區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的特點(diǎn)及應(yīng)用

李帥

(河南師范大學(xué)，河南 新鄉(xiāng) 453000)

1 區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的特點(diǎn)

1.1 區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要的一部分，深刻地掌握和靈活地運(yùn)用區(qū)間估計(jì)的思想方法對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題起著舉足輕重的作用。區(qū)間估計(jì)是以一定的誤差和概率對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法。本文著重研究區(qū)間估計(jì)對(duì)總體均值的估計(jì)。

當(dāng)樣本容量較大時(shí)，由中心極限定理得，樣本均值經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知時(shí)，可以使用總體標(biāo)準(zhǔn)差；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時(shí)，可以使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來(lái)代替，由此可以構(gòu)建一個(gè)正態(tài)分布總體均值在置信水平1-α下的置信區(qū)間。

例 設(shè)y1,y2,y3,…,y9是來(lái)自N(μ,σ2)的樣本，則μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間為

1.2 假設(shè)檢驗(yàn)

接下來(lái)，我們對(duì)用于參數(shù)推斷估計(jì)的另一種方法假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行研究。假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法和區(qū)間估計(jì)的思想方法有一些相似之處，兩者是相互貫通的，有著密切的聯(lián)系。假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)假設(shè)的提出可以將其分為雙側(cè)檢驗(yàn)，左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)：(1)雙側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ=μ0;H1：μ≠μ0;(2)左側(cè)檢驗(yàn)：;(3)右側(cè)檢驗(yàn)：。在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，通常情況下，人們可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)量或P值進(jìn)行決策，以下我們?cè)诳傮w服從正態(tài)分布的情況下，探討兩者的區(qū)別和聯(lián)系。

i)用統(tǒng)計(jì)量決策

ii)用P值決策

在利用統(tǒng)計(jì)量做決策時(shí)，如果給定顯著性水平α的大小，只需計(jì)算出樣本統(tǒng)計(jì)量值的值大小，觀察其是否落入拒絕域。這樣，無(wú)論樣本統(tǒng)計(jì)量的大小，只要其落入拒絕域，我們就拒絕原假設(shè)，導(dǎo)致我們無(wú)法知道犯錯(cuò)誤的真實(shí)概率。而利用P值決策，我們通過(guò)計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量的概率大小，從而掌握了決策犯錯(cuò)誤的概率。

無(wú)論我們采用統(tǒng)計(jì)量決策還是P值決策，都有可能犯錯(cuò)誤。可能犯的錯(cuò)誤分為兩種，即第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，概率大小分別為α和β。通常情況下，記，。在樣本量不變的情況下，要減少α必然導(dǎo)致β的增大，而減少β的大小必然導(dǎo)致α的增大。根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，當(dāng)樣本的方差越小，數(shù)據(jù)分布越集中的特點(diǎn)得，增大樣本容量，可同時(shí)減小α和β。

2 區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)例探討

區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛地用途，本文以下部分分別針對(duì)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行探討。

例 為研究某種汽車輪胎的磨損特性，隨機(jī)地選擇18只輪胎，每只輪胎行駛到磨壞為止，記錄所行駛的路程(以Km計(jì))如下表：

表1 汽車輪胎的行駛里程數(shù)

假設(shè)這些數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)，其中μ，σ2未知，試求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間。

=(40455.12,41695.44)

例 一種機(jī)床加工的零件尺寸絕對(duì)平均誤差為1.35毫米。生產(chǎn)廠家現(xiàn)采用一種新的機(jī)床進(jìn)行加工以期進(jìn)一步降低誤差。為檢驗(yàn)新機(jī)床加工的零件平均誤差與舊機(jī)床相比是否有顯著降低，從某天生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取50個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)。50個(gè)零件尺寸的絕對(duì)誤差數(shù)據(jù)見(jiàn)表2

表2 50個(gè)零件的絕對(duì)誤差(單位：mm)

利用這些樣本數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)新機(jī)床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機(jī)床相比是否有顯著降低(α=0.01)。

解 由題意，我們需要檢驗(yàn)的假設(shè)為：

H0：μ≥1.35;H1：μ<1.35

由此拒絕原假設(shè)。

3 總結(jié)

通過(guò)上述對(duì)區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的分析和實(shí)際應(yīng)用，我們可以體會(huì)到兩者之間存在一定的聯(lián)系。一般情況下，區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)可以相互轉(zhuǎn)換。置信區(qū)間與接受域?qū)?yīng)，置信水平1-α與顯著性水平α對(duì)應(yīng)。但兩者也有區(qū)別：區(qū)間估計(jì)是對(duì)給定的樣本，構(gòu)造一個(gè)參數(shù)取值最合理的范圍(置信區(qū)間)；假設(shè)檢驗(yàn)是給定參數(shù)值(原假設(shè))，確定哪些樣本值(拒絕域)與參數(shù)值不一致。