例談小學數學概念的抽象及其本質特征

馬喜平

（河北省唐縣都亭鄉北都亭小學，河北 唐縣 072350）

數學概念是數學理論體系的基礎，從20世紀40年代起，概念理解逐漸成為教育心理學的一個主要研究課題，然而因為受到“回歸基礎”運動的影響，在20世紀80年代中期典型的小學數學課堂里，有85%以上的時間花在練習運算程序上，只有不到15%的時間用于發展概念的理解。到了20世紀90年代后期，概念理解才又重新成為數學課堂的焦點。盡管如此，在我國當前的小學課堂教學中，重定義輕理解的現象仍然普遍存在。這也可以從教師們在教學時產生的困惑中窺見一斑，如一位教師在“比的意義”課后反思中談到：“一節課下來，做后測時問學生，什么是比？學生也能對答如流：兩個數相除又叫做兩個數的比。過幾天再測，學生回答起來就有些茫然，追問原因，學生的回答是沒背下來，忘了。捫心自問，小學的概念教學只是讓學生把概念背下來就算學會了嗎？教師上課時也設計了一些貼近生活的情境，為什么經過幾天的擱置，學生對概念的理解就會淡忘甚至遺忘呢？”相信這位教師的困惑也是很多一線教師的困惑，那么數學概念本身有哪些特點？學生對數學概念有著怎樣的學習與認識過程？教師如何幫助學生理解與鞏固數學概念？本文擬以“比的意義”一課為例，對這些問題進行一些梳理和探討。

一、數學概念的形成是一個抽象的過程

從數學本身的發展來看，數學概念的來源一般認為有兩個方面：一是直接從客觀事物的數量關系和空間形式反映而得；二是在抽象的數學理論基礎上經過多級抽象所獲。所以說，數學概念既有它的抽象性，也有它的具體內容。例如“比的意義”這部分內容，2001年版課標下的各個版本教材盡管在處理方式上有所不同，但都是通過設計豐富的情境，如國旗的長與寬的關系、路程與時間的關系等情境，在引導學生充分感知和體會的基礎上，再抽象出“兩個數相除又叫做兩個數的比”或“兩個數的比表示兩個數相除”。不管采用什么樣的情境，一般來說，大陸版教材都將比的含義劃分為兩層：一是比例（刻畫同類兩個量之間的關系，如按比例分配、溶液的濃度等）；二是比率（刻畫異類兩個量之間的關系，如路程與時間、總價與數量之間的關系）。臺灣版教材中用“對等關系”來刻畫“比”，并將這種對等關系更加細致地劃分為四種類型：

（1）組合：一組親子游戲中三個小孩，需要兩個大人來協助；（2）母子：一打襯衫有12件，其中4件是藍色的；（3）交換：小華拿了135本雜志到圖書館換了9本小說；（4）密度：30立方厘米的水重30克。傳統教材中的“概念” （確切地說是“定義”）多是以“黑體字”的形式呈現，凡是“黑體字”就是教師授課時要再三強調的，也是需要學生必須記住的，新課改后的教材取消了“黑體字”，而代之以多樣化的情境抽象出“概念”的過程，是符合數學概念的發展順序，更加符合兒童概念學習和理解的認知規律的。正如杜威指出的：只有當他具備了和意義有實際聯系的某些情境的經驗，他才能掌握這些符號的意義。如果僅以文字來推演意義，而與事物沒有關聯，文字就會失去可理解的含義。因此，呈現多種現實情境，對幫助學生全面而深刻地理解“比的意義”是大有裨益的，這也是不同版本教材均呈現多樣化情境的目的所在。

二、“概念”需揭示事物的本質特征

對課堂上學生的表現教師深感困惑：為什么學生會對比與除法之間如此明顯的關系“視而不見”？我們對前述教師課堂上學生的反應進行一個回放。

情境1：第一次試講。教師引導學生列出幾種數量關系之間的除法算式。

（1）一面長60厘米、寬40厘米的國旗，長與寬之間的關系怎么表示？長是寬的幾倍：60除以40， 也可以寫成60比40。（2）一列火車2小時行駛了500千米，速度是多少？500除以2，也可以寫成500比2。路程除以時間=速度。（3）買4斤蘋果花了20元，蘋果的單價是多少？20除以4，也可以寫成20比4。總價除以數量=單價。在作了這些鋪墊后詢問學生：“什么是比？”本以為學生會很順利地回答出“比”的定義，卻發現沒有一個學生能夠回答這個問題，于是教師直接給出“兩個數相除又叫做兩個數的比”這一定義。課后教師在反思時談到，學生之所以回答不上來，是因為自己沒有反復強調和勾連“除法”與“比”之間的關系。于是在第二次試講時，教師將重點放在了聯系二者的關系上。

那么比到底是什么？作為數學名詞，目前看到的有如下三種不同的解釋：（1）比是表示兩個量倍數關系的記錄（1999年版《辭海》）；（2）比是表示兩個數相除關系的記錄（大陸小學數學教材）；（3）比是表示兩個量對等關系的記錄（臺灣小學數學教材）。王永老師指出：比源于度量，比能夠解決物體不可度量的屬性的可比性，這才是比的本質。