從藝術(shù)到數(shù)學(xué)
——對(duì)稱的魅力

文王菲菲 王 芳

【題記】對(duì)稱是一種思想，人們畢生追求，并創(chuàng)造次序、美麗和完善。

——赫爾曼·外爾

在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)中，對(duì)稱意味著某種變換下的不變性，即“組元的構(gòu)形在其自同構(gòu)變換群作用下所具有的不變性”，通常的形式有鏡像對(duì)稱（或者叫左右對(duì)稱、側(cè)對(duì)稱）、平移對(duì)稱、轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱和伸縮對(duì)稱等。

人們?cè)趧?chuàng)作藝術(shù)作品時(shí)通常會(huì)從對(duì)稱角度考慮。對(duì)稱性蘊(yùn)含在許多事例中，它從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的表現(xiàn)形式，是大自然形式的基礎(chǔ)。初步掌握對(duì)稱的奧妙，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的本質(zhì)特征，還可以使我們感受到自然界的和諧之美。赫爾曼·外爾在《對(duì)稱》一書(shū)中，從藝術(shù)品中的對(duì)稱性出發(fā)，介紹了雙側(cè)對(duì)稱性、平移對(duì)稱性、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性、裝飾對(duì)稱性、晶體對(duì)稱性等幾何概念，逐步深入，最后上升到作為所有這些特殊形式基礎(chǔ)的普遍的抽象數(shù)學(xué)思想。

不過(guò)，有的人卻認(rèn)為重復(fù)的圖案會(huì)顯得單調(diào)無(wú)趣。英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯是一位大膽而充滿豪情的學(xué)者，他對(duì)單一的圖形和重復(fù)不那么感興趣，而對(duì)無(wú)窮的變化興趣盎然。他想要的是能以永不重復(fù)的方式鋪滿無(wú)窮平面，也就是說(shuō)用若干圖形拼合在一起，永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的圖案。

彭羅斯貼磚最有名的一套稱為“風(fēng)箏”與“飛鏢”（圖1）。兩者都能干凈利落地由對(duì)稱軸一分為二，它們的表面繪有兩條簡(jiǎn)單、對(duì)稱的弧線。彭羅斯制定了一條平鋪規(guī)則：“合法”的拼貼必須能使弧線對(duì)接，連成連續(xù)的曲線。在這條規(guī)則之下，圖案永遠(yuǎn)都不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)。風(fēng)箏和飛鏢，永恒地舞動(dòng)在五條對(duì)稱軸周圍，組合出滿天星、十邊形，蜿蜒的長(zhǎng)線則繪成蝴蝶與花朵的形狀。形態(tài)似是而非，蘊(yùn)藏?zé)o窮變化。這樣利用對(duì)稱圖形構(gòu)造出來(lái)的圖案向人們展示了不同尋常的和諧美。