小網(wǎng)格，大容量
—— 品2018年天津市中考卷第18題第二問有感

☉天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué) 劉家良

在正方形網(wǎng)格中畫出符合條件的點(diǎn)或線，是天津市中考卷第18題的命題點(diǎn)，此類題已歷7年，現(xiàn)已成為天津市中考卷的區(qū)域亮點(diǎn).題設(shè)有兩問，第一問求線段長或角，主要圍繞勾股定理展開，比較簡單；第二問所涉及的知識面廣、思維靈活、難度大，對大多數(shù)的考生來講面臨的是一場“挑戰(zhàn)”，但若訓(xùn)練有法還是可以戰(zhàn)勝的，同時(shí)開闊思維，提升素養(yǎng).

一、試題析解

（2018年天津中考題）如圖1，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上.

（Ⅰ）∠ACB的大小為______度.

（Ⅱ）在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn).以點(diǎn)A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P′.當(dāng)CP′最短時(shí)，請用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P′，并簡要說明點(diǎn)P′的位置是如何找到的（.不要求證明）

說明：天津中考卷共25題，從易到難按“7∶2∶1”的梯度來命題.此題的（Ⅱ）屬壓軸題，是“1”的成分.

解析1：由題意知，點(diǎn)P′是邊B′C′上一點(diǎn)，欲使CP′最短，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，可知CP′⊥B′C′.對此，先需找到點(diǎn)B、C的旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點(diǎn)B′、C′.由于旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角為∠BAC，易知點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點(diǎn)B′在AC的延長線上且滿足B′C=2（B′C=AB′-AC=AB-AC=5-3=2）.由圖1獲悉點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點(diǎn)C′應(yīng)在點(diǎn)A的左側(cè)橫1×縱7的矩形對角線AK上，但點(diǎn)C′的位置又該如何確定呢？可過點(diǎn)B′向左數(shù)7格（需將現(xiàn)有網(wǎng)格向左增加一列），再向下數(shù)1格，得格點(diǎn)T，連接B′T交AK于點(diǎn)C′，則∠AC′B′=90°，如圖2.

圖1

圖2

現(xiàn)在“輪廓”有了，接下來應(yīng)該考慮點(diǎn)P′的位置.由于CP′⊥B′C′，所以暫可把這個(gè)目標(biāo)作為已知條件來對待，在圖2的基礎(chǔ)上標(biāo)注CP′⊥B′C′，據(jù)此挖出所需的信息點(diǎn).由CP′∥AC′，得△B′P′C △B′C′A，可得現(xiàn)在的困擾是點(diǎn)C′不是一個(gè)格點(diǎn)，即線段B′C′不是格點(diǎn)線段，這給找點(diǎn)P′帶來了新的“挑戰(zhàn)”，這需要我們往格點(diǎn)線段上轉(zhuǎn)化，即將點(diǎn)P′放置在B′T上.如圖3，由B′T=5，得TP′=B′T-B′P′=.至此，可借助構(gòu)造相似形，找到點(diǎn)P′的位置.取格點(diǎn)S、R，連接SR，交格線于點(diǎn)G，再取格點(diǎn)Q，連接QG交B′T于點(diǎn)P′，則P′為所求點(diǎn).確定點(diǎn)P′的位置還可將現(xiàn)有網(wǎng)格向上增加三行，過點(diǎn)C向左數(shù)1格，再向上數(shù)7格，得到格點(diǎn)R，連接CR交B′T于點(diǎn)P′.

點(diǎn)評：這種解法“中規(guī)中矩”，是由面到點(diǎn)的思維.先確定旋轉(zhuǎn)后的三角形，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)找到點(diǎn)P′，合乎常理.確定點(diǎn)C′的位置，因受網(wǎng)格中“列”數(shù)的局限而向左增加了1列網(wǎng)格；為尋求點(diǎn)P′的位置，將所達(dá)到的目標(biāo)視為已知條件，畫草圖幫助尋找圖形之間的聯(lián)系，利用相似，展現(xiàn)了數(shù)與形融合的“風(fēng)采”.借助網(wǎng)格中的垂直、平行的位置關(guān)系和度量性特征，通過觀察關(guān)系、數(shù)格等方式，減少了這類題的運(yùn)算量，體現(xiàn)了這類題賦予的觀察、聯(lián)想與思考的價(jià)值所在.

圖3

圖4

解析2：由于點(diǎn)B′在AC的延長線上，且B′C的長度、∠B′的大小都是確定的，對此可嘗試著延長BC交∠B′的另一邊于點(diǎn)D，則△B′CD為直角三角形，且△B′CD△BCA，可得，即點(diǎn)D在BC的延長線上且，據(jù)此畫出點(diǎn)D的位置.由題意知CP′為邊B′D的高線.為探究未知與已知之間的聯(lián)系，可延長P′C交AB于點(diǎn)O，易證∠ACO=∠A，∠BCO=∠B，則AO=CO，CO=BO，于是AO=BP，即P′O平分AB.反過來，若P′O平分AB，就會有OP′⊥B′D，至此問題有了突破口.如圖4，取格點(diǎn)B′，連接B′C，取格點(diǎn)M、N、H、Q，連接MH、QN，MH交QN于點(diǎn)D，連接B′D，取格點(diǎn)E、G，連接EG，交AB于點(diǎn)O，連接OC，并延長OC交B′D于點(diǎn)P′，則P′即為所求點(diǎn).

點(diǎn)評：尋找點(diǎn)P′的位置過程中，實(shí)則穿插了直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，如圖5，A、B分別是直角邊FC、EC延長線上的點(diǎn)，連接AB.若∠A=∠E，EH=FH，HC的延長線交AB于點(diǎn)K，則CK⊥AB.這個(gè)性質(zhì)成為解此問的依據(jù).透過這一解法，從中我們可獲得這樣的啟示：對教材中所涉及到的典型性圖形及其蘊(yùn)含的結(jié)論要盡可能熟記于心，以便能在新的問題情境中進(jìn)行聯(lián)想和遷移.

綜上，數(shù)格是找點(diǎn)畫線的頭道工序，當(dāng)數(shù)格無濟(jì)于事時(shí)，可算畫并舉，可“先畫后算”和“先算后畫”，其中先畫后算的“畫”是指幫助分析問題時(shí)所畫的草圖，有助于求相關(guān)的線段或角，為畫規(guī)范的、準(zhǔn)確的圖形做事先鋪墊，先算后畫的“畫”是指獲得數(shù)據(jù)后的畫圖.畫圖走過了一個(gè)先糙后精的辯證之路.算只是畫圖的一個(gè)輔助，而依靠觀察關(guān)系，數(shù)格是解這類題的常用之法，同時(shí)是這類題的命題價(jià)值所在.

圖5

二、“漸進(jìn)”突破

網(wǎng)格雖小，但蘊(yùn)藏的知識量大，思維具有廣闊性、深刻性和靈活形的特點(diǎn).

循序漸進(jìn)是獲取知識的重要原則.同樣突破此類題也要遵循這一“漸進(jìn)”性原則，因?yàn)檫@類題隸屬壓軸題，具有較強(qiáng)的選拔功能.解決好此類問題需要學(xué)生具有扎實(shí)的圖形功底、有序化的訓(xùn)練和戰(zhàn)勝險(xiǎn)阻的毅力、靈活的思維，解好此類問題體現(xiàn)了由量變累積促成質(zhì)變的過程.可分“三步走”：

1.熟悉網(wǎng)格特征，開啟思維之門

正方形網(wǎng)格的“背后”隱藏著哪些信息量呢？能解決什么問題呢？正方形網(wǎng)格中的橫線與橫線之間平行、縱線與縱線之間平行，這些習(xí)以為常的東西有時(shí)我們會熟視無睹，事實(shí)上這些位置關(guān)系蘊(yùn)藏著可觀的價(jià)值，如：尋求以平行為特征的相似三角形；正方形網(wǎng)格中的橫線與縱線之間相互垂直，可構(gòu)造直角三角形或矩形、正方形；網(wǎng)格中相鄰兩格點(diǎn)的長度單位為1，能解決橫、縱線段或?qū)蔷€的長度；網(wǎng)格中的對角線平行或垂直，這些位置關(guān)系為解旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱等變換問題提供了條件支撐.簡而言之，網(wǎng)格為解題者提供了求線段長、周長和面積的條件，教材中也不乏這樣的題.

2.始于基本題型，摸索思維之路

從網(wǎng)格中的基本題入手，如求線段的幾等分點(diǎn)、作垂直、求網(wǎng)格中某些不規(guī)則圖形的面積等，這些基本題為破解綜合網(wǎng)格問題奠定了可遷移的思維路徑.

3.善于聯(lián)想遷移，形成轉(zhuǎn)化之法

以圖形的性質(zhì)、判定為依據(jù)，對已做過的基本題中所涉及的圖形及結(jié)論熟記于心，同時(shí)以基本圖形為起點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)想，在遷移中逐步轉(zhuǎn)化所求的問題.

仍以2018年天津市中考卷第18題第二問為例，共同體驗(yàn)一下通過“漸進(jìn)”性方式突破此類題的解答歷程.嘗試著將該題“分解”成幾個(gè)子題，適時(shí)地布置給學(xué)生，通過不同階段的滾動性訓(xùn)練、聚合，自然會通向該題的求解之路，這樣做能克服大部分學(xué)生一遇此類題就發(fā)憷的心里.

子題1：畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

（1）如圖6，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形.

（2）如圖7，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為∠BAC.請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形.

圖6

圖7

意圖：第（1）題的旋轉(zhuǎn)角為90°，與網(wǎng)格中的垂直關(guān)系相吻合，教材中也不乏這樣的題，旨在起到“熱身”的效果；第（2）題的旋轉(zhuǎn)角使旋轉(zhuǎn)變得復(fù)雜些.兩題的訓(xùn)練使學(xué)生對解旋轉(zhuǎn)問題有了基本的“套路”：找關(guān)系，數(shù)格子.

子題2：求比值或找格點(diǎn)等分線段.

（1）如圖8，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，AB與網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，則=______.

（2）如圖9，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上.請?jiān)诰€段AB上尋找一點(diǎn)P，使

圖8

圖9

意圖：通過子題2的訓(xùn)練，使學(xué)生對解線段比的問題有了基本“套路”：將線段比的問題歸結(jié)為構(gòu)造相似三角形的問題.如何構(gòu)造？此時(shí)學(xué)生已有了解答的途徑（構(gòu)造“A”字形或“X”字形）和思路的體驗(yàn).

圖10

子題3：畫點(diǎn)到直線的垂線段.

如圖10，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，請?jiān)谶匒B上找一點(diǎn)D，使CD長最短.

意圖：通過子題3的訓(xùn)練，使學(xué)生對解最短問題有了基本“套路”：找垂直關(guān)系時(shí)需找關(guān)系，數(shù)格子.

通過對子題的漸進(jìn)性訓(xùn)練，為壓軸題的解答漸漸提供了方法和思想的力量——找關(guān)系，數(shù)格子，其中數(shù)格子用在構(gòu)造相似、尋找垂直等方面，當(dāng)數(shù)格子受到局限時(shí)需要計(jì)算為輔助.

網(wǎng)格題之所以在得分率較低的現(xiàn)狀中生存下來并成為全國中考題的一道亮麗風(fēng)景，就是因?yàn)樗}小而容量大、思維廣，會給那些愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生提供寬廣的舞臺，“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的成長空間，踐行著“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念.