數(shù)學教學應(yīng)凸顯邏輯連貫性
——以“圓錐曲線”教學為例

一、教材設(shè)計與教學現(xiàn)狀

蘇教版高中數(shù)學選修2-1教材編寫人員在相關(guān)教學參考用書中提醒廣大教師“圓錐曲線”這一章的內(nèi)容可以采用兩種不同的方法組織教學：方法一是把橢圓、雙曲線和拋物線合起來作為一個整體，先討論它們的定義，再求它們的方程，最后研究它們的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，這樣做可以使學生對圓錐曲線有一個統(tǒng)一的認識，也可以節(jié)省教學時間，但教學難度較大；方法二是分別研究橢圓、雙曲線和拋物線，對每一種曲線按定義、方程、幾何性質(zhì)分別討論，這樣做，學生較容易接受，但削弱了幾種圓錐曲線之間的聯(lián)系，使得知識凌亂，重復(fù)過多。

教材對本章的總體設(shè)計思路是“總—分—總”，即先從整體上認識圓錐曲線的概念，了解橢圓雙曲線和拋物線的內(nèi)在聯(lián)系，再運用方程思想分別研究橢圓雙曲線拋物線的幾何性質(zhì)，進而通過統(tǒng)一定義從總體上進一步認識三種圓錐曲線的關(guān)系。

根據(jù)筆者的觀察，一線教學中不少教師對本章的教學拘泥于教材的設(shè)計，在教學邏輯上不夠連貫。常見的情形如下——

情形1 在探究“截線上任意一點到兩個定點的距離之和等于常數(shù)”這一教學過程中，教師缺少明確的目標引領(lǐng)，似乎是拖著學生學習：添兩個輔助球，在截線上任取點M，過點M作母線，證明點M到兩切點的距離之和是定值（當然，這確實是教學難點）。學生一路迷茫，不知下面將會發(fā)生什么，直至最后才感受到了結(jié)論的神奇、數(shù)學的偉大。

情形2 有的教師通過課件的動態(tài)展示，讓學生類比猜想截線上的點有什么特征，直接引出雙曲線定義；有的教師則幫助學生引進“Dandelin雙球”，去證明截線上任一點到兩定點的距離之差的絕對值是常數(shù)，再給出雙曲線定義。對于前者來說，難度極大，偶然性太強；對于后者，當堂再證一次，還是只能拖曳著學生學，既浪費時間，又剝奪了學生創(chuàng)造性思維的空間與機會。

情形3 大多授課教師都遵循教材，直白給出：截線上任一點到平面內(nèi)一個定點的距離與到一條定直線的距離相等，從而揭示拋物線的定義。

情形4 多數(shù)教師對橢圓定義中“常數(shù)大于F1F2”、雙曲線定義中“常數(shù)小于F1F2”等知識點的講解是事后修繕、補充解釋，缺少學生的主動探究與知識生成。

情形5 也有少數(shù)教師跳過第一節(jié)圓錐曲線不教，直接教第二節(jié)橢圓，等雙曲線拋物線分別教完以后，再點出其實橢圓、雙曲線和拋物線都可以通過用不同方向的平面去截圓錐面而得，因而統(tǒng)稱為“圓錐曲線”。這樣的處理在每種曲線定義的引入上比較突兀，缺乏連貫性，讓學生失去了對它們豐富多彩的內(nèi)在聯(lián)系的探究之趣。學生失去了自我創(chuàng)造的沖動與幸福感，更缺少了對內(nèi)隱于教材的核心問題（解析法、定點定值問題、軌跡問題）的認識與升華。

二、凸顯邏輯連貫性的教學實踐

這一章到底該如何起步，筆者經(jīng)過幾輪教學實踐，深感邏輯連貫的重要性不容忽視，應(yīng)以此為核心思想來組織教學，下面是筆者對本章起始課的教學實錄。

問題1：平面內(nèi)到一定點的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程，畫出此軌跡。

問題2：請將問題1稍作修改，編制一些類似的新問題。

生1：將平面內(nèi)改成空間中，即“空間中到一定點的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：很好，從平面問題拓展到空間問題是我們常用的類比思維方式，平面問題空間化、空間問題平面化也是我們常用的化歸轉(zhuǎn)化策略。現(xiàn)在我們學習的課程是平面解析幾何，接下來請保持“平面內(nèi)”這個大前提條件不變，眼光聚焦到其他條件再作變化創(chuàng)造。

生2：將一定點改成一定直線，即“平面內(nèi)到一定直線的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：很好，“點”換成“直線”是一種很有價值的變式思維，是一種很好的“升維”方式，提升了思維層次。請再換個角度思考問題，用更數(shù)學化的眼光看待問題，換一種“升維”方式，繼續(xù)變題。

生3：將一定點改成兩定點，即“平面內(nèi)到兩定點的距離等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：很好，從一個到兩個是一種非常自然的變化方式，也是一種極為經(jīng)典的“升維”方式，請問此題答案是什么？大家不妨討論交流一下。

生4：是兩個圓的公共點，可能是兩個點，也可能是一個點或不存在公共點。

師：很好，也就是說這樣的點只有有限個或不存在，因而這個變題的研究價值不是特別大。能否在此基礎(chǔ)上略作調(diào)整，使其更具研究價值？大家可以再討論一下。

師：我們在“圓的方程”一章中，曾經(jīng)有一個經(jīng)典習題與此密切相關(guān)，想起來了嗎？

生5：想起來了！“平面內(nèi)到兩定點的距離之比等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。

師：此答案是——

眾學生：圓。

生6：不一定，要分類討論！如果定值為1，那么軌跡是一條直線；如果定值不為1，那么軌跡是一個圓。

練習1：已知線段AB的長為2，求到點A、B的距離之比為λ的點的軌跡方程，并畫出此軌跡。

師：剛才將“一定點”換成“兩定點”，是很有意義的突破，將極大地拓寬研究領(lǐng)域。但剛才后面還要隨之應(yīng)變?yōu)椤熬嚯x之比為定值”，只能這樣變嗎？請嘗試其他方案。

生7：后面還可變?yōu)椤熬嚯x之和為定值”“距離之差為定值”“距離之積為定值”。

師：太好了！同學們帶出了一串問題，展示出了非常寶貴的數(shù)學思維品質(zhì)，今天我們先研究“距離之和為定值”的情況。

練習2：已知線段F1F2的長為常數(shù)2c，動點P到定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a。求動點P的軌跡方程，并畫出此軌跡。

師：關(guān)于軌跡問題，剛才我們已經(jīng)積累了這樣的經(jīng)驗：有些可以“未算先畫”（即不必求出軌跡方程，就可以直接畫軌跡），有些只能“先算再畫”（即先求出軌跡方程，再根據(jù)方程畫出圖形）。此題到底路在何方呢？請同學們合作解決這個問題，第一、二小組的同學嘗試未算先畫的途徑，第三、四、五、六小組的同學嘗試先算再畫的途徑，并各派一個代表上來板演。

教師適時提醒學生用預(yù)先備好的釘子和繩子來進行模擬。讓學生為所畫出的圖形命名，最后達成共識稱其為“橢圓”，并引出橢圓的定義。

練習3：請列舉一些我們生活中見到過的橢圓。

練習4：課件演示用平面去截圓錐面，請問所得的截線是否為橢圓？

教學過程中發(fā)現(xiàn)，先算再畫的學生在探求方程時都能主動地先建立好直角坐標系，且基本都是以線段F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建系，教師在肯定學生具有對稱美、和諧美的審美觀的同時，提醒他們思考這是否是唯一的合理方案，從而讓學生主動意識到“以F1F2所在直線為y軸，線段F1F2的中點為原點建系”也是值得一試的合理方案，再請兩個學生代表分別板演這兩種方法，最后引出橢圓的標準方程。

練習5：將x2+y2=4圓上各點的橫坐標不變，縱坐標都變?yōu)樵瓉淼囊话胨玫男聢D形是怎樣的，請先畫出來，再說出其名稱及理由，最后再寫出其方程。

三、關(guān)于數(shù)學教學邏輯連貫性的反思

首先，要有明朗的主線。面對變化多端、奧妙無窮的數(shù)學問題，很多學生只能仰慕其高深，感嘆其莫測，敬而生畏。而我們教師則往往怨學生缺少復(fù)習整理、歸類練習。除此之外，我們能否堅持在知識的初次生成時就以清晰的脈絡(luò)、明朗的主線呈現(xiàn)出來呢？在不影響培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力的同時，教師能否創(chuàng)造性地讓學生感到知識不是那么錯綜復(fù)雜呢？

本課例是以求動點的軌跡方程為主線，且這些動點滿足的條件是學生自發(fā)提出的，是在某一個母問題的基礎(chǔ)上演變生成的一系列子問題，由這樣一條簡潔明朗的主線串起來的問題對學生而言是親切自然的，是有探究欲望的，層次分明的問題本身及其解決方案會留在他們記憶深處。

其次，要有厚實的基礎(chǔ)。例如在本課例中，需要教師在教學蘇教版高中數(shù)學教材必修2“直線與圓”一章時就開始謀劃，通過探究直線方程，用聯(lián)想類比的手段探究圓的方程，讓學生深刻體會建立坐標系的必要性、科學性，并及時歸納提煉出求一般曲線方程的一般步驟，這是本節(jié)課的主線。如果離開了以上種種根基的支撐，邏輯思維的起點在哪？創(chuàng)造性地變式思維靈感哪里來？又何談連貫？所以若沒有大局意識、沒有大視野下的謀劃、鋪路搭橋去談某節(jié)課的邏輯連貫性必將捉襟見肘。

最后，要在知識鏈條中生長出新問題。例如在本章中，上完“橢圓”后教師可將學生7的問題“平面內(nèi)到兩定點的距離之差等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”作為新一輪的邏輯思維起點，先簡單回顧“橢圓”的學習流程，從而自覺地進行類似探究，依次畫出雙曲線、得出雙曲線的定義、求出雙曲線的方程、研究雙曲線的性質(zhì)。

上完“雙曲線”后，教師可將學生5的變題“平面內(nèi)到兩定點的距離之比等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”作為邏輯思維起點，先回想其答案是什么？怎么推導的？然后讓學生繼續(xù)變題，創(chuàng)造性地提出新問題。當遇到障礙時再略作引領(lǐng)，由學生提出并一起思考“平面內(nèi)到一個定點與到一條定直線的距離之比等于定值的點的軌跡是什么？并求出其方程”。可以先研究定值為1的情形，從而引出對“拋物線”的學習。

上完“拋物線”一節(jié)后，教師可以引導學生再回顧第一課時中的練習4，通過閱讀教材，部分學生應(yīng)該能解釋清楚該截線上任一點都滿足橢圓定義。然后變換截割方向，讓學生先猜想所得截線分別是什么圖形，然后依據(jù)相關(guān)定義說明理由，從而引出圓錐曲線的概念。

在教學教材“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”時，教師可以提出以下問題來進行連貫性教學：

①橢圓、雙曲線、拋物線有哪些共同屬性？（從運動生成的方式來看，都可以用平面截圓錐面而得）

②三者的方程呢？（橢圓與雙曲線相似，拋物線與它們差異很大）

③三者的定義呢？（橢圓、雙曲線都是到兩定點的距離問題，很相似，拋物線是到一個定點與到一條定直線的距離問題，與它們差異很大）

④那拋物線是否也可以看作平面內(nèi)到兩個定點的距離關(guān)系問題呢？（和、差、商都研究過了，那會否是積呢？）

⑤反過來，橢圓、雙曲線是否像拋物線那樣，是平面內(nèi)到一個定點的距離與到一條定直線的距離關(guān)系問題呢？（經(jīng)過一番探究，排除了和、差、積的可能，問題逐漸聚焦到：平面內(nèi)到一個定點與到一條定直線的距離之比等于定值λ的點的軌跡是什么？λ=1時，已研究得知軌跡是拋物線，λ≠1時，軌跡又是什么？）

總之，邏輯連貫性要求我們不拘一格處理教材，要在原有知識鏈中自然生長出新問題，讓學生自發(fā)生成聯(lián)系密切的問題串，其中部分問題需趁熱打鐵解決掉，有些則需要給學生留出足夠的時空，在合適的時機再回首解決。