函數性質的教學要基于整體視角下的設計
——以二次函數y=ax2的圖像和性質為例

☉浙江省臺州市白云中學 張安軍

☉浙江省臺州學院附中 蔣華靈

有幸參與某學校教學開放周活動，聆聽了九年級兩位老師的同課異構，課題是人教版“二次函數y=ax2的圖像和性質”第1課時.這兩位老師的課大致是這樣的，先回顧二次函數的定義，然后提出問題，接下來是研究什么以及如何研究，當學生遇到困難時，類比正比例、一次函數的研究思路，引入課題.課中兩位老師又回顧用描點法畫函數圖像的一般步驟，然后從特殊到一般，從具體的二次函數（如y=x2等）的圖像觀察中得出性質.從中可以發現兩位老師都非常重視y=ax2圖像研究的方法和思路，重視y=ax2的圖像的畫法和性質的得出.但對于函數的解析式、列表沒有足夠的重視.y=ax2的圖像和性質的得出邏輯起點應在哪里？什么是函數的性質？函數性質難道一定從圖像觀察中得知嗎？其實函數圖像的性質要基于整體視野下思考，即要從解析式、表格、圖像詮釋二次函數y=ax2的性質.為此筆者進行了一次教學實踐，以二次函數y=ax2的圖像和性質為例，立足于函數的解析式，這是研究函數性質的邏輯起點，從解析式猜想圖像的大致形狀和變化趨勢；從表格中觀察函數的變化特點，感悟局部對稱；在圖像中揭開函數性質神秘的面紗.讓學生在研究函數性質的過程中，猶如欣賞美景，從不同的視角得到不同的景色，豐富了函數性質的認識.

一、內容和內容解析

1.內容

二次函數y=ax2的圖像和性質.

2.內容解析

二次函數的圖像和性質是繼一次函數的圖像和性質探索之后又一個典型的函數圖像和性質，探索二次函數的圖像和性質能加深對二次函數的理解，二次函數的圖像和性質是運用二次函數解決實際問題的必要準備.

本課重點探索二次函數y=ax2的圖像和性質，它是本章知識的核心，也是后繼更一般情形下二次函數圖像和性質得出的關鍵.

y=ax2（a≠0，以下類同）的圖像和性質突出了從數到形的合情推理，即由具體的y=ax2出發，考慮自變量的取值范圍，分析x、y的對應變化關系，然后猜想函數圖像的大致位置和圖像的趨勢，進一步由列表時表格中的有限對數值猜想y=ax2圖像的對稱性和增減性，在猜想之后進行畫圖驗證，在這個過程中，發展學生的數感、推理思想.通過對y=ax2二次項系數a的正、負性分類，觀察幾個具體二次函數y=ax2的圖像，逐步歸納得出y=ax2的圖像和性質，這一過程是對y=ax2的圖像和性質的認識逐步理性化的過程，也是體驗如何研究函數性質的一般思路和方法.

一次函數的性質和二次函數的性質有相似之處，但這種相似之處更體現在函數研究的思路、研究的內容和研究的方法的一般觀念上.二次函數y=ax2的圖像和性質的得出比較抽象，但抽象的思維要基于具體的事例，可以先從具體的y=x2等圖像觀察，由部分圖像推測整體，由點到形，由特殊到一般研究整體，感悟研究函數圖像的一般觀念.

二、目標和目標解析

1.目標

（1）掌握y=ax2的圖像和性質；

（2）在探索y=ax2的圖像和性質過程中，發展學生的推理思想、數形結合思想和分類思想，在觀察比較y=ax2的圖像和性質的過程中，發展學生的抽象和概括能力.

2.目標解析

達成目標（1）的標志是：對于二次項系數a取不同的數值，能判斷二次函數y=ax2的圖像開口方向、對稱軸直線（頂點坐標）和增減性.

達成目標（2）的標志是：對于二次項系數a取具體的數值，學生根據解析式合理估計圖像的大致形狀，在列表取值中對表格中的數對能進行對稱性、增減性的猜想和估計，在觀察比較的基礎上能概括二次函數y=ax2的圖像和性質.

三、教學問題診斷分析

學生在學習二次函數之前，已經學習了一次函數及其圖像和性質，對于如何用描點法畫圖，如何觀察，歸納一次函數圖像的特征，積累了一定的經驗，但是二次函數的圖像研究過程比一次函數的圖像研究過程更復雜.由于二次函數圖像是非線性的，具有增減性、開口方向和對稱軸、頂點坐標等，性質比一次函數更復雜，學習相隔的時間也較長，從具體的二次函數圖像特征抽象和概括出二次函數更普遍的性質，蘊含了豐富的數學思想，如分類思想、數形結合思想、變化和對應思想等，這要求學生有較強的綜合能力.

本節課的教學重點是：掌握y=ax2的圖像和性質.

本節課的教學難點是：探索和歸納y=ax2的圖像和性質.

四、教學過程設計

1.復習回顧，引入課題

回顧：請同學們回顧什么是二次函數.

問題1：類比一次函數的研究，你認為二次函數接下來要研究什么？研究的一般步驟和方法是怎樣的？

追問1：在研究一次函數的圖像和性質時，從特殊到一般，先研究正比例函數的圖像和性質.在研究二次函數的圖像和性質時，先要研究怎樣的二次函數解析式的圖像和性質？為什么？

追問2：研究正比例函數y=kx的圖像和性質時，研究思路是先對k的正、負性分類取特殊數值，用描點法畫圖，再觀察歸納.對于y=ax2的圖像和性質，你認為研究思路是怎樣的？

師生活動：教師先回顧二次函數的定義，然后師生共同寫出二次函數的一般形式：y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0），類比一次函數的研究，提出二次函數接下來要研究的內容，師生共同得出研究二次函數的圖像和性質，教師追問，先研究怎樣的二次函數解析式的圖像和性質呢？當學生有困難時，引導學生類比一次函數的研究，從特殊到一般，先研究正比例函數的圖像和性質，這樣師生明確研究的主題是最簡單的二次函數y=ax2的圖像和性質.

設計意圖：通過回顧一次函數的研究思路、研究內容和研究方法，發揮先行組織者的作用，明確二次函數應研究什么和怎樣研究，為明晰本節課學習的線索和內容做好鋪墊.

2.探究y=ax2的圖像和性質

問題2：我們先探究特殊的二次函數，如y=x2，你們打算怎樣研究y=x2的圖像和性質呢？

追問1：觀察函數解析式y=x2的特征，你能大致想象該函數圖像的形狀嗎？

追問2：根據自變量x的取值和相對應的函數值y，你能預測x、y的變化趨勢嗎？

師生活動：教師提問學生：從哪一個具體的y=ax2開始呢？師生總結：基于簡單的原則考慮，a取1.有了具體二次函數y=x2后，準備如何研究這個函數的圖像和性質呢？學生回答先列表、描點、連線得到圖像，此時，教師指出，先停下來觀察函數解析式y=x2，考慮自變量x的取值，分析對應y的值，想象它的圖像有哪些特征和變化趨勢.

設計意圖：引導學生在用描點法畫圖前，先根據解析式的特點，發揮函數解析式的價值作用，從數到形合情推理，預測二次函數的圖像特征，發展學生的數感、運算、推理和空間想象能力.

問題3：對y=x2列表如下：

表1

（1）根據表格中的數對，你能進一步驗證問題2中所提出的猜想嗎？

（2）根據表格中數對的特點，你還能提出哪些猜想？

近年來，山西省委認真落實意識形態工作責任制，不斷加強對宣傳思想工作的領導，使全省意識形態領域形勢發生了重大而深刻的變化。面對新的形勢、新的任務、新的挑戰，各級黨委（黨組）要把意識形態工作責任制切實落到實處，切實擔負起政治責任和領導責任。主要負責同志要帶頭把方向、抓導向、管陣地、強隊伍，層層傳導壓力。要創新領導方式，跳出傳統陳舊套路，善用各種宣傳工具和渠道，講究藝術、抓住關鍵，牢牢掌握主動權。要夯實基層基礎，充實基層宣傳思想工作力量，完善各種保障，打牢黨的執政根基。要堅持全黨動手，真正形成黨委統一領導、黨政齊抓共管、宣傳部門組織協調、有關部門分工負責的大宣傳工作格局。

師生活動：當學生列表取值完成后，教師引導學生不要急于描點、連線、畫圖，再次放慢腳步，停下來觀察表格中的數對，驗證單純依據解析式所得到的猜想.然后基于表格中的數對，讓學生發現問題、提出問題，學生發現表格中的數對（-5，25）和（5，25）以及（-4，16）和（4，16）等，展開想象，猜想二次函數的圖像是軸對稱圖形，對稱軸是y軸，教師不失時機追問：“難道這一切，正如你們所預料的嗎？有沒有意外呢？”引導學生畫圖，在期待中揭開二次函數圖像神秘的面紗.

設計意圖：從解析式到列表取值，從模糊的估計到表格定量的刻畫，學生經歷觀察、想象、操作驗證.培養學生有條理地表達自己的觀點，發展學生的問題意識.基于具體表格中的數對，這樣開放性的設計，既讓學生有根據地提出問題，又能合理地驗證自己提出的問題，同時為后繼畫圖做好鋪墊.

問題4：在同一直角坐標系內，繼續畫出y=0.5x2、y=2x2的圖像，上述得出的二次函數的圖像和性質是否成立？

追問1：y=x2、y=0.5x2、y=2x2，這些拋物線有什么相同點和不同點？

追問2：是不是所有的二次函數y=ax2（a＞0）的圖像和性質都具有這樣的特征呢？

師生活動：讓學生獨立畫出y=x2后，驗證對稱性和增減性等.然后同桌繼續合作畫出y=0.5x2、y=2x2的圖像，然后追問學生：還要不要再畫圖像呢？當學生回答不要畫時，教師繼續追問，讓學生概括二次函數y=ax2（a＞0）的圖像和性質（從具體到抽象概括）.

設計意圖：一方面，讓學生親身經歷畫圖，感悟圖像和性質的發現、猜想、驗證、概括過程，發展學生的歸納概括能力、合情推理能力；另一方面，用幾何畫板展示a（a＞0）變化時多個不同的拋物線.感悟動態的變化，進一步驗證a＞0時拋物線的圖像和性質.

問題5：上面研究了y=ax2（a＞0）的圖像和性質，你能獨立研究a＜0嗎？如何展開研究？

追問1：不畫圖像，你能猜想y=-x2和y=x2圖像之間的關系嗎？

追問2：請你歸納y=ax2（a＜0）的圖像和性質.

追問3：你能進一步總結y=ax2的圖像和性質嗎？

師生活動：當學生研究了y=ax2（a＞0）的圖像和性質后，教師追問接下來還要研究哪一類函數，如何研究y=ax2（a＜0）的圖像和性質.在教師的引導下，學生明確研究二次函數的一般步驟，在學生畫圖之前，教師讓學生又一次停下來思考：y=-x2和y=x2圖像之間的位置關系是怎樣的？為了驗證猜想，引導學生分組畫出y=-x2、y=-0.5x2、y=-2x2的圖像，再用幾何畫板把y=x2的圖像旋轉180°或者關于x軸對稱，進行驗證，最后總結y=ax2的圖像和性質.

設計意圖：學生在教師的引導下完成了y=ax2（a＞0）的圖像和性質，在這個研究過程中，學生積累了基本的活動經驗，然后把這種基本活動經驗遷移到y=ax2（a＜0）的圖像和性質中，進一步體會數學思想方法.

3.例題講解，學以致用

問題6：解決下列問題：

例1已知拋物線y=mx2經過點A（-2，-8）.

（1）求此拋物線的函數解析式，并判斷該函數存在最大值還是最小值；

（2）點M（2，-8）是否在此拋物線上？

（3）求出此拋物線上縱坐標為-6的點的坐標.

練習1：（1）二次函數y=-2x2的圖像是一條開口____的拋物線，對稱軸是直線______，頂點坐標是______，當x取______時，y有最______，該最值為______.

（2）若點A（x1，y1）和B（x2，y2）在拋物線y=2.5x2上，當x1＞x2＞0時，y1______y2；當x1＜x2＜0時，y1______ y2.

4.回顧與小結

問題7：請同學們回顧本節課的學習內容，思考以下問題：

（1）二次函數y=ax2的圖像是什么樣子的？

（2）二次函數y=ax2中的a在函數圖像中起什么作用？

（3）如果要繼續研究二次函數的圖像和性質，應該怎樣研究？

五、教學反思

筆者在中國知網上查閱近6年“二次函數y=ax2的圖像和性質教學設計”的相關案例，得到文獻［1］~［5］，教學設計和上述三位老師非常類似，注重函數研究整體的套路，即研究什么，怎樣研究，注重課堂形式，淡化數學的實質.什么是二次函數？有的教師認為二次函數的一般式：y=ax2+bx+c就是二次函數，作為教師，這樣的認識有片面之嫌，一般式僅是二次函數的一種表達方式而已，對于二次函數還有列表、圖像，對于二次函數應有一個整體觀，即解析式、列表和圖像.研究二次函數的性質時，要基于解析式、列表、圖像三個層面加以綜合考慮，這三者既有聯系又有區別，既有自身的優點也有缺點.在教學中不要過分偏重二次函數的圖像，誤認為二次函數的性質一定要基于圖像觀察得知，其實不然，由函數解析式想象函數的圖像和性質是高中數學乃至高等數學研究函數圖像的基本思路，這種想象基于解析式到圖像的聯想，對培養學生的數感、符號意識、幾何直觀都有獨特的教育價值.同樣在函數列表中也蘊含著豐富的教育資源，如進一步驗證自己從解析式聯想圖像的猜想，由于函數的對稱性不易發現，也可引導學生通過表格發現數字變化的規律，再進一步提出自己的猜想.相反二次函數的圖像就如同蓋著紅布的新娘，至于新娘的音容笑貌很早就在新郎的夢想里千萬次的尋思，同樣函數的圖像很早就在學生思維的勾勒中逐漸豐滿.畫圖像無非是再次驗證自己的猜想和整體感知、抽象概括的能力體現，因此教師在函數圖像教學中，認知的邏輯起點基于解析式，由式中數字對應變化關系想象它的形狀，由表格中的數對再次驗證、質疑和重新提出猜想，圖像僅是最后出場的“伊人”.教師要在教學過程激起對“伊人”的向往和追求，感受數學之美、之情.