聚焦系統抽樣與分層抽樣

■周瑜芽

統計中的抽樣方法主要有簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣，而系統抽樣與分層抽樣是各級各類考試中最常考的抽樣方法。解答相關問題的關鍵是準確理解系統抽樣與分層抽樣的含義，弄清它們之間的區別與聯系，靈活選擇恰當的抽樣方法抽取樣本。這類題一般難度都不大，但我們仍應多加重視，以免造成失分。

1.系統抽樣的概念與性質問題

在系統抽樣中，對總體中的個體進行編號是隨機的，同時在第一段中確定的起始的個體編號也是用簡單隨機抽樣的方法確定的，當總體中的個體數不能被樣本容量整除時，也是用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除若干個體的，整體過程都具有隨機性。

例1每年的9月20日為“全國愛牙日”。為了了解學生牙齒的健康狀況，某高中采用系統抽樣的方法，從該校高二年級全體900名學生中抽取50名學生做牙齒健康檢查。現將900名學生從1到900進行編號，在1～18中隨機抽取一個數，如果抽到的是8，則從91～108這18個數中應抽取的數是（ ）。

A．96 B．97

C．98 D．99

解：系統抽樣的特征之一是等距抽樣，即抽取的樣本的編號之間的距離是相等的。依題意得分段間隔，由系統抽樣的定義知，第k組抽取的號數為nk=8+18（k—1）=18k—10，k∈N*，顯然當k=6時，n6=98。故選C。

解決此類問題通常需要以下兩步：第一步，分組的方法應依據抽取比例而定，即根據定義每組抽取一個樣本；第二步，起始編號的確定應使用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定。

2.分層抽樣的概念與性質問題

使用分層抽樣的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區別，而層內個體間差異較小，每層中所抽取的個體數可按各層個體數在總體中所占的比例抽取。分層抽樣時要求對總體的內容有一定了解，明確分層的界限和數目，只要分層恰當，一般來說抽樣結果比簡單隨機抽樣更能反映總體情況。

例2某地區有高中生12000人，初中生10000人，小學生13000人，某調研機構為了了解學生的學習成績與網絡課程學習方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取1%的學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（ ）。

A．抽簽法

B．隨機數法

C．系統抽樣法

D．分層抽樣法

解：因為抽取樣本的目的與各學段的學生有關，所以從全體學生中抽取1%應使用分層抽樣法，按各學段學生所占的比例抽取。故選D。

本題抽取樣本的目的符合分層抽樣的概念與性質，將總體分成幾層，按各層個體數在總體中所占的比例抽取，抽取的樣本有較強的代表性。

3.系統抽樣的基本計算問題

系統抽樣抽取多少個個體就需要將總體均分成多少段，不要把分段間隔與分組組數混淆。根據容量的大小來確定分段間隔或根據分段間隔來確定容量的大小是比較常見的問題。

例3某校為了了解1500名學生對高考英語改革方案的意見，打算從中抽取一個容量為50的樣本，考慮用系統抽樣方法，則分段間隔k為（ ）。

A．75 B．30

C．20 D．15

解：根據各選項中分段間隔k的不同取值，分析討論每段中應抽取的人數。若分段間隔為75，則分成20段，每段抽取人；若分段間隔為30，則分成50段，每段抽取1人；若分段間隔為20，則分成75段，每段抽取人；若分段間隔為15，則分成100段，每段抽取人。顯然只有分段間隔為30時滿足題意，故選B。或者，由1500÷50=30，可知選B。

根據選項中不同的分段間隔結合實際問題加以分析也是比較常用的解題方法。還可以利用對應的公式加以判斷，即當（N是總 體個 數，n是樣本容量）是整數時，取分段間隔為k=當不是整數時，取分段間隔為k=（取整數部分）。

4.分層抽樣的基本計算問題

進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下技巧：總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比，或者樣本容量n:總體個數N=某層抽取的個數:該層的個體數。

例4用分層抽樣的方法在一個企業中抽取一個樣本容量為50的樣本，其中管理營銷部門抽取了15人，技術部門抽取了10人，其余在生產工人中抽取。已知該企業有生產工人375人，那么這個企業共有職工____人。

解：先根據條件算出在生產工人中抽取的樣本個數，再根據分層抽樣的特征，即生產工人與企業總職工的比和從生產工人中抽取的樣本數與樣本容量的比相等，可得抽取的樣本中的生產工人有50—15—10=25（人）。那么這個企業共有職工人數為750，即這個企業共有職工750人。

解答與分層抽樣有關的計算題的切入點是每個個體都是等可能入樣，因此利用分層抽樣時一定要注意按比例抽取，樣本容量與總體個數的比值是分層抽樣的比例常數，按照這個比例可以確定各層應抽取的個體數、各層原有的個體數等。

5.創新綜合應用問題

系統抽樣與分層抽樣也是創新綜合應用問題的一大陣地，這類問題通常根據系統抽樣與分層抽樣自身的概念與特點，巧妙地把相關知識加以融合，達到問題的創新與知識的綜合的目的。

例5經問卷調查，某班學生對攝影分別執喜歡、不喜歡和一般三種態度，其中執一般態度的比執不喜歡態度的多12人。用分層抽樣的方法從全班選出部分學生座談攝影，如果選出的同學有6位執喜歡態度、1位執不喜歡態度和3位執一般態度，那么全班學生中喜歡攝影的比全班人數的一半還多____人。

解：根據題目條件可知，3位執一般態度對應1位執不喜歡態度，即執一般態度的人數是執不喜歡態度的人數的3倍，而他們的差為12人，故執一般態度的有18人，執不喜歡態度的有6人。又因為執喜歡態度的人數是執不喜歡態度的人數的6倍，可得執喜歡態度的有36人，所以全班共有18+6+36=60（人）。那么所求結果為6（人）。

正確分析與厘清題目條件是解決此類創新綜合應用問題的關鍵。同時，還要根據分層抽樣中各層之間的比例關系，結合具體的實際應用問題來確定相應各層之間的比例與數字關系，進而加以具體的分析與處理。