談分類討論思想在高中數學教學中的應用

王贛勇

（江西省豐城市拖船中學，江西 宜春 331100）

數學思想的培養貫穿于整個高中數學教學中，在此過程中，教師不僅需要教會學生數學知識，掌握數學方法，培養數學能力，更應該引導學生感悟數學思想。分類討論既是一種重要的數學思想，又是解決問題的邏輯方法。這種方法對于簡化研究對象、發展人的思維有著重要幫助。在教學活動中“分類討論思想”是數學發現的一種重要手段，它能揭示研究對象之間的內在聯系，學生可以用它解決問題，使數學知識結構更有條理。此外，運用分類討論來解決的題目在高考試題中也必然存在。重點論述高中數學中分類討論的原理、類型以及討論的步驟，講述分類討論的具體應用。

一、弄清分類討論的原因

（一）由數學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義，不等式的定義，二次函數的定義，直線與平面所成的角，直線的傾斜角，兩條異面直線所成的角等問題。

（二）由數學運算引起的分類討論：如導數的正負號，除法運算中除數不為零，偶次方根為非負數，不等式兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域，對數運算中真數與底數的要求等問題。

（三）由函數的性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數的單調性、等比數列的前n項和公式等問題。

（四）由參數的變化而引起的分類討論：如含參數的方程、不等式，含參數的函數的單調性、值域（最值）等問題。

（五）由圖形不確定引起的分類討論：如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等問題。

（六）其他根據實際問題具體分析而引起的分類討論：如排列組合，概率等實際問題。

二、分類討論教學的重要性

在分類討論問題解決中，雖然存在規律，但是規律沒有固定結構，對數學內容的學習需要以基本概念、內涵、定理、法則與公式為前提。因此，在高中數學知識教學過程中，引進分類討論教學，可以讓學生對數學知識進行分類掌握，并形成數學框架，對高中數學知識全面了解。例如，針對數學概念的分類討論，在對函數Y=作圖，在這個函數中，需要將cosx看成是一個整體，在分式中分母不得為0，因此，需要去除cosx=0的點，屬于間斷圖像。之后從增減性與正負性考慮函數cosx，最終對該題進行解答。另外，在數學公式與訂立的分類討論中，需要對其進行詳細的分析研究，需要考慮到公式的運算法則以及問題成立與否的條件，并對其進行指定分類。例如，在排列組合的學習過程中，教師向學生提問：8個人站成兩排，A與B必須相鄰，有多少站法。在對其進行解答的時候，可以將A與B看成是一個整體，即7人站兩排，并得出組合數，之后對A與B的站位進行討論，將上述結果乘以2得出答案。由此，可以看出在高中數學教學中，分類討論是十分必要的，在數學教學中占有重要的地位。因此，教師在教學的時候，需要充分考慮到分類討論的內容，以便對數學知識點進行分類討論，通過對高中數學知識進行分類了解與掌握，對整體數學知識進行消化與理解。

三、具體應用與實例

（一）因數學定義和規則必須分類討論的如，開偶次方、不等式兩邊同乘、去絕對值等。

（二）由定理、性質、公式的限制引起的分類討論

對數函數的單調性因底數a的取值范圍不同而不同，故需對a進行分類討論。

（三）由幾何圖形中由于相對位置不確定引起的分類討論

（四）某些含有參數的問題，由于參數的取值不同對結果有影響，所以要分類討論

例如，有關一元二次函數最值、值域等問題，如果含有參數，需要對開口方向、對稱軸的位置進行分類討論，最后綜合各種情況得到答案。

（五）其他情形，具體問題要根據實際情況具體分析

對于何時需要分類討論，則要視具體問題而定，并沒有絕對規定，我們要在解題時不斷地總結經驗。另外，數學中的一些結論一般情形是正確的，但要考慮特殊情況。解題時，應注意就這些特殊情形進行討論。常見的有以下幾例：

（1）“一元二次方程有實數解”轉化為？駐≥0時，忽略了個別情形：當a=0時，方程有解不能轉化為？駐≥0；

（2）等比數列前n項和公式中：q=1時，公式不成立，而是Sn=na1。

（3）直線方程時，設直線的斜率為k，但當直線與x軸垂直時無斜率，應另行討論。

四、分類討論思想的注意事項

在應用分類討論思想進行解題的過程中，需要注意以下四方面的問題：第一、根據數學對象本質的相同點和差異點進行分類，分類過程中應該做到不遺漏、不重復；第二、應用分類討論思想，應該熟練掌握基本方法、技巧、知識等，熟能生巧的同時做到融會貫通；第三、學習過程中要不斷總結經驗和教訓，避免盲目分類和主觀臆測；第四、不斷總結，注重簡化分類，優化解題過程。在運用分類討論解題時，我們要明確分類的原因是什么？對象是什么？分幾個類別？不僅要掌握分類的原則，而且要把握分類的時機，重視分類的合理性與完整性。

數學思維的教學和數學的一般知識不一樣，很難在短時間內掌握。教師在教學過程中不要急于求成，應該在平時的教學中有意識地將分類討論的思想滲透其中，讓學生一步一步地學習分類方法，加強思考，提高解決復雜問題的能力。應用分類討論思想的范圍比較廣，在高中數學學習過程中，對于該思想的學習和應用，需要經過不斷的經驗的積累、反復的總結和思考。并且應用分類討論思想需要具備一定的邏輯思維能力、分析問題能力以及自主探究能力，而這些能力又在應用分類討論思想的過程中相輔相成，相互促進，從而提升了學生的綜合素質和能力。分類討論思想能夠有效提升學生的理性思維，促進學生思維擴散，從而可以為今后的學習和工作奠定良好的基礎。