初中數學解題中分類討論思想的應用

江蘇省徐州市沛縣楊屯中學 徐正友

分類討論思想是一種十分關鍵的教學思想，更是一種核心的解題策略，其不僅體現了集零為整、化整為零的思想及整理分類的方法，并且體現了數學對象間的規律，可推動學生正確、快速地找出解題線索，有助于學生解題能力的增強及思維能力的發展。由此可見，深入研究在初中數學解題中如何應用分類討論思想的策略，具有重大的積極意義。

一、分類討論思想在解答應用題題目中的應用策略

例題：某家具廠的主要產品是桌子與椅子，其中桌子的定價是每張200 元，椅子的定價是每把40 元。為了提升銷售額，廠家設計了兩套促銷方案：①購一張桌子贈一把椅子；②桌子及椅子都根據90%定價付款。但不能同時參與兩種促銷方案。假如一個家具店想采購桌子20 張、椅子若干把，請幫其設計一個最劃算的采購方案。

分析：因為題目中未給出家具店具體的采購椅子數，所以在設計方案的時候需要分類討論。

解題：假設家具店需要采購x把椅子，那么可設計的方案如下，方案一：20×200+20×（x-20）=40x+3200；方案二：90%×（20×200+40x）=36x+3600。假如y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400，那么當0 ＜y的情況下，0 ＜4x-400，求得100 ＜x。從這里可以看出，設計的兩種采購方案中，方案二更合適。假如y=0，4x-400=0，x=100，那么兩種方案都可采用。假如0 ＞y，0＞4x-400，可求得100 ＞x＞20，此時方案一更劃算。由上面分類解題思路可知，假如家具店要采購的椅子數量超過20 把，但少于100 把的時候，方案一更劃算；如果采購椅子的數量為100 把的時候，兩種方案均可以；如果采購椅子的數量超過100 把的時候，方案二更劃算一些。

二、分類討論思想在解答圓類題目中的應用策略

例題：已知兩圓的半徑分別是4 和6，求解兩圓相切時圓心距為多少。

分析：從題目中得知兩圓的位置關系為相切，如果兩圓外切，圓心距為10；如果兩圓是內切關系，那么圓心距即為2。因此，兩圓的圓心距是10 或2。

解題：圓的位置關系是初中數學教材中的重點內容，也是常見的解題類型。由于題目中沒有明確說明半徑是4 和6 的兩圓具體為內切關系還是外切關系，因此學生在解題中就應運用分類討論的方式分析各種條件下的解題結果，只有這樣，才能提高解題的全面性與準確性。這就需要教師在解題中指導學生假設兩圓為內切，計算出圓心距為6-4=2，假如兩圓是外切，圓心距為6+4=10，從而借助分類討論思想顯著提高學生的解題速度與解題正確率。

三、分類討論思想在解答函數類題目中的應用策略

例題：與x有關的函數y=ax2+x+1（其中，a是常數），假如函數圖像和x軸存在一個交點，計算常數a為多少？

分析：如果該函數是一次函數，a=0，可計算出其和x軸的交點是（-1，0）；如果此函數是二次函數，a不為0，可計算出a應為0.25，且和x軸的交點為（-2，0）。

解題：在解答上述類型題目的時候，初中數學教師應引導學生把握該題目的考點是結合二次函數與一次函數的變化來確定存在的題型，需要應用分類討論思想解題。因為函數中存在變量a，也就是說a可能為任意數，所以學生在解題時應分類討論a的取值。換句話說，教師應引導初中生就a=0 與a≠0 的情況進行分類討論。在此基礎上，教師應指導學生就a的取值進行分析，接著進一步引導學生變換函數。具體來講，如果a=0，y=ax2+x+1 即為一次函數；如果a≠0，y=ax2+x+1 就是二次函數。由此可見，把分類討論思想應用到函數題目的解答中，不僅可大幅簡化解題內容，而且還可推動學生快速掌握二次函數與一次函數的不同點，從而在腦海中形成一個清晰的解題模式，最終快速而正確地解答出題目。

四、分類討論思想在解答不等式題目中的應用策略

例題：求解h2-1 ＜（h-1）x。

分析：如果初中生在解題中不對h的取值加以分類討論，那么計算出的結果就是h+1 ＜x，為錯誤結果。究其原因，是因為h-1 不僅可等于0，而且可大于0。不同的分類條件下，計算出的結果也有較大的差異性。

解析：如果0 ＜h-1，也就是1 ＜h的時候，那么h+1 ＜x。假如0=h-1，可計算出h=0，此時不等式無解。假如0 ＞h-1，也就是1 ＞h，可以計算出h+1 ＞x。從上面的論述可以看出，如果1 ＜h，h+1 ＞1；如果h=1，不等式無解；如果1 ＞h，h+1 ＞x。由此可見，初中生在解不等式題目的時候，需要把分類討論思想普遍應用其中的原因如下：①不等式具有很強的不確定性，導致學生無法一步解題。②不等式中存在很多變量。所以，在解不等式題目的時候，初中數學教師應指導學生充分利用分類討論的解題思路，以便使得學生順利找出各種條件下題目對應的結果，還可推動學生更快、更準地解題，從而大幅降低解題難度及解題錯誤率，最終顯著提高初中生的不等式題目解題能力。

總之，把分類討論思想恰當應用到初中數學解題中，是提高學生思維能力的有效形式，也是提升學生解題水平的關鍵措施。因此，教師在日常教學中應結合具體教學內容恰當地把分類討論思想引入應用題、方程、函數、圓等題目的解答中，以幫助學生更加全面與正確地解題，從而推動學生解題能力及思維能力的快速發展，最終顯著優化初中數學解題教學效果。