二維Hamilton系統教學的Maple輔助

江波

摘? ? 要：二維Hamilton系統是非線性微分方程教學的重要組成部分。嘗試用Maple軟件輔助二維Hamilton系統教學的過程，將抽象、深奧的教學內容直觀、感性地呈現給學生，以達到更好的教學效果。

關鍵詞： 二維Hamilton系統;Maple;微分方程定性理論

中圖分類號：O245;G642? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-7394（2019）04-0083-04

常微分方程作為大學數學專業的基礎課程之一，是理論聯系實際最為緊密的課程，也是后續課程的基礎[1-2]。 非線性微分方程理論是該課程的主要講授內容，而其中源自于經典力學的有限維的Hamilton理論則是非線性微分方程教學中的重點與難點。 該部分內容的教學因其抽象性強，使得學生難以理解和接受[3]。 Maple作為目前世界上最為通用的數學軟件之一，在教學與科研中得到了廣泛應用[4-5]。 利用Maple強大的圖形動畫功能輔助各類教學，已經有一些學者做出了探索[6-8]。

為了提高常微分課程中有關二維Hamilton理論的教學質量和效率，使學生能通過可視化的演示來直觀地理解其相關概念與結論，本文對如何在傳統的課堂教學中應用Maple軟件的編程畫圖功能輔助教學作一點初步的探討。

1? ? 預備知識

回顧二維Hamilton系統的相關概念及結論。

二維自治微分方程

定義了平面自治動力系統。

定義1? 若平面自治動力系統（1）可表示成

則稱（1）為二維Hamilton方程，其中二次可微函數[H（x1，x2）]稱為Hamilton函數。 在應用數學或力學中，也稱（1）為1個自由度的Hamilton系統（或平面Hamilton系統），[x1]和[x2]分別稱為廣義坐標和廣義動量，[（x1，x2）]稱為相平面，[H]稱為能量函數。

從有限維Hamilton系統到無窮維Hamilton系統的拓展主要基于（4）。

定義2? 若不恒為常數的可微函數[K（x）]對所有[x∈?n]，滿足[K（x）f（x）=0]，即對微分方程[x=f（x）]的任一解[x（t）]滿足[K（x（t））]為常數，則稱[K（x）]為微分方程[x=f（x）]的首次積分。

3? ? 結論

對于二維Hamilton系統中晦澀難懂的概念和定理，為了提高教學直觀性與生動性，激發學生學習的興趣和潛力，培養學生的探索能力和創新能力，我們在如何利用Maple輔助其教學上做了初步的探索。

參考文獻：

[1] 丁同仁，李承治. 常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[2] 王鴻葉.常微分方程及Maple應用[M].北京：科學出版社，2011.

[3] GUCKENHEIMER J， HOLMES P. Nonlinear Oscillations， Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields [M]. New York：Springer-Verlag， 1983.

[4] 張曉丹， 堵秀鳳， 李祥林，等. Maple 的圖形動畫技術[M].北京：北京航空航天大學出版社，2005.

[5] 馬春庭，高萍，吳開騰，等.掌握和精通Maple[M].北京：機械工業出版社，2000.

[6] 李靜， 騰興虎. Maple軟件在高等數學中的應用[J].大學數學，2014，30（S1）：95-97.

[7] 李姝敏. 數學軟件Maple在常微分方程教學中的應用[J].陰山學刊，2013，27（4）： 55-57.

[8] 孔祥強. Maple在高等數學教學中的應用探索[J].欽州學院學報，2016，31（1）： 54-57.

Abstract： Two dimensional Hamilton system is an important part of nonlinear differential equation teaching. This paper expounds the process of using Maple software to assist the teaching of two-dimensional Hamilton system， presenting the abstract and profound teaching content to the students intuitively and perceptually， which can achieve better teaching effect.

Key? words： two-dimensional Hamilton system; Maple software

責任編輯? ? 祁秀春