重組學材開放教學，采集生成驅動學程
——以九年級“銳角三角函數”起始課教學為例

☉江蘇省江陰市暨陽中學 浦旦君

初中階段銳角三角函數在學段最后階段才開始教學，而且多是安排在相似三角形之后引出.從知識連貫與必要準備來看是有道理的.然而幾種版本的教材在引出銳角三角函數這個概念時多采取利用生活情境中梯子或坡度大小來分析直角三角形邊角的關系，接著定義正切、正弦、余弦等概念，最后往往是“一帶而過”直接告知學生它們都是三角函數，對函數本質的揭示不夠到位.本文先整理近期筆者開設的一節“銳角三角函數”起始課的教學環節，并給出教學立意的闡釋，供研討.

一、“銳角三角函數”起始課教學課例

教學環節1：復習舊知

問題1：同學們在八年級學習函數時，是如何定義函數的？

問題2：到目前為止，同學們已學習了哪些函數？你認為最簡單的函數是哪種？（預設，學生已學習一次函數、二次函數、反比例函數，等等，最簡單的函數是一次函數中的正比例函數）

教學組織：在以上兩個問題驅動之下，師生對話，在黑板的副板區形成函數定義，便于后續進一步定義銳角三角函數.并安排學生在準備好的坐標紙上畫出幾個特殊的正比例函數的圖像，教師在下面觀察學生所畫，請幾個有代表性的學生到黑板上畫出相應的圖像（如圖1~3），便于進一步研究.

圖1

圖2

圖3

采集到圖1~3到黑板上之后，邀請這些學生上臺講解這些正比例函數圖像的“特殊之處”，即這些圖像與x軸的夾角都是一些特殊角度（30°、45°、60°）.進一步引導學生把目光聚焦在這些圖像在第一象限內的部分，研究第一象限內這些圖像上任意一點的縱、橫坐坐標的比值，發現在各個坐標系內，隨著角度確定之后，這些比值也隨之唯一確定.于是引出新知.

教學環節2：定義新知

從圖1~3中分離、聚焦一個直角三角形，如圖4，我們把PQ與OQ的比值定義為正切函數，像圖4中可記作tan45°==1，并指出，在圖4中，如果記點P到原點O的距離為r，則、也是確定的，進一步也定義它們分別為正弦函數、余弦函數.

圖4

在此基礎上，繼續完善定義，用Rt△ABC來表示正弦函數、余弦函數、正切函數，書寫在黑板左側的“主板區”，漸次生成結構化板書.

教學環節3：初步運用

例題講評：整理特殊銳角30°、45°、60°的三種銳角三角函數（正弦、余弦、正切）數值表格.

教學組織：安排學生由黑板上生成的一些特殊三角形，對照剛剛定義的三種三角函數，分別求出特殊銳角30°、45°、60°的函數值（共9個），并讓學生列表整理出來，由一個小組派學生代表到黑板上書寫出表1：

表1

跟進追問1：既然是函數，往往要研究函數的一些性質或圖像，由于初中階段只研究銳角范圍內的三角函數，并不涉及三角函數更多的內容，所以我們就初步研究一下這三種函數的增減性.先在小組內研討再全班匯報交流.學生將分別猜想得出，對于銳角，隨著自變量銳角度數的增大，它的正弦函數值隨之增大、余弦函數值隨之減小、正切函數值隨之增大．

跟進追問2：從表格中還有一些發現，比如，sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，這種性質能否“一般化”？比如，猜想對于銳角α，是否一定有sinα＝cos（90-α）？能否利用三角函數的定義證明這個性質呢？接著安排學生先獨立思考，然后小組交流討論，并確認這個性質．

跟進追問3：計算sin230°＋cos230°和sin245°＋cos245°.

學生計算出答案為1之后，引導學生思考：這個問題能否“走向一般”？即sin2α＋cos2α是否為定值1？仍然引導學生“回到定義”來證明這個性質．

教學環節4：小結展望

小結問題1：對于這節課學習的銳角三角函數，大家有什么體會？能否用幾個關鍵詞梳理一下本課所學？

小結問題2：你覺得以后學習銳角三角函數時，還會學習哪些內容？

教學組織：在學生回答的基礎上，教師對黑板上的內容進行梳理，完善生成結構化板書．（略）

二、教學立意的進一步闡釋

1.鋪平墊穩，定義三角函數的概念

在引入新課階段，先回顧函數的定義，然后小組分工討論幾個特殊的正比例函數的圖像，并安排學生代表上臺畫出圖像，其他學生上臺講解是如何理解這些正比例函數的特殊性的，教師在這個過程中跟進追問，讓學生看到這些正比例函數的圖像與x軸的正半軸的夾角的特殊性，在這個過程中，可以換不同學生上臺講解各自的理解，重點在這個特殊角度是如何得到的.學生如果幾何構造能力不強，則常常會被“問住”從而“卡在”那兒，思路難有進展，這時其他學生參與講解、辨析，把問題的本質揭示出來．就是已知一個直角三角形中確定的邊之比后，如何推導出相應的銳角角度？如果不愿意走幾何構造的思路，還可以通過接下來定義的銳角三角函數研究它們，讓學生感受到一個新的概念或新的定義是自然而然的，很有必要的，能解釋很多以前遺留下來的較難問題．

2.采集生成，讓生成資源驅動學程

我們知道，開放需要放開，當問題放開之后，學生的生成會很發散，教師如何駕馭呢？這就對課前的備課提出了很高的要求．比如，上面課例中安排學生列舉一些特殊的正比例函數，就是很開放的問題，教師需要預設學生各種不同的情形，通過參與小組內交流，采取、捕捉到接下來教學進程中需要的那幾個特殊的正比例函數，讓相應學生到黑板上板演、講解，也就實現了從學生的生成性資料來驅動學程的教學立意．我們常常期待選擇一個好的問題情境驅動教學，實現問題引領、問題驅動的教學功能，如果能在教學進程中通過恰當的設問，促進學生生成一個新的問題情境或背景，促進后續學程的推進，則是很有品質的問題驅動．

3.初步運用，重視回到定義去解題

在定義三種銳角三角函數之后，需要安排學生對定義進行初步理解，仍然利用學生已得出的兩種特殊直角三角形來研究幾個特殊銳角的三角函數值，在學生“活動單”上列出表格，讓學生先獨立計算9個三角函數值，小組內先核對交流，然后教師安排學生觀察表格中的三角函數值與自變量（角度）的關系，引導他們發現一些特殊的性質（比如，互余兩角的正弦、余弦值相等），并促進這些發現走向一般，形成猜想，最后安排學生“回到定義”去證明．這個過程是一次“微型”的“做數學研究”的過程，學生經歷了操作分析、整理數據、觀察分析、發現猜想、走向一般、證明猜想這樣的研究過程，而且最后的證明滲透了“回到定義去解題”的解題思想．

三、寫在后面

教無定法，課堂教學更是一門遺憾的藝術．筆者曾在不同班級組織過上面課例的實施，然而效果不盡相同．可見上面教學立意的闡釋多帶有個性化理解，不一定準確，更不一定正確，期待專家學者批評指正．