平和中見關懷，沉穩中顯活力，自然中現宗旨

☉浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛兵

壓軸題一般注重考查學生的綜合應用能力，往往難度偏大一點，能夠使基本功扎實且思維靈活的考生脫穎而出.然而，目前不少中考試卷中的壓軸題難度太大，有的方法單一且奇特，有的運算超難，有的分類討論超繁等，這些壓軸題顯然壓住了考生，只有極少數超優生能夠完成，其實它的區分度很小，打“和牌”現象嚴重，不利于為高中階段學校招生提供客觀、公正的依據.

一、試題及其解答

（1）求直線l的函數表達式和tan∠BAO的值.

（2）如圖2，連接CE，當CE=EF時，

①求證：△OCE △OEA；

②求點E的坐標.

（3）當點C在線段OA上運動時，求OE·EF的最大值.

圖1

圖2

圖3

圖4

第（2）問第①小題的證法：

證法1：如圖3，連接AF.

因為CE=EF，所以∠CAE=∠EAF.

因為AC=AE=AF，所以∠ACE=∠AEF.

所以∠OCE=∠OEA.

又因為∠COE=∠EOA，所以△OCE △OEA.

證法2：如圖4，連接FD.

因為CE=EF，所以∠CAE=∠CDF.

又因為∠OEC=∠CDF，所以∠OEC=∠CAE.

又因為∠COE=∠EOA，所以△OCE △OEA.

第（2）問第②小題的解法：

解法1：如圖5，過點E作EH⊥x軸于點H.

則25x2-32x+16=4（4-5x），解得，x2=0（不合題意，舍去），則點

解法2：同上得AE=AC=5x，OC=4-5x，CH=x，CE=x.

圖5

圖6

第（3）問的解法：

解法1：如圖6，過點O作OM⊥AB于點M，過點A作AN⊥OF于點N.

由OM⊥AB，AN⊥OF，得∠OME=∠ANE=90°，EN=

解法2：如圖7，過點O作OM⊥AB于點M，連接FN.

由EN為直徑，得∠EFN=90°.

由于∠OME=∠EFN=90°，∠OEM=∠NEF，則△OME △NFE，則

圖7

圖8

解法3：如圖8，連接AF，以O圓心、OE為半徑的圓弧交AB于異于點E的G點，作OM⊥AB于點M，則EG=2EM.

解法4：如圖9，過點E作EM⊥OA于點M，過點A作AN⊥OF于點N.

圖9

則OE·ON=OM·OA.

二、特色解讀

1.平和中見關懷

本題表述簡潔，嘗試在直角坐標系中加載圓、直角三角形、等腰三角形、相似三角形等元素，涉及的知識有一次函數、銳角三角函數、圓的基本性質、勾股定理等核心知識，并融合運動觀點下的函數思想、方程思想、整體思想、從特殊到一般、轉化思想等重要思想方法，將重要的數學知識點和數學思維體現得淋漓盡致，但動點的運動路徑簡單——只在線段OA上，無折線運動；運動速度單一，無速度變化；運動范圍明確，滿足0＜AC＜；動點引起動圓半徑變化，動圓導致交點變化，關聯明顯清晰，無論是問題背景的呈現還是問題解決的任務，都是熟悉的素材.放低起點、減緩坡度、增加層次，給考生帶來希望，不至于望而卻步，有助于學生自我潛能的挖掘，使不同水平的考生達到不同的高度，有利于實現“不同的人在數學上得到不同的發展”的評價目標.

2.沉穩中顯活力

在以點A為圓心、AC長為半徑作⊙A的分析中，最簡單、最重要、最基本但又具有特定性質：同圓的半徑都相等.在△OCE △OEA的求證分析中，主要是相似三角形中典型的共角共邊的母子形，發現隨著鏡面變化的主動點C和從動點E的變化，在變化過程中有不變的關系∠COE=∠EOA.在CE=EF的特殊條件的分析中，聯想到“等弧所對的圓心角相等，圓周角相等，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半等有利于解題的信息.結合問題條件和目標，借助等角的補角相等探索出∠OCE=∠OEA或利用圓外接四邊形的一個外角等于它的內對角探索出∠OEC=∠CAE.在不增加條件下求點E的坐標，自然再現過點E作x軸的垂線和聯系第（1）問中的銳角三角函數和第（2）問第①小題中的相似三角形，由此發展符號意識，用字母表示相關的線段，接著可通過勾股定理列方程，也可利用相似三角形的性質和同一線段的不同表示尋找等量關系，自然、流暢、質樸、和諧，關注過程方法，凸顯思維發展.

3.自然中現宗旨

函數是數學學科中最重要、最核心的概念.函數的本質是兩個變量之間一種特殊的對應關系.聯系和變化是其核心本質.第（3）問求OE·EF的最大值，需要學生具備一定的幾何直觀、幾何推理能力、發現與探究能力、合情推理能力等.立意新穎，構思巧妙，極富創意，蘊含著豐富的數學內涵和思想方法，能很好地反映出學生的數學素養和數學基本功，體現試題的信度和效度.它的求解方法巧妙地避開了通常求最值的問題，轉為深入挖掘隱含的數量關系，進而通過建立變量之間的函數關系求解，而這又何嘗不是求最值的通性通法？同時解題途徑寬，可作弦心距來處理與弦有關的問題而構造分別包含線段OE、EF的直角三角形相似；也可見直徑找直角來處理與弦有關的問題而構造分別包含線段OE、EF的直角三角形相似；也可連接圓上點與圓心而構造分別包含線段OE、EF的等腰三角形相似；也可將前面已經獲得的解題經驗和過程結論信息集中優化分析而構造A型相似，得到與主動點C運動到不同位置時的橫坐標或縱坐標或動圓半徑之間的一次函數關系，進而通過整體代入得到OE·EF與自變量x之間的二次函數關系，這樣兼顧不同水平考生，讓學生更多地關注基本圖形，挖掘其本質特征，體會“變中有不變”，在能力立意的基礎上進一步體現素養立意.

三、教學導向分析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學課程內容“不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法”.對于第（2）問第①小題，以相似三角形和圓等核心知識交匯為背景，蘊含了邏輯推理、直觀想象等素養的要求，第②小題滲透著聯系的觀點與方程思想，自然生成，順勢而為.從第（2）問到第（3）問，凸顯運動的觀點與從特殊到一般的數學思想.第（3）問線段之積的最值又蘊含著函數思想、轉化思想、整體思想，點C的運動范圍滿足引領著極端思想和分類討論思想的催生，點在線段OA上運動，當時，OE與⊙A相切，當時，點F在線段OE上，可以體現數學試題的深層次思維.所以我們要善于在知識的交匯處，以基礎知識與基本結論為載體，關注學科本質，注重通性通法，淡化特殊技巧，基于知識轉化，探求以題會類，循序漸進地引領學生的思維能力發展，在恰當的時機提煉，用接地氣的語言概括，讓隱性的思想方法浮出水面.從本質上講，會用數學的眼光觀察現實世界（數學抽象、直觀想象）、會用數學的思維思考現實世界（邏輯推理、數學運算）、會用數學的語言表達現實世界（數學建模、數據分析），是超越具體教學內容的數學教學目標，其中“四基”是發展學生核心素養的有效載體.素養的形成，不能單純依賴教師的教，還需要學生參與其中的數學活動；不能單純依賴記憶與模仿，還需要感悟與思考.因此，基于核心素養的教學，要求教師抓住知識的本質，創設合適的教學情境，啟發學生思考，讓學生在掌握所學知識和技能的同時，感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，最終形成和發展數學核心素養.