多光子催化疊加相干態及其Wigner函數

李恒梅，肖進，袁洪春，王震

(1.常州工學院數理與化工學院，江蘇 常州 213032； 2.常州工學院電氣與光電工程學院，江蘇 常州 213032)

非高斯量子態在連續變量的量子信息處理中扮演著重要的角色，對解釋量子物理的基本原理也起到重要作用。一般地，非高斯態的非經典性是通過一些具體的量子統計特點體現出來的，如壓縮特性、亞泊松光子統計、Wigner函數等[1]。其中，Wigner函數的負值特征被看作是光場的非經典特性的一個重要標志[2]。于是，利用Wigner函數的負值特征可以很好地討論量子態的非經典性質。為了獲得更多的非高斯量子態，人們提出了諸多方法，如對高斯態進行光子扣除或增加操作，通過增加(扣除)光子也可以使一些量子態得到較深程度的壓縮，從而改善量子態的非經典性質[3]。研究表明：一般情況下，不同的非高斯操作會得到不同量子態，展現不同的非經典特性或糾纏特點。

利用分束器結合條件測量的非高斯操作被認為是實驗上有效可行的操作方式，是實現連續變量量子信息處理中多重任務的一個至關重要的工具[4]。由此人們提出了許多巧妙的方案，理論上和實驗上已經制備出了一系列的量子態。其中，Lvovsky等[5]將相干態和單光子Fock態輸入光學分束器，在其中的一個輸出端進行單光子Fock態的條件測量，從而獲得單光子催化相干態。后來，Bartley等[6]利用量子催化的手段制備出一系列有非經典效應的多光子量子態。江西師范大學的胡利云教授小組研究了多光子催化相干態的非經典性[7]，利用多光子量子催化方式改善雙模壓縮真空態[8]和雙模糾纏相干態[9]的糾纏特性。本文根據上述量子催化的思想，主要研究多光子催化疊加相干態，即將疊加相干態和單光子Fock態輸入光學分束器，在其中的一個輸出端進行單光子Fock態的條件測量，從而獲得單光子催化疊加相干態。此外，利用相干態表象下的Wigner函數，重構多光子催化疊加相干態的Wigner函數，它包含了該量子態在整個相空間演化過程總的全部信息。

1 多光子催化疊加相干態

多光子催化疊加相干態過程就是將疊加相干態φ〉in=Na(α〉+ei χ-α〉) (Nα=(2+2e-2|α|2cosχ)-1/2，為歸一化常數)和多光子Fock態m〉輸入光學分束器BS，在其中的一個輸出端進行多光子m〉態測量，從而獲得多光子催化疊加相干態φ〉out，如圖1所示。

圖1 基于光學分束器的量子催化過程示意圖

根據量子催化的思想，多光子催化疊加相干態可表示為

φ〉out=Nm,αb〈mB(θ)m〉b(α〉+ei χ-α〉)

(1)

式中:Nm,α為歸一化常數，即探測m光子數的成功概率;B(θ)=exp [θ(a+b-ab+)]是分束器算符，相應的反射率與透射率分別為r=sinθ與t=cosθ。

為了得到φ〉out的具體形式，首先計算出ξ〉≡b〈mB(θ)m〉bα〉的具體形式。根據分束器的變化關系

(2)

以及相干態的Fock形式

α〉=e-|α|2/2eαa+0〉

(3)

和Fock態的相干態表達式

(4)

最后得到

(5)

考慮到雙變量厄米多項式Hm,m(x,y)的母函數形式以及與拉蓋爾多項式Lm(xy)關系式[10]，

(-1)mm!Lm(xy)

(6)

式(5)簡化為

κmLm(ηa+)αθ〉

(7)

式中：κm=tme-|α|2sin2θ/2=cosmθe-|α|2sin2θ/2；η=αr2/t=αcosθtan2θ；αθ=αt=αcosθ。因此，多光子催化疊加相干態可表示為

φ〉out=Δm,α[Lm(ηa+)αθ〉+ei χLm(-ηa+)-αθ〉]

(8)

式中，Δm,α≡Nm,ακm。

從式(8)可以看出，多光子催化疊加相干態就是拉蓋爾多項式激發疊加相干態。當χ為0和π時，φ〉out分別變為多光子催化偶相干態和多光子催化奇相干態。此外，當cosθ=1時，即分束器的透射系數為1時，μ=0，式(8)變成為輸入態。對于零光子催化情況，即m=0，則輸出態變為

φ〉out→Δ0,α(αcosθ〉+ei χ-αcosθ〉)

(9)

表明零光子催化可以實現疊加相干態的振幅衰減過程。

2 多光子催化疊加相干態的歸一化系數

多光子催化疊加相干態的歸一化系數對后面討論其Wigner函數非常重要，這里先求出歸一化系數Nm,α的具體表達式。

根據歸一化條件與式(8)，有

(10)

式中,

Q1=〈αθLm(η*a)Lm(ηa+)αθ〉

(11)

Q2=〈αθLm(η*a)Lm(-ηa+)-αθ〉

(12)

(13)

再利用拉蓋爾多項式Lm(x)的求和表達式

(14)

以及雙變量厄米多項式積分公式[7]

(15)

Q1的具體表達式為

(16)

同樣地，可以求出Q2的具體表達式為

(17)

3 多光子催化疊加相干態的Wigner函數

Wigner函數的部分負值性是量子態的高非經典性的一個主要標志。在相干態表象下，單模量子態ρ的Wigner函數W(z)[11]定義為

(18)

將式(8)代入式(18)就得到多光子催化疊加相干態的Wigner函數表達式

(19)

這里推導過程與求解過程式(11)類似，其中

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，βθ+=αθ+2β，βθ-=αθ-2β。當m=0時，式(19)退化成零光子催化疊加相干態Wigner函數。

根據式(17)，我們在圖2和圖3中分別給出了多光子偶相干態和奇相干態的Wigner函數在相空間對應于不同探測光子數m和分束器透射系數T=cos2θ的圖形。從圖2與圖3可以看出多光子催化偶相干態都具有向上的主峰，而多光子催化奇相干態都具有向下的主峰。此外，圖2、3還顯示了Wigner函數的非高斯性，且隨著探測光子數m的增加，Wigner函數呈現多峰結構，其負值區域在逐漸增大，這是態具有非經典特性的一個依據。圖2(a)與3(a)分別給出了零光子催化偶、奇相干態的Wigner函數，這實際上是偶、奇相干態的振幅衰減過程。在兩組(c)和(d)中給出了不同分束器的透射系數對Wigner函數的影響，隨著透射系數的減小，Wigner函數的峰值逐漸增大，且負值區域越來越明顯。

(a)α=1+i,θ=π/6,m=0

(b)α=1+i,θ=π/6,m=1

(c)α=1+i,θ=π/6,m=2

(d)α=1+i,θ=π/3,m=2圖2多光子催化偶相干態(χ=0)的Wigner函數圖形

(a)α=1+i,θ=π/6,m=0

(b)α=1+i,θ=π/6,m=1

(c)α=1+i,θ=π/6,m=2

(d)α=1+i,θ=π/3,m=2圖3多光子催化奇相干態(χ=π)的Wigner函數圖形

4 結論

本文利用分束器與條件測量操作，給出了多光子催化疊加相干態的具體形式，包括多光子催化奇偶相干態，并導出了其歸一化系數的具體表達式。研究表明該態就是拉蓋爾多項式激發疊加相干態。此外，利用相干態表象下的Wigner函數，重構了多光子催化疊加相干態的Wigner函數，并根據Wigner函數討論在相空間中隨不同探測光子數和分束器透射系數的變化關系。結果表明隨著探測光子數的增加或透射系數的減小，Wigner函數的負值區域在逐漸增大，呈現出更高的非經典特性。