變坡度軌道幾何線型的試驗臺模擬方法

劉玉梅，莊嬌嬌，郭艷秀，熊明燁，趙聰聰

(1.吉林大學交通學院，吉林長春 130022；2.北京新能源汽車股份有限公司，北京 102600；3.伊利諾伊大學電氣與計算機工程系，烏爾瓦納 IL61801；4.吉林農業大學工程技術學院，吉林長春 130118)

為保證高速列車運行的平穩性，在線路地形變化區段一般需要設置縱向坡度或修建隧道或橋梁，其中，設置縱向坡度可以在保證列車平穩運行的基礎上，還能大幅節省修建工程成本。故列車運行時，不可避免地會通過具有縱向坡度的線路段。近些年來，隨著我國機車車輛各項技術的提升，高速列車的動力性能和制動性能也有了更高的安全保障，使其可以實現在較陡線路坡度上的安全行駛，因此，軌道線路的最大坡度標準也在逐步放寬[1-4]。

為了研究軌道車輛系統的曲線通過性能，國內外學者越來越廣泛的利用模擬試驗臺。如德國的滾振試驗臺能夠實現軌道車輛整車實際軌道激擾下的直線、曲線動態模擬以及模態分析[5]。文獻[6]開發了3自由度實物轉向架防地震振動試驗臺[6]。長沙機務段與有關單位合作開發了機車轉向架模擬負載運行試驗裝置，可以模擬機車上坡、下坡和曲線運動[7]。

本文借助于課題組所開發的轉向架動態模擬試驗臺的下部雙六自由度運動平臺，研究軌道變坡度的室內模擬方法。基于變坡度軌道幾何線型的特征和雙六自由度運動平臺的結構參數，建立雙六自由度運動平臺的位姿反解模型以及坡道模擬所對應的運動平臺的位姿轉化模型，利用MATLAB/Simulink實現某一變坡度軌道幾何線型下雙六自由度運動平臺的位姿反解解算。本文的解算結果不僅為室內模擬變坡度軌道的雙六自由度運動平臺的仿真控制提供了參數依據，同時也為進一步研究縱向坡度對轉向架性能的影響奠定了基礎。

1 變坡度軌道模擬器及位姿反解模型

1.1 變坡度軌道模擬器

本文所借助的軌道模擬器主要由雙六自由度運動平臺組成。該六自由度運動平臺通過多組協調作用的作動器為鋼軌提供橫向、縱向和垂向作用力，并通過固裝在作動器及六自由度運動平臺上的三維力和位移傳感器來實時測量在模擬運動過程中的位移和作用力。由于任意運動平臺均可在作動器的作用下實現沿X、Y、Z軸平移以及繞X、Y、Z軸轉動的六自由度運動，所以該軌道模擬器能夠實現各種軌道線型與軌道不平順的動態模擬，具體結構如圖1所示。

圖1 變坡度軌道模擬器的三維模型

1.2 模擬器位姿反解模型

設列車的前進方向為X軸，橫向為Y軸，垂直方向為Z軸，根據雙六自由度運動平臺的幾何結構，首先選取雙六自由度運動平臺8個垂向作動器的下鉸鏈點所在平面中心為定坐標系原點O，建立定坐標系O-XYZ；同時，選取平臺1、平臺2的輪對與夾具的兩個切點中點為兩個局部坐標系原點O1、O2，分別建立平臺1和平臺2的局部坐標系，即O1-X1Y1Z1和O2-X2Y2Z2。

雙六自由度運動平臺包括平臺1和平臺2，平臺1、平臺2上分別放置轉向架的一位輪對和二位輪對。由圖1可知，每個平臺中分別包含：4個垂向作動器，其關于平臺局部坐標系的X軸和Y軸對稱布置；2個縱向作動器，其關于平臺局部坐標系的X軸對稱布置，且作動器鉸鏈點在平臺局部坐標系的Z軸坐標為0；1個橫向作動器，橫向作動器在整體上關于定坐標系的Y軸對稱布置，且作動器鉸鏈點在平臺局部坐標系的X軸、Z軸坐標均為0。平臺的幾何結構參數見表1。為了表述方便，將作動器與運動平臺的鉸接點定義為上鉸鏈點，將作動器與鑄鐵平臺或反力支座的鉸接點定義為下鉸鏈點。

表1 結構參數

確定雙六自由度運動平臺14個作動器的鉸鏈點在定坐標系的坐標表示是解算平臺位姿的前提，本文利用齊次坐標表示鉸鏈點的空間位置。由于作動器的下鉸鏈點固定安裝在鑄鐵平臺上，故不會產生任何位移和轉動，因此只需引入齊次變換矩陣表示上鉸鏈點在空間的平移和轉動即可。根據雙六自由度運動平臺的結構參數(表1)，可得到各作動器的上、下鉸鏈在其局部坐標系中的坐標。

作動器1.1～1.7的上鉸鏈點A1在局部坐標系O1-X1Y1Z1中的坐標向量可以表示為

( 1 )

作動器1.1～1.7的下鉸鏈點B1在局部坐標系O1-X1Y1Z1中的坐標向量可以表示為

( 2 )

作動器2.1～2.7的上鉸鏈點A2在局部坐標系O2-X2Y2Z2中的坐標向量可以表示為

( 3 )

作動器2.1～2.7的下鉸鏈點B2在局部坐標系O2-X2Y2Z2中的坐標向量可以表示為

( 4 )

利用廣義坐標Pi=(αi,βi,γi,li,mi,ni) (i=1,2)描述局部坐標相對于定坐標的位姿，其中，αi、βi和γi為局部坐標系相對于定坐標系繞X、Y、Z軸的姿態角;li、mi和ni為局部坐標系相對于定坐標系沿X、Y、Z坐標軸的平移量。

根據文獻[8-9]定坐標(靜坐標)與局部坐標(動坐標)的轉換方法可知，兩個模擬平臺的空間齊次變換矩陣Ti(i=1, 2)可以表示為

( 5 )

各作動器上、下鉸鏈點之間位置向量關系為

(6)

伸縮量可以表示為

( 7 )

2 變坡度軌道模擬

坡道的坡度一般規定為上坡為正，下坡為負，平道為零。平道與坡道、坡道與坡道的交點稱為變坡點。根據GB 50090—2006《鐵路線路設計規范》[10]，道路路線縱斷面是沿道路中線豎直剖切后再展開得到的，根據鐵路等級、行車速度、工程條件、地形類別和牽引種類等因素將路線縱斷面設計成一條有起伏的空間線。縱斷面設計線由直坡線和豎曲線組成，如圖2所示。下面將利用雙六自由度運動平臺分別模擬分析直坡線和豎曲線的軌道坡度。

圖2 縱斷面設計線示例

2.1 直坡線坡道的模擬

在模擬坡度為ir‰的縱向坡道時(圖2中的A1-A2段)，由于轉向架通過車輪夾具與運動平臺固定，可將兩個臺面視為一體，并將平臺1或平臺2的中心作為運動參考點，以簡化計算。

本文選取平臺1的中心為參考點，兩平臺繞通過該點的Y軸做旋轉角為θr的圓周運動。圖3所示為模擬直坡線坡道時雙六自由度運動平臺的狀態圖，其中O1、O2分別為雙六自由度運動平臺中心的初始位置，O1′、O2′分別為雙六自由度運動平臺中心運動后的位置，θr=arctan(ir‰)。

圖3 直坡線坡道的靜態模擬

當雙六自由度運動平臺處于中位時，兩模擬平臺的位姿分別為

( 8 )

結合坡度定義、車輛的運動規律以及平臺的幾何結構尺寸對圖3的幾何關系進行分析計算，得到平臺的旋轉量和平移量為

( 9 )

式中：Δαi、Δβi、Δγi分別為平臺的局部坐標系相對于定坐標系繞X、Y、Z軸的旋轉量；Δli、Δmi、Δni分別為沿X、Y、Z軸的平移量(i=1,2)。

兩運動平臺的位姿分別為

(10)

將得到的運動平臺的理論位姿輸入上述位姿反解模型并進行解算，即可得到14個作動器的伸縮量，從而可控制平臺運動以實現變坡度軌道線型的模擬。

2.2 變坡處豎曲線坡道的模擬

豎曲線是一種在線路垂直面上的曲線，當兩相鄰坡度的代數差達到一定值時，應在相鄰坡段間用圓曲線進行連接，以改善列車的運行環境，從而保證列車安全平穩運行。

《鐵路工程技術規范》[11]規定，最大相鄰坡段的坡度代數差不得超過重車方向的限制坡度值。Ⅰ、Ⅱ級鐵路相鄰坡段的坡度代數差大于3‰、Ⅲ級鐵路大于4‰ 時，應以豎曲線連接[11]。線路所采用的豎曲線按形狀可分為3種：圓曲線形豎曲線、拋物線形豎曲線、連續短坡(鏈條坡)形豎曲線。

(1)圓曲線形豎曲線坡道的模擬

在直線坡段的變更處，用一個半徑較大的圓弧把相鄰兩個坡段連接起來的豎曲線，稱為圓曲線形豎曲線。當列車行駛在如圖4所示的圓曲線形豎曲線坡道時，車輪與路面的切點C1、C2同時處在同一圓弧線上，設圓弧方程為(x-a)2+(z-b)2=R2(其中a、b和R均為已知值)。模擬圓曲線形豎曲線坡道時(圖2中的A2-A3段)，點C1、C2在軌道模擬器中分別對應于平臺的中點O1、O2。根據圓弧方程及車輛的運動規律，將自變量為x的函數轉變成自變量為t的函數，即

(11)

結合列車行駛速度、路線幾何線形可得C1、C2的坐標為

(12)

兩運動平臺與水平面所成夾角的變化規律為

(13)

兩運動平臺的旋轉量和平移量為

(14)

經上述分析得出，模擬圓曲線形豎曲線坡道時，兩運動平臺的位姿分別為

(15)

圖4 車體在圓曲線形豎曲線坡道上的模擬

(2)拋物線形豎曲線坡道的模擬

拋物線形豎曲線的曲度逐漸變化，將一端的坡度緩緩變化而成為他端的坡度，其圖形與拋體運動的軌道形狀相同。該曲線軌道的模擬方法與圓曲線形豎曲線坡道的模擬方法相同，在此不再贅述。

(3)連續短坡形豎曲線坡道的模擬

連續短坡是由許多坡度逐漸變化的連續短小直線組合而成，這些坡度不同的短小直線構成一個很平緩的縱斷面。列車通過該坡段可分為兩種情況，一種是車體的前后車輪處在同一坡度的坡段上；另一種是車體的前后車輪處在不同坡度的坡段上。前一種情況與上述直坡線坡道的模擬相同。后一種情況(圖5)下道路的折線方程可表示為

(16)

將自變量為x的函數轉變成自變量為t的函數，有

(17)

車輪與路面切點C1、C2的坐標可以表示為

(18)

經上述分析得出兩運動平臺的位姿分別為

(19)

圖5 車體在連續短坡形豎曲線坡道上的模擬

由于實際縱切面的坡道線是由多種坡段組合而成，所以在模擬變坡度坡道時需分段進行，將輸入部分以時間t為變量劃分成多個時間段并分別建立坡道的模擬輸入函數。每個階段的輸入函數可參照上述坡道線路的模擬方法進行確立。

3 坡度模擬仿真及驗證

3.1 坡度模擬仿真

基于上述理論分析，利用Simulink建立坡度模擬仿真模型，如圖6所示。該模型主要包括期望坡度輸入模塊、平臺位姿協調轉化模塊、坐標變換模塊、作動器位移解算模塊以及輸出顯示模塊。其中平臺位姿協調轉化模塊根據期望坡度及雙六自由度運動平臺的位姿協調關系，輸出雙六自由度運動平臺位姿。

本文選取轉向架常見軸距L=2 500 mm，列車速度根據實驗要求確定，這里為后面計算方便選擇列車速度為v=72 km/h。設列車駛入圖2所示的變坡度坡道，并對該線型坡道進行仿真模擬，對雙六自由度運動平臺進行位姿反解解算。根據圖6的Simulink坡度模擬仿真模型，得到作動器的實時位移解算結果，如圖7所示。

圖6 坡度模擬仿真模型

圖7 平臺作動器位移

3.2 仿真驗證

為驗證文中平臺1與平臺2的位姿反解數學模型、位姿轉化模型以及坡度模擬仿真模型的正確性，結合圖2、圖3所示的變坡度時軌道模擬器的運動狀態，通過對比幾何解析方法計算作動器的伸縮量與仿真模型解算的結果進行分析。鑒于篇幅的限制，此處僅以25‰ 坡度值下作動器2.1、2.3、2.5及2.7為例計算作動器的伸縮量。當列車完全駛入坡度為25‰ 的坡道時，各作動器的伸縮量見表2。

表2 坡度值為25‰ 時作動器各自伸縮量 mm

因此，作動器2.1的上鉸鏈點A21和下鉸鏈點B21相對于O1的初始二維坐標為

(20)

(21)

結合直角三角形相關理論可得

(22)

進一步可求得A21′的坐標為

(23)

(24)

根據向量范數可得

(25)

作動器2.1的伸縮量為

(26)

根據表1的結構參數，將x1=400 mm，z1=990 mm，z2=3 920 mm，l0=1 250 mm帶入可得ΔL21=ΔL22=52.89 mm。同理可得，ΔL23=ΔL24=72.89 mm，ΔL25=ΔL26= 1.834 mm，ΔL27=0.662 mm。仿真模型計算得到的伸縮量為：ΔL21= ΔL22=52.89 mm，ΔL23=ΔL24=72.89 mm，ΔL25=ΔL26= 1.834 mm，ΔL27=0.666 2 mm。由上述可知，利用仿真模型解算得到的作動器伸縮量與幾何分析法得到的結果具有較好的一致性，從而驗證了該雙六自由度運動平臺位姿反解仿真模型以及本文坡道線路的模擬方法的正確性。

4 結束語

本文基于變坡度軌道幾何線型的特征和雙六自由度運動平臺的結構參數，建立雙六自由度運動平臺的位姿反解模型以及坡道模擬所對應的平臺位姿轉化模型，并且借助MATLAB/Simulink搭建了變坡度模擬仿真模型，進而對列車在某段變坡度線路行駛情況進行了仿真。本文以模擬列車駛入坡度25‰的坡道為例，通過幾何解析方法對作動器伸縮量進行計算，并與位姿解算模型結果進行比較，從而驗證了本文所建模型的正確性。本文的解算方法為室內模擬變坡度軌道的雙六自由度運動平臺的仿真控制提供了參數依據，同時也為研究變坡度下車輛或轉向架的性能奠定了基礎。