既要學好知識 更要把握關聯

◎浦敘德（特級教師）

初中數學中代數的學習內容呈現“布點”式螺旋上升的特征。所謂“布點”式螺旋上升，就是把初中要學習的內容按照由易到難的規律先后呈現，布下一個一個知識板塊的“點”，然后在每個“點”上逐步深入。回顧一下進入初中以后我們學習的代數內容，分別是“第2章有理數”“第3章代數式”“第4章一元一次方程”和“第8章冪的運算”，如果將它們進行歸類，第2章屬于“數”，第3、8章屬于“式”，第4章屬于“方程”，那么即將學習的“第9章整式乘法與因式分解”顯然也屬于“式”的范疇。

本章內容可以分成三個塊面，一是9.1、9.2、9.3構成整式乘法，二是9.4乘法公式，三是9.5因式分解。學好本章內容，我們不僅需要具體的知識作支撐，更需要有大局觀念，明白各塊面內容之間的關聯，這也是今后學習數學從“優秀”到“卓越”的關鍵。本章中，第一塊面與第二塊面知識之間構成了“一般與特殊”的關系；第一、二塊面與第三塊面知識之間構成“互逆”的關系。下面就此展開說明。

一、如何全面認識“整式乘法”

我們先回顧一下七年級第2章有理數的“數”是怎么研究的。首先我們認識了負數，完成了初中代數的第一次飛躍，由此把正數、零、負數歸為有理數，接著研究了有理數中相反數、絕對值和數軸等相關概念，進而就進入學習有理數的加減乘除乘方運算。由此可見，研究數的主要目的就是要進行數的運算。

用字母表示數，完成了初中代數的第二次飛躍，從特殊走向一般，把“數”的研究開始轉向“式”的研究。代數式有許多種類型，而包含單項式與多項式的整式是其中最特殊、最簡單的一類。認識了整式及相關概念后，式也將進入學習正題，就是學習代數式中整式的運算，包括整式的加減乘除乘方。那么，整式的加減運算在哪里學的呢？在第3章代數式中，我們曾經學過同類項概念與合并同類項法則，中間有這樣一句結論：整式的加減就是合并同類項。由此可以看出，整式的加減在第3章代數式中已經學過，那么，接下去當然就要學習“整式乘法”。我們通過“數”的研究思路和方法，運用類比與對比，很容易就理清了“式”中“整式”研究的脈絡與方法。

整式包括單項式與多項式，其進行乘法運算，從簡單到復雜，從特殊到一般，就包括“單項式乘單項式”“單項式乘多項式”“多項式乘多項式”三類。其中單項式乘單項式是最簡單、最特殊的情形，也是整式乘法運算的奠基工程。式的運算跟數的運算一樣，同樣需要借助法則，不同的是，有理數的運算其結果需要考慮“符號”與“絕對值”兩個方面，而整式的運算其結果需要考慮“符號”“系數”“字母”與“指數”四個方面，相對來說開始變得復雜，這需要同學們養成細心耐心、思考周密的習慣。一旦把單項式乘單項式學扎實了，后面的單項式乘多項式、多項式乘多項式就簡單了，用一句話來表達就是：把“多項式乘多項式”通過運算法則轉化為“單項式乘多項式”，再通過運算法則轉化為“單項式乘單項式”。

二、如何辯證認識“乘法公式”

乘法公式屬于多項式乘多項式的特殊情形，乘法公式與多項式乘多項式構成了特殊與一般的關系。根據特殊情形從屬于一般情形的關系，就算你不學乘法公式，就利用多項式乘多項式的法則，同樣可以計算出最后的結果。那為什么還要學習乘法公式呢？這是由數學學科特點決定的。因為數學的本質追求的是“最簡、最優、最美”，本來兩項的多項式乘兩項的多項式，結果應該有四項，但我們發現，當兩個兩項的多項式有一定規律的時候，其結果就變成了只有兩項或三項。利用公式可以直接得到簡單的結果，學習乘法公式就顯得非常必要和重要。

對于平方差公式與完全平方公式，我們需要從三個層面來理解并掌握。一是要知道兩個乘法公式不僅可以用代數的方法直接利用多項式乘多項式法則得到，還可以通過構造幾何圖形，利用面積的不同計算方法進行驗證，分別從代數與幾何兩個視角看公式的得出過程，大大豐富我們對新知生長路徑的認識。二是要知道兩個公式的特征，在不同情形下能夠快速地識別是否可用公式，用哪個公式，對公式中的a、b也要認識全面。a與b不僅可以是單項式，也可以是多項式，說明公式不僅具有一般性，而且具有廣泛的應用性。三是要知道公式的特征。既然是公式，它就是一個等式，所以，不僅要掌握乘法公式的正向運用，還要熟練掌握其逆向運用。事實上，兩個公式逆向使用，就是本章第三塊面知識：多項式的因式分解。

三、如何宏觀認識“因式分解”

我們首先需要明確的是，前面的整式乘法與乘法公式兩個塊面都是屬于式的運算，但因式分解這個塊面不屬于運算，屬于式的恒等變形。其次，因式分解的對象是多項式，所以，研究因式分解的前提條件是針對一個多項式而言。既然因式分解不屬于運算，那么，在此學習是為什么呢？這是基于兩個原因。其一，前面已經談到，初中代數的呈現是布點式螺旋上升，后面即將學習新知識的過程中很快需要用到多項式因式分解這個“式的變形”，所以在這里先布點。其二，多項式的因式分解與整式乘法中單項式乘多項式、多項式乘多項式的過程正好互逆。部分同學學習了整式乘法后再學習因式分解，會產生迷茫和混淆，上面的分析其實已經非常明確地告訴大家如何區分兩者：整式乘法是式的乘法運算，結果是單項式或多項式，而因式分解是式的恒等變形，結果是幾個整式的積。

多項式的因式分解方法共有提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法四種。單項式乘多項式的法則可以用符號語言a（b+c+d）=ab+ac+ad來表示，反過來，ab+ac+ad=a（b+c+d）就變成因式分解的提取公因式法的符號語言；整式乘法之乘法公式用符號語言（a±b）2=a2±2ab+b2、（a+b）（a-b）=a2-b2來表示，反過來，a2±2ab+b2=（a±b）2、a2-b2=（a+b）（a-b）就變成因式分解的運用公式法的符號語言；同樣，多項式乘多項式的（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，反過來就變成因式分解的分組分解法；而多項式乘多項式的（x+a）·（x+b）=x2+（a+b）x+ab，反過來就變成因式分解的十字相乘法。

綜上我們可以看出，隨著“數的運算”轉換到“式的運算”，不僅過程和結果變得比較復雜，而且各個數學知識之間的關系也開始變得縱橫交錯，這就要求我們把學好數學知識放在第一位，在此基礎上，還要理清各個知識塊面之間的相互關聯，只有這樣，你的學習才能做到知其然，還知其所以然，也只有這樣，你的數學學習才會從優秀走向卓越。