高等數學中極限概念教學的探析

劉現芳

摘 ? 要：極限概念幾乎貫穿整個高等數學，因而突出了極限概念在高等數學中的重要性。教師在教授學生高等數學知識的同時，要注重思維的培養與正確引導，利用科學、合理的方法全面激發學生的獨自思考能力。基于極限思想對高等數學的重要性，本文就極限概念做了重點闡述，通過概念講解，突出了極限的特性，針對現階段學生在學習極限概念時存在的問題進行分析，并找出解決方案，以求更好地為學生展示極限概念的原理，培養學生的極限思想，使學生能夠順利完成接下來的學業。

關鍵詞：高等數學 ?極限概念 ?認知分析 ?教學分析

中圖分類號：O171-4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）08（c）-0228-02

在我國高職院校中，高等數學是理工科專業的必修課，而極限概念又是整個高等數學的基礎，因此對學習高等數學有著重要的影響。目前，極限概念的學習困難主要與其嚴密的邏輯關系有關，在教學過程中，教學主體的錯位導致學生的邏輯思維得不到充分發揮。只有正確把握教與學的地位，才能夠有效引導學生進行獨立思考，以更好的掌握極限概念知識。

1 ?高等數學中的極限概念

極限概念作為一種思想，指引著高等數學的理論概念。如果掌握不好會影響接下來的微積分學習。通俗來說，極限概念的定義有兩種：

（1）假設函數y=f（x）在區間內，假設時，則函數f（x）會無限接近一個確定的常數A，則稱A為當x趨于+∞時函數f（x）的極限。記作limf（x）=A，x→+∞。

（2）假設函數y=f（x）在點a的左、右近旁，那么x無限趨近a時（記作x→a），當函數值無限接近一個確定的常數A，則稱A為當x無限趨近于a時，函數f（x）的極限值。記作limf（x）=A，x→a。

2 ?極限概念的認知分析

2.1 無限與極限的區分

在學生的認知理念中，存在無限概念與極限概念相混淆的情況，無限是基于哲學層面的，包含范圍廣。而極限只是無限中的一種，即無限逼近，是一種數學概念。

2.2 極限概念的吸收層次

學生對極限概念的學習從認知層面開始，從極限概念的二重性與無限逼近的認知中，了解極限概念的基本含義，從而進一步站在無限概念的視角上，意識到極限演變過程的整體構造與可執行性。通過對極限概念的進一步認知，學生會把思路推動到極限概念的演繹中，從而可以正確使用嚴密的數學語言，來羅列極限的演變過程。

3 ?極限概念的教學分析

3.1 運用正確的方法把學生引入極限概念中

要校正學生多年來的學習習慣，并逐步向智慧學習的層面引導。為了把極限概念的正確認知灌輸到學生的意識中，可以充分利用直觀方法，來標顯極限概念的思想。

3.1.1 割圓術

將圓做內接正多邊形細割圓等分處理，內接正12邊形、內接正24邊形、內接正48邊形、…、內接正12×2n-1邊形，對應面積為S1、S2、S3、…、Sn。因此，針對割圓術引出一個數列，即S1，S2，S3，…，Sn。隨著內切割面的增加，使內接正邊形的邊數增加，從而更加接近圓形。這里，教師可以引導學生思考無限接近圓形的S值，這是一個極限，從而用割圓術引導出極限概念。

3.1.2 極限承受

研究一匹馬能夠承受的極限載重量，在馬背上不斷的增加糧食的重量，1kg，2kg，3kg……nkg，從而引出數列M1，M2，M3……Mn這里的n指馬倒下前所承受的最后的重量，也是其所承受的極限值。

利用學生的認知來進行極限概念的引入，使學生對極限概念形成正確的理解，有利于其在接下來的極限知識理解。

3.2 從極限法則出發推廣到函數

3.3 利用事例引導學生掌握極限概念中的難點

3.3.1 ε的二重性

一般來說，學生對ε的二重性理解較為片面，因此，對于給定ε而求N的求解難以應對。要讓學生全面打開思路，就要把最關鍵的條件凸顯出來，即n>N，由此推出∣an-a∣<ε，在n>N這個條件中，當n無限增加時，an就會無限接近常數a，即∣an-a∣可以無限的小，但是依然大于零，因此∣an-a∣這個公式可以表現an與a之間的無限接近度，最后求出N。

3.3.2 N的二重性

3.4 引導學生掌握并延伸極限概念

極限概念在整個高等數學的中都有體現，因此，在完成極限初步概念的同時，要培養學生正確的極限思想。使學生在樹立直觀思想的基礎上，引導學生利用極限思想向拓展層面發展，把極限概念全面運用到定積分、導數、二重積分及曲線積分的概念學習中。

4 ?結語

高等數學一直以來都是教學難點，因其嚴密的邏輯性及推理性，使得學生無法更好的掌握其概念，因而形成了學習困難。要知道高等數學及極限概念因其難度系數較大，需要長時間的學習，循序漸進的理清理論概念，打開分析思路，從而才可以奠定較為扎實的基礎。教師要從實際出發，通過掌握學生的學習困難，從而有效地展開教學，全力激發學生的學習興趣，幫助學生走出學習誤區。

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