淺析初中數學反例教學實施的具體運用

謝常盛

（廣西欽州市浦北縣安石中學，廣西 浦北 535327）

反例教學法是教師呈現少數且典型的例題來引導學生進行批判的一種行之有效的教學方法。在數學發展史上，反例和證明同等重要。在數學教學中，恰當地開發和利用精煉、典型、具有針對性的反例，可以促進學生數學概念形成，幫助學生全面掌握鞏固課堂知識，也能讓學生在歸納、提煉的過程中發展多種思維能力，做到快速正確地處理問題，解決問題。因此，教師應將反例教學法積極地運用到初中數學課堂教學中，培養學生的逆向思維能力，誘發學生的創造力，開辟數學領域的新天地。

一、運用反例教學的目的要明確

反例教學的目的性強，教師在教學過程中使用反例意欲何為要清晰，想通過列舉的反例讓學生掌握什么知識點要明確。教師在列舉反例時要有強烈的目標意識，在學生認知的發展規律下，根據具體的教學內容和重難點問題選擇出典型性強、富有啟發意義的反例。

例如，筆者在教學二次函數時，為學生列舉了一個反例“已知二次函數y=mx2-2x+3的圖象與x軸有兩個交點，求m 的取值范圍。”很多學生片面套用公式，一味計算Δ=b2-4ac=4-4m×3≥0，得出結果為“m≤1/3時，與x 軸有兩個交點.”這樣一來，便正好落入筆者的圈套，筆者設置這個反例的目的就在于提醒學生要關注題設的隱含條件，y=mx2-2x+3為二次函數，因此m≠0這一前提切不可忽視。若是在教學過程中，筆者只是信手拈來幾個反例，讓學生練習函數圖象與x軸交點的公式計算，完全達不到反例的神奇效果。有目的性的反例教學不僅讓學生掌握了所學知識點，還讓學生深刻了解到所學知識點的本質及延伸。這樣反例能使學生澄清是非，發現錯誤原因，獲得正確認識和解題方法。

二、運用反例實現課堂教學的互動

在初中數學教學過程中，教師必須堅持以學生為主體，充分發揮學生的主體作用。如，堅持以“學生為本”，從學生的具體情況及特點出發，采用適用于學生的教學方法，以促進教學效率提高。在具體的教學中，教師還要能夠適當運用反例教學，以實現課堂教學的互動，從而創造寬松、自由的教學環境，使學生能夠在快樂的課堂氛圍中積極主動地學習，真正做到“在快樂中學習”，以提高初中數學教學的有效性。同時，教師要能夠全面把握每個學生的具體情況，積極為學生創設一些反例教學情境，從而使學生能夠建立起平等、和諧的關系，并勇于思考和提問，實現其個人能力的快速提升。另外，教師還要積極肯定學生的學習主動性及進步，并給予適當的鼓勵，使學生更加有動力和自信，去展示自我的才能，并學會通過反例，來彌補自身學習的不足之處。

三、恰當地運用反例，可以去偽存真，釋疑解惑

因構造反例在辨析錯解中具有直觀、明顯、說服力強等突出特點，所以舉出反例在揭露錯誤時有特殊的威力。平常的教學實踐使我們深深地認識到：構造反例，辨析錯解，不但可以發現錯解中的漏洞，而且可以從反例中得到修補的啟示，進而獲得正確的解答途徑。

例：求關于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0兩實根平方和的最大值。

設原方程有兩實根x1，x2，由韋達定理得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-（k+5）2+19，可知當k=-5，兩根平方和有最大值19，初看起來，運算沒有錯誤，而且學生會認為韋達定理運用得非常正確。而事實上學生在應用的時候忽略了韋達定理運用的前提是保證方程有實數根。這時候就可以讓學生通過列舉反例：當k=-5時，判別Δ=-11<0，原方程沒有根。

這一反例說明了原解法是錯誤的，造成失誤的原因是忽略了兩根必須是實根的條件，因此也就給出了正確的解法應該是Δ=[-（k-2）]2-4（k2+3k+5）=-（k+4）（3k+4）≥0，解得-4≤k≤- 時，原方程有實根。由x12+x22=-（k+5）2+19，可知當k≤-4時，兩實根平方和有最大值是18。

通過這樣的反例使學生發現了自己錯誤的解法，而且加強了對韋達定理的認識和理解。

四、反例具有對學生創造性思維的培養功能

美國哲學家士·拉卡托斯指出：“整個數學理論體系本身就是通過理論不斷批判和反駁而生長，通過理論的更新和競爭而取得進展的。”要對錯誤的理論進行批判和反駁，反例則是強大的武器，然而批判和反駁是一種創造。因此，構造反例的過程就是一種創造過程，在教學中長期訓練構造反例的能力，對培養學生的創造性思維能力是大有裨益的。

例如：“兩邊和其中一邊的對角相等的兩個三角形全等”這個命題為假命題，要推翻它，就必須構造反例。

構造圖形的過程就是動腦、動手、動眼的創造性過程。打破學生對全等三角形的正面認識，激發學生對非全等三角形模型的建構行為，無疑對培養學生的創造性思維有重要的作用。

尋求反例是從命題對應的角度去考慮問題，逆向思維具有求導性、廣闊性、嚴密性等思維特征，當習慣于正向思維時，思維方向的改變能突破固有思維模式，開拓新的探索途徑，這正是教學中必須重視運用反例的主要原因。

五、實施反例教學要注意的問題

（一）注意反例教學的引入

根據學生年齡、生理及心理特征，以及所學知識結構的不完整性，有時還不具備獨立系統地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會不夠全面，在教學過程中要注意反例教學引入的合理性和可行性。

（二）注意反例教學的構建

教師在進行教學時，不但要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例，這實際上是為學生創設了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構建不是唯一的，這就需要學生對所學知識有深刻、透徹的理解，并調動他們全部的數學功底，充分展開想象，因此，構建反例的過程也是學生思維發揮和訓練過程。

六、總結

總而言之，反例教學是初中數學教學的重要教學形式，其簡明、直觀、說服力強的優勢更容易被中學生接受。因此，教師應積極、恰當地把反例教學運用于課堂教學之中，提高學生的思維能力，深化學生對知識的理解，從而讓我們的初中數學課堂在對比、鑒別中別開生面。