區間估計和假設檢驗的特點及應用

李帥

(河南師范大學，河南 新鄉 453000)

1 區間估計和假設檢驗的特點

1.1 區間估計

區間估計是數理統計中的重要的一部分，深刻地掌握和靈活地運用區間估計的思想方法對于解決實際問題起著舉足輕重的作用。區間估計是以一定的誤差和概率對總體參數進行估計的方法。本文著重研究區間估計對總體均值的估計。

當樣本容量較大時，由中心極限定理得，樣本均值經過標準化后服從標準正態分布，當總體標準差σ已知時，可以使用總體標準差；當標準差σ未知時，可以使用樣本標準差s來代替，由此可以構建一個正態分布總體均值在置信水平1-α下的置信區間。

例 設y1,y2,y3,…,y9是來自N(μ,σ2)的樣本，則μ的置信水平為1-α的置信區間為

1.2 假設檢驗

接下來，我們對用于參數推斷估計的另一種方法假設檢驗進行研究。假設檢驗的思想方法和區間估計的思想方法有一些相似之處，兩者是相互貫通的，有著密切的聯系。假設檢驗根據假設的提出可以將其分為雙側檢驗，左側檢驗和右側檢驗：(1)雙側檢驗：H0：μ=μ0;H1：μ≠μ0;(2)左側檢驗：;(3)右側檢驗：。在進行假設檢驗時，通常情況下，人們可以根據統計量或P值進行決策，以下我們在總體服從正態分布的情況下，探討兩者的區別和聯系。

i)用統計量決策

ii)用P值決策

在利用統計量做決策時，如果給定顯著性水平α的大小，只需計算出樣本統計量值的值大小，觀察其是否落入拒絕域。這樣，無論樣本統計量的大小，只要其落入拒絕域，我們就拒絕原假設，導致我們無法知道犯錯誤的真實概率。而利用P值決策，我們通過計算樣本統計量的概率大小，從而掌握了決策犯錯誤的概率。

無論我們采用統計量決策還是P值決策，都有可能犯錯誤。可能犯的錯誤分為兩種，即第一類錯誤和第二類錯誤，概率大小分別為α和β。通常情況下，記，。在樣本量不變的情況下，要減少α必然導致β的增大，而減少β的大小必然導致α的增大。根據正態分布曲線的特點，當樣本的方差越小，數據分布越集中的特點得，增大樣本容量，可同時減小α和β。

2 區間估計和假設檢驗的實例探討

區間估計和假設檢驗在解決實際問題中有廣泛地用途，本文以下部分分別針對區間估計和假設檢驗的實際應用進行探討。

例 為研究某種汽車輪胎的磨損特性，隨機地選擇18只輪胎，每只輪胎行駛到磨壞為止，記錄所行駛的路程(以Km計)如下表：

表1 汽車輪胎的行駛里程數

假設這些數據來自正態總體N(μ,σ2)，其中μ，σ2未知，試求μ的置信水平為0.95的置信區間。

=(40455.12,41695.44)

例 一種機床加工的零件尺寸絕對平均誤差為1.35毫米。生產廠家現采用一種新的機床進行加工以期進一步降低誤差。為檢驗新機床加工的零件平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低，從某天生產的零件中隨機抽取50個進行檢驗。50個零件尺寸的絕對誤差數據見表2

表2 50個零件的絕對誤差(單位：mm)

利用這些樣本數據，檢驗新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低(α=0.01)。

解 由題意，我們需要檢驗的假設為：

H0：μ≥1.35;H1：μ<1.35

由此拒絕原假設。

3 總結

通過上述對區間估計和假設檢驗的分析和實際應用，我們可以體會到兩者之間存在一定的聯系。一般情況下，區間估計與假設檢驗可以相互轉換。置信區間與接受域對應，置信水平1-α與顯著性水平α對應。但兩者也有區別：區間估計是對給定的樣本，構造一個參數取值最合理的范圍(置信區間)；假設檢驗是給定參數值(原假設)，確定哪些樣本值(拒絕域)與參數值不一致。