2LrθZ2LrU2RrV2RrW2RrθX2RrθY2RrθZ2RrV2LsW2LsθX2LsθY2LsθZ2LsW2RsθX2RsθY2Rs]T

( 7 )

式中：U、V、W分別為沿縱向X、橫向Y、垂向Z的位移；下標(biāo)1、2分別為沿Y軸方向的右側(cè)自由度和左側(cè)自由度；下標(biāo)L、R分別為沿Z軸方向的左側(cè)自由度和右側(cè)自由度；θ為轉(zhuǎn)角位移；下標(biāo) r、s分別為鋼軌單元和軌道板單元。

圖2 板式軌道模型三維視圖

2.2.2 循環(huán)計(jì)算方法

由于線路參數(shù)在時(shí)間-空間域具有隨機(jī)特性，在車輛-軌道耦合動(dòng)力計(jì)算時(shí)，定點(diǎn)激勵(lì)法[3]不能反映線路參數(shù)隨機(jī)時(shí)車軌系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)變特征，須采用移動(dòng)車輛激勵(lì)法考慮車輛與軌道之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。采用移動(dòng)車輛激勵(lì)法時(shí)，往往存在計(jì)算長(zhǎng)度上的限制，特別是采用有限元建模時(shí)，其自由度較多，將占用較大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存并降低計(jì)算效率。采用循環(huán)計(jì)算方法，可有效解決這一類問題。

循環(huán)計(jì)算方法的實(shí)現(xiàn)過程為：

步驟1取M為前期平穩(wěn)運(yùn)行長(zhǎng)度，N為循環(huán)計(jì)算長(zhǎng)度，L為數(shù)值積分時(shí)車輛前后截取的軌道模型長(zhǎng)度，同時(shí)設(shè)置全局坐標(biāo)系xOy和局部坐標(biāo)系x′O′y′(圖3)。在平穩(wěn)運(yùn)行階段，亦可只取長(zhǎng)度為M的軌段單元進(jìn)行數(shù)值積分，以減小時(shí)域積分算法中等效剛度矩陣的規(guī)模，減少求解時(shí)間。

圖3 循環(huán)計(jì)算模型

步驟2若已知軌下膠墊間距，則可以計(jì)算長(zhǎng)度N、L所占的軌段單元數(shù)目nN、nL。若第1、4號(hào)輪對(duì)在全局坐標(biāo)系中軌段單元編號(hào)為n1、n4，車輛在循環(huán)計(jì)算區(qū)段的運(yùn)行距離為N′，那么前、后輪對(duì)所接觸的局部軌段單元編號(hào)分別為

nf=n1+nL-([N′/N]-1)nN

( 8 )

nb=n1-nL-([N′/N]-1)nN

( 9 )

式中：[·]表示朝0方向取整。

式( 8 )、式( 9 )是實(shí)現(xiàn)循環(huán)計(jì)算的關(guān)鍵，其能保證車輛始終在循環(huán)區(qū)段N內(nèi)不斷運(yùn)行。而前、后輪對(duì)所接觸的全局軌段單元編號(hào)分別為

(10)

(11)

根據(jù)式( 8 )～式(11)計(jì)算出的前、后輪對(duì)所在的局部和全局軌段單元，以及L、軌下膠墊間距等已知參數(shù)，可以得到每一積分步內(nèi)整車所占用的軌段單元序列編號(hào)。

步驟3前期已經(jīng)將2.1節(jié)中模擬出的隨機(jī)參數(shù)序列按軌段單元序列的形式編號(hào)，即全局軌道單元序列與隨機(jī)參數(shù)序列一一對(duì)應(yīng)，因此可以較方便地依據(jù)步驟2中計(jì)算出的整車所占用的軌段單元序列編號(hào)，擇取相應(yīng)的線路隨機(jī)參數(shù)序列參與車軌耦合動(dòng)力計(jì)算。

如圖3所示，每循環(huán)一次，需重新生成一個(gè)長(zhǎng)度為N+2L+2(Lc+Lt)(Lc為前后構(gòu)架中心間距的一半，Lt為軸間距離的一半)的軌道單元矩陣(包括剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣)。

3 車輛模型

將車輛視為多剛體系統(tǒng)，考慮車體、轉(zhuǎn)向架及輪對(duì)的橫移、沉浮、側(cè)滾、點(diǎn)頭和搖頭運(yùn)動(dòng)，即車輛系統(tǒng)共35個(gè)自由度。具體建模方法參考文獻(xiàn)[3]。

4 概率密度演化方法

文獻(xiàn)[4]在結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析方面發(fā)展了一類概率密度演化方法，用于解決系統(tǒng)隨機(jī)激擾-振動(dòng)響應(yīng)間的概率密度傳遞問題。

車輛-軌道耦合系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力方程

(12)

式(12)的解答存在且唯一，并與隨機(jī)向量有關(guān)。因此，可寫成如下形式

X(t)=?(Θ,t)

(13)

式中：?為集合符號(hào)。

根據(jù)概率守恒原理，[X(t)ΘT]T的概密度函數(shù)pXΘ(x,θ,t)滿足如下廣義概率密度演化方程[4]。

(14)

式(14)的初始條件為

pXΘ(x,θ,t)|t=0=δ(x-x0)pΘ(θ)

(15)

聯(lián)合求解式(14)和式(15)，可得pXΘ(x,θ,t)，隨后積分可知X(t)的概率密度函數(shù)為

(16)

5 用于線路狀態(tài)監(jiān)測(cè)的概率密度演化模型

車輛-軌道耦合系統(tǒng)中的軌道不平順及系統(tǒng)參數(shù)均具有時(shí)-空隨機(jī)演變特性(圖4)，導(dǎo)致基于車輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的“反饋式”線路狀態(tài)監(jiān)測(cè)工作困難重重。一般來說，由于線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損過程的漸變性和此系統(tǒng)本質(zhì)上的隨機(jī)演變性，系統(tǒng)參數(shù)、激勵(lì)源確定的動(dòng)力計(jì)算理論對(duì)于線路隨機(jī)傷損(尤其是小傷損)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)與預(yù)判工作略顯乏力。

圖4 軌道不平順和線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的時(shí)-空演變示意

現(xiàn)階段，國(guó)內(nèi)外大部分線路傷損監(jiān)測(cè)的研究均基于特殊或沖擊信號(hào)，取一段確定性信息進(jìn)行特征狀態(tài)的提取一般可獲得滿意結(jié)果，但往往忽視了線路系統(tǒng)(包括軌道不平順)在列車循環(huán)動(dòng)荷載及其他因素干擾下的隨機(jī)演化特性。這些不斷發(fā)展的車軌激勵(lì)形態(tài)給線路狀態(tài)監(jiān)測(cè)帶來了困難。例如：軌道隨機(jī)不平順的存在極有可能掩蓋那些較微弱的線路傷損造成的動(dòng)力響應(yīng)差異，從而造成識(shí)別的困難。

針對(duì)線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的傷損預(yù)估和動(dòng)力性能評(píng)判問題，作者認(rèn)為將隨機(jī)分析方法引入確定性計(jì)算理論[3]，統(tǒng)計(jì)此系統(tǒng)在不同的參數(shù)或激勵(lì)源隨機(jī)域下的動(dòng)力響應(yīng)特征，當(dāng)線路狀態(tài)惡化時(shí)，根據(jù)此系統(tǒng)確定隨機(jī)域下的動(dòng)力響應(yīng)特征變化預(yù)估線路狀態(tài)惡化與否不失為一種可行的辦法。

本文用概率密度分布表達(dá)這種動(dòng)力響應(yīng)特征，動(dòng)力響應(yīng)的概率密度分布基于概率密度演化方法將眾多具有概率性質(zhì)的確定性計(jì)算結(jié)果融合，是在確定的隨機(jī)域激擾下此系統(tǒng)響應(yīng)的全面反映。線路狀態(tài)惡化時(shí)，動(dòng)力響應(yīng)的概率密度分布會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，通過此變化即可識(shí)別線路傷損，這就是用于鐵路線路狀態(tài)監(jiān)測(cè)的概率密度演化方法，其基本模型或分析流程如圖5所示。

圖5 用于鐵路線路狀態(tài)監(jiān)測(cè)的概率密度分布演化模型

6 算例分析

本文主要采用動(dòng)力仿真手段，驗(yàn)證所提方法的有效性。行車速度為350 km/h，軌道不平順截止波長(zhǎng)范圍1～120 m。

將線路區(qū)間的監(jiān)測(cè)時(shí)間長(zhǎng)度取為1年，將“月”作為監(jiān)測(cè)時(shí)間單位，將有12次線路狀態(tài)的監(jiān)測(cè)評(píng)判。基本計(jì)算參數(shù)如下：

(1)將線路區(qū)段隨機(jī)不平順激擾譜的初始累計(jì)概率范圍取為0.5～0.6，終止累計(jì)概率范圍取為0.1～0.9，假定此線路區(qū)間不同時(shí)段間的激擾譜累計(jì)概率服從均勻分布。

(2)由于本文的研究重點(diǎn)為線路基礎(chǔ)部件的傷損識(shí)別，故取較小的線路系統(tǒng)參數(shù)隨機(jī)域，即：各參數(shù)正態(tài)分布中的標(biāo)準(zhǔn)差較小，同一基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)層的線路參數(shù)相關(guān)系數(shù)區(qū)間為0.7～0.9。

(3)動(dòng)力計(jì)算里程為1 km。本文分別在線路里程K0+400、K0+425、K0+615三處的兩側(cè)承臺(tái)設(shè)置了軌下膠墊橫向動(dòng)力系數(shù)(即橫向剛度、阻尼系數(shù))的傷損；在里程K0+137、K0+330、K0+520三處的兩側(cè)承臺(tái)設(shè)置了軌下膠墊垂向動(dòng)力系數(shù)(即垂向剛度、阻尼系數(shù))的傷損。基礎(chǔ)部件傷損表現(xiàn)為動(dòng)力參數(shù)值的減小，本文假定損傷部件在不同監(jiān)測(cè)時(shí)段間的動(dòng)力參數(shù)值λi可以通過參數(shù)μi∈[0,1](i=1,2,…,12)進(jìn)行調(diào)節(jié)，若初始參數(shù)值為λ0，則λi=λ0(1-μi)。

限于篇幅，圖6、圖7僅給出i=2，8(μi=0.09，0.73)時(shí)通過車輛系統(tǒng)輪對(duì)橫向加速度進(jìn)行軌下膠墊傷損狀態(tài)監(jiān)測(cè)時(shí)的概率密度分布差分圖，主要步驟參考圖5。

圖6 μi=0.09時(shí)軌下膠墊傷損識(shí)別結(jié)果

圖7 μi=0.73時(shí)軌下膠墊傷損識(shí)別結(jié)果

從圖6、圖7可知，通過概率密度分布差分圖能較好地檢測(cè)出軌下膠墊在不同比率下的傷損情況，且定位準(zhǔn)確；傷損程度不同，對(duì)應(yīng)的概率密度分布差分值亦不同，一般傷損越嚴(yán)重，差分值越大。如圖6所示，即使是軌下膠墊的小傷損狀態(tài)(動(dòng)力系數(shù)僅減小了0.09)，仍引起輪軌橫向加速度概率密度分布較大的變化，繼而可以通過此變化評(píng)判線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的傷損狀態(tài)。

此外，圖8給出了不同階段(1～12月)的概率密度差分上、下極限值。

圖8 不同階段的概率密度差分極限值

由圖8可知，隨著軌下膠墊的動(dòng)力參數(shù)耗損及隨機(jī)不平順的演化，傷損位置處動(dòng)力響應(yīng)的概率密度差分值范圍逐漸變大，基本與傷損程度成正比，這為確定不同損傷狀態(tài)下的概率密度差分值標(biāo)準(zhǔn)奠定了基礎(chǔ)。

7 結(jié)論

激勵(lì)源和系統(tǒng)參數(shù)確定時(shí)，利用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)方法能較好計(jì)算出線路基礎(chǔ)部件傷損時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)形態(tài)。由于車輛-軌道系統(tǒng)的傷損位置、時(shí)間具有未知性和漸變性，為了防患于未然，需對(duì)線路基礎(chǔ)部件的傷損狀態(tài)進(jìn)行跟蹤測(cè)算與評(píng)估。

本文根據(jù)隨機(jī)分析的一般理論，將此系統(tǒng)的不平順激勵(lì)源和線路參數(shù)均做隨機(jī)處理，考慮此系統(tǒng)的時(shí)-空隨機(jī)演變特性，提出了從車輛系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的概率密度分布差分結(jié)果中發(fā)現(xiàn)、定位線路傷損程度及位置的基本設(shè)想及方法。計(jì)算結(jié)果表明：

(1)采用本文給出的概率密度演化差分方法，能夠準(zhǔn)確定位軌下膠墊的垂橫向損傷，表明了方法的可行性；同時(shí)，概率密度差分值可用于表征線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損程度。

(2)以往的研究工作多取確定性的實(shí)測(cè)或仿真信號(hào)進(jìn)行傷損識(shí)別，忽視了線路在循環(huán)隨機(jī)荷載等因素作用下的時(shí)變本質(zhì)。本文重點(diǎn)考慮軌道不平順和線路參數(shù)的隨機(jī)演化特性，提出更通用的一般性方法，可供借鑒。