高中數學概念非形式化教學思路

劉麗娟

（伊金霍洛旗高級中學，內蒙古 伊金霍洛旗 017200）

數學的主要特點是形式化，通過一套表意符號體系對數學對象結構和規律進行表達，進一步對符號開展深刻研究。非形式教學具體憑借特殊的數學符號對自然語言有效擴充，是對自然語言符號有效依附的產物，一定程度豐富了自然語言。

一、高中數學概念非形式化特征

這里所指的非形式與傳統教學內容或方式不同，淡化內容處理的數學形式。隨著我國逐步推進改革開放工作，以及社會經濟的迅速發展，在課堂中出現了一部分現代的、應用性較強的內容，比如概率、統計、離散數學等。它們的統一特征是：突出對實質特點的理解，無需對形式表達提出較高的要求；關注應用，尤其是緊密聯系日常生活中的應用；強調實際操作，憑借這項操作培養學習興趣。

概率知識的出現，帶出了一部分計算公式，比如互斥事件的概率公式P（A+B）=P（A）+（B），同時彼此獨立事件的概率計算公式P（A?B）=P（A）?P（B）。高中時期的數學更重視應用公式，絕不僅是證明和推理理論的形式化。二項式定理的理論形式化證明正在逐步弱化，教學的關鍵在于理解和應用定理及其實際意義。比如探究式二項式定理的教學，教學過程如下：

教師：數學家費馬大家都不陌生吧，他創造了解析幾何。在數學領域費馬的貢獻遠不如此，他基本涉足了數學的任何領域，與他同一時期的著名物理學家，也是朋友的帕斯卡，費馬層嘗試引導帕斯卡關注數論，如此他們能共同研究，但是帕斯卡并不在意數學，也沒有研究興趣，費馬只能獨自作戰。但他們形成共同的興趣，并一起研究。我們來看一看他們對什么問題產生了興趣？

教師在多媒體上演示這部分內容：丟擲幾次銅板或一粒骰子，我們有多大機會得到期望的結果？可不可以計算出來？對這個問題可通過概率知識有效解決，帕斯卡與費馬開展最簡單的研究：擲銅板的游戲，銅板包括頭與花2個面，T代表花，H代表頭。

1次擲1個銅板可能出現的情況：T，H

2次擲1個銅板可能出現的情況：TT，TH，HT，HH

3次擲1個銅板可能出現的情況：TTT，THT，HTT，TTH，THH，HTH，HHT，HHH

我們基本不會注意到頭與花在游戲中出現的順序，而是對出現次數給予高度關注。因此初步認為TH與HT是相同的，其中相同的還有THT與HTT，此時對游戲結果分析：

擲1次：T H

擲2次：T2 2TH H2

擲3次：T2 3T2H 3TH2 H3

擲4次：T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

...

同學們要不要也做一回小數學家，你發現的結果若也是如此，該如何聯想？

經過詳細的討論，結果與展開楊輝三角與（a+b）n的系數有關。

當n=0時，有（a+b）0=1

當n=1時，有（a+b）1=a+b

當n=2時，有（a+b）2=a2+2ab+b2

當n=3時，有（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2

...

實際上基于歷史角度分析數學的發展，發現數學某一定理或結論時，數學家必經歷非形式化的思維，包含一部分猜想、推測、直覺、形式化證明等過程，并獲得不斷的完善。處理數學中一些形式化的概念時，應科學設計，進一步訓練數學思維。

二、高中數學概念非形式化教學思路設計

（一）利用不同表達，體現轉化關系

數學中函數概念非常重要，并向數學各個分支滲透。隨著數學的發展，函數概念的表述也出現不同：變量說、對應說和關系說。初中階段函數的概念，重點依賴變量關系，變量說強調了函數思想的精華，形象且自然，理解相對容易。但變量說存在顯著不足，它無法深刻詮釋對應關系。函數概念在高中時期有效轉化為對應說，抽象性更強，準確抓住了函數的根本屬性，在兩個集合間函數闡述了這些元素的對應關系。對應說的抽象性，引出更抽象的算子。在深入研究對應說時也出現不足。函數的關系說抽象性最強，普通學生接受困難，卻對函數概念的本質進行了深化。中學時期開展函數教學，如一度突出形式化教學，學生容易產生畏難的心理。所以在不斷深化函數的變量說時，將函數作為數學模型，通過大量例子詮釋變量的依賴關系；另外，還彰顯集合的對應說，從而對函數精確表示。

（二）通過引入概念，展示建構過程

非形式化概念準確呈現了學生構建認知的過程，因此產生兩種不同的形式，即概念形成與概念同化，基于認知結構對新概念實施控制。事實上，學生本身的認知結構對感知與理解一般事物造成不同程度的影響，在現有認知結構中不僅可以同化新概念，還可以對其有效接納。學生在掌握數學概念的同時有效了解認知結構的構建過程，學生難以憑借形式化理解概念，必須產生一個非形式化的流程。

在立體幾何中最基本的概念即平面的垂線的概念，通過定義向學生傳授垂線概念，難以幫助學生建立空間概念。實際上，我們在日常生活中到處都可以發現這個立體幾何模型。比如電線桿，可幫助學生初步形成直線與平面垂直的概念，之后利用模型引導學生發現直線和平面上任何直線都垂直的屬性。基于日常生活實例，通過模型展示形成模型的過程，對概念特征有效深化。

（三）重視自給概念定義

在具體教學中，我們應結合數學學習特點，抽象數學語言和符號使用之前，憑借可觀察的、描述性的、可親自體驗的形式對新概念進行傳播，引導他們親自體驗與構造，并學會利用自己的語言進行解釋，從而徹底的理解知識。數學教學過程體現出探索特點，應盡可能防止其出現明顯的抽象性，幫助學生扎實掌握數學概念，嘗試利用自己的語言準確理解概念。

三、結束語

數學是系統化的常識，需要經過一系列提煉與組織成為數學，進一步產生一定法則，這部分常識在更高層次中又發展為新的常識，這樣持續螺旋提升，以至無窮。因此，在教學中我們必須理解非形式化應用的巨大意義，并發揮了無法取代的優勢，幫助學生憑借自身努力找出概念存在的本質。