從近年高考題談機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的復(fù)習(xí)教學(xué)

張杰

[摘???要]“機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波”是高中物理比較難的知識，高考中考生的得分率較低。如何在有限的時(shí)間里，讓學(xué)生較好地掌握并熟練運(yùn)用相關(guān)知識分析解答“機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波”問題，值得廣大師生重視。文章結(jié)合高考試題進(jìn)行分析探討。

[關(guān)鍵詞]機(jī)械振動(dòng);機(jī)械波;復(fù)習(xí)教學(xué)

[中圖分類號]????G633.7????????[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0039-03

“機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波”是選修3-4模塊中的一個(gè)重要內(nèi)容，是力學(xué)完整體系中的一個(gè)有機(jī)組成部分，對將來選擇與物理有關(guān)的大學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波是應(yīng)該掌握的知識。機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波，是在時(shí)間上和空間上都表現(xiàn)出周期性的一種運(yùn)動(dòng)，因而對學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力的要求較高。這類題目具有較強(qiáng)的區(qū)分度，因此每年高考中都要考查。

我們不妨先看看2019年物理高考大綱對這部分知識的要求：

[主題 內(nèi)容 要求 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波 簡諧運(yùn)動(dòng) Ⅰ 簡諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖像 Ⅱ 單擺、周期公式 Ⅰ 受迫振動(dòng)和共振 Ⅰ 機(jī)械波、橫波和縱波 Ⅰ 橫波的圖像 Ⅱ 波速、波長和頻率（周期）的關(guān)系 Ⅰ 波的干涉和衍射現(xiàn)象 Ⅰ 多普勒效應(yīng) Ⅰ 實(shí)驗(yàn) 實(shí)驗(yàn)一：探究單擺的運(yùn)動(dòng)、用單擺測定重力加速度 ]

從上表可看出，振動(dòng)圖和波動(dòng)圖都是Ⅱ級要求。復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，重點(diǎn)抓圖像，難點(diǎn)在圖像。當(dāng)然波的干涉雖然是Ⅰ級要求，卻是難點(diǎn)。結(jié)合近五年全國卷對機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的考查，可以有的放矢地進(jìn)行復(fù)習(xí)備考。

一、緊扣課本，厘清基本概念

[例1]（2018年全國Ⅱ卷第34題）【物理?選修3-4】（1）聲波在空氣中的傳播速度為340?m/s，在鋼鐵中的傳播速度為4900?m/s。某同學(xué)用錘子敲擊一鐵橋的一端而發(fā)出聲音，經(jīng)空氣和橋傳到另一端的時(shí)間差為1.00?s，則橋長為_______m，若該波在空氣中的波長為λ，則它在鋼鐵中波長為_______。

【答案】?365??????[24517λ]

解析：設(shè)在鋼鐵中的傳播時(shí)間為[t1]，在空氣中的傳播時(shí)間為[t2]，橋長為s。則[s=340t2=4900t1]，而[t2-t1]=1?s

[t1≈0.073?s]，代入得[s≈365?m]

由λ=[vf]，頻率不變，可知[λ鋼λ?=4900340]，得[λ鋼=24517λ]

點(diǎn)評及復(fù)習(xí)要點(diǎn)：此題雖然是教材級別的基礎(chǔ)題，但卻蘊(yùn)含了機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波的基本概念。復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)重新梳理機(jī)械波的各物理量及相互關(guān)系。機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播形成機(jī)械波，因此機(jī)械波形成的條件有兩個(gè)，即機(jī)械振動(dòng)和介質(zhì)。介質(zhì)中的點(diǎn)是依次做受迫振動(dòng)，重復(fù)波源的振動(dòng)形式，所以波的頻率由波源決定，都等于波源的振動(dòng)頻率。而波傳播的快慢由介質(zhì)決定，正如例1所示，聲波在空氣中的傳播速度為340?m/s，在鋼鐵中的傳播速度為4900?m/s。同一波源發(fā)出的波，從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)，頻率不變，在不同介質(zhì)中的波速不同，造成波長不同，課本上就給出了0?℃時(shí)，空氣、水、銅、鐵、玻璃、松木、軟木、橡膠等介質(zhì)中的聲速。通過例1，進(jìn)一步認(rèn)識[v=λf]背后的含義。

[例2]（2018年全國Ⅲ卷第34題）（1）一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，在t?=?0和t?=?0.20?s時(shí)的波形分別如圖1中實(shí)線和虛線所示。已知該波的周期[T>0.20?s]，下列說法正確的是?（????）。

A.?波速為0.40?m/s

B.?波長為0.08?m

C.?x=0.08?m的質(zhì)點(diǎn)在t=0.70?s時(shí)位于波谷

D.?x=0.08?m的質(zhì)點(diǎn)在t=0.12?s時(shí)位于波谷

E.若此波傳入另一介質(zhì)中波速變?yōu)?.80?m/s，則它在該介質(zhì)中的波長為0.32?m

【答案】A?C?E

點(diǎn)評與復(fù)習(xí)要點(diǎn)：1.機(jī)械振動(dòng)時(shí)間上的周期性，向外傳播形成機(jī)械波就表現(xiàn)為空間上的周期性。因此，波的題目經(jīng)常有多解，但加上限制條件，比如例2的周期[T>0.20??s]，多解又變?yōu)橛邢藿狻?.由此時(shí)的質(zhì)點(diǎn)位移，推知彼時(shí)的質(zhì)點(diǎn)位移，是波動(dòng)問題的基礎(chǔ)性問題。

[例3]（2018年全國Ⅰ卷第34題）（2）一列簡諧橫波在[t=13?s]時(shí)的波形圖如圖2（a）所示，P、Q是介質(zhì)中的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)。圖（b）是質(zhì)點(diǎn)Q的振動(dòng)圖像。求

（ⅰ）波速及波的傳播方向;

（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)Q的平衡位置的x坐標(biāo)。

解析：（ⅰ）由波形圖可知，波長[λ=36]?cm。由振動(dòng)圖可知，周期T=2?s，故波速為[v=λT=18]?cm/s。

由振動(dòng)圖像可知，[t=13]?s時(shí)，Q向+y方向運(yùn)動(dòng)。

由波速方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向之間的關(guān)系可知，波沿-x方向運(yùn)動(dòng)。

（ⅱ）設(shè)質(zhì)點(diǎn)P、Q在平衡位置的x坐標(biāo)值分別為xP、?xQ。

由圖2（a）?可知，在[x=0]處，[y=-12A=Asin（-30°）]，故[xP=30°360°λ=3]?cm。

由圖（b）可知，在[t=0]時(shí)，質(zhì)點(diǎn)Q處于平衡位置，

經(jīng)歷[Δt=13s]，其振動(dòng)狀態(tài)沿-x方向傳播到P點(diǎn)處，則有：xP?-?xQ=[vΔt=6?cm]。

由以上方程解得：xQ?=?9?cm。

點(diǎn)評與復(fù)習(xí)要點(diǎn)：由于波動(dòng)圖像包含了所有質(zhì)點(diǎn)某一時(shí)刻的信息，而振動(dòng)圖像包含了某一質(zhì)點(diǎn)所有時(shí)刻的信息，將這兩個(gè)圖像聯(lián)合起來，互通信息，是考查學(xué)生對振動(dòng)圖像和波動(dòng)圖像意義理解程度的有效方式。

二、數(shù)形結(jié)合，深化認(rèn)識

[例4]（2016年全國Ⅱ卷第34題）（2）一列簡諧橫波在介質(zhì)中沿x軸正向傳播，波長不小于10?cm。O和A是介質(zhì)中平衡位置分別位于[x=0]和[x=5?cm]處的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)。?[t=0]時(shí)開始觀測，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)O的位移為[y=4?cm]，質(zhì)點(diǎn)A處于波峰位置;[t=13]?s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)O第一次回到平衡位置;[t=1]?s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A第一次回到平衡位置。求：

（ⅰ）簡諧波的周期、波速和波長;

（ⅱ）質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式。

【答案】（ⅰ）[T=4?s]??，[v=7.5?cm/s，]??[λ=30?cm]。

（ⅱ）[y=0.08sinπ2t+56π]或者[v=0.08cosπ2t+13π]?。

解析：（ⅰ）[t=0]?s時(shí)，A處質(zhì)點(diǎn)位于波峰位置。

[t=1]s時(shí)，由A處質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置可知[T4=1?s]，[T=4?s]。由[t=13]??s時(shí)，O第一次到平衡位置，[t=1?]s時(shí)，A第一次到平衡位置，可知波從O傳到A用時(shí)[23?s]，傳播距離[x=5]?cm，故波速[v=xt=7.5?]cm/s，波長[λ=vT=30]?cm。

（ⅱ）設(shè)[y=Asin（ωt+φ0）]，可知[ω=2πT=π2rad/s]。

又因?yàn)閇t=0]?s時(shí)，[y=4?cm];[t=13]?s，[y=0]，

代入振動(dòng)方程計(jì)算得A=?8?cm，再結(jié)合題意得[φ0=56π]。故[y=0.08sinπ2t+56π]?或者[y=0.08cosπ2t+13π]?。

點(diǎn)評及復(fù)習(xí)要點(diǎn)：用振動(dòng)圖像描述振動(dòng)，與之對應(yīng)的是三角函數(shù)。數(shù)形結(jié)合的考題中，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)工具表達(dá)物理規(guī)律是較高要求，也是物理學(xué)發(fā)展較成熟的標(biāo)志。在必修1和必修2中，多數(shù)情形下，都是用公式表達(dá)物理規(guī)律，圖像用于輔助分析問題，在機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波里卻是相反的情形，振動(dòng)圖像和波動(dòng)圖像用得較多，振動(dòng)方程很少寫，波動(dòng)方程不做要求，在第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，不妨試做一兩個(gè)，以提升學(xué)生的思維能力，但不能過多。

[例5]（2015全國Ⅰ卷第34題）（2）甲、乙兩列簡諧橫波在同一介質(zhì)中分別沿x軸正向和負(fù)向傳播，波速均為v=25?cm/s，兩列波在t?=?0時(shí)的波形曲線如圖3所示。求：

（ⅰ）t?=?0時(shí)，介質(zhì)中偏離平衡位置位移為16?cm的所有質(zhì)點(diǎn)的x坐標(biāo);

（ⅱ）從t?=?0開始，介質(zhì)中最早出現(xiàn)偏離平衡位置位移為16?cm的質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間。

解析：（ⅰ）t?=?0時(shí)，在x?=?50?cm處兩列波的波峰相遇，該處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移為16?cm。兩列波的波峰相遇處的質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移均為16?cm。

從圖線可以看出，甲、乙兩列波的波長分別為λ1=50?cm，λ2?=?60?cm????①

甲、乙兩列波波峰的x坐標(biāo)分別為：

xl?=?50?+?k1λ1，k1?=?0，±1，±2，…②

x2?=?50+k2λ2，k2?=?0，±1，±2，…③

由①②③式得，介質(zhì)中偏離平衡位置位移為16?cm的所有質(zhì)點(diǎn)的x坐標(biāo)為：

x=（50+300n）?cm?????n?=?0，±l，±2，…④

（ⅱ）只有兩列波的波谷相遇處的質(zhì)點(diǎn)的位移為-16?cm。t?=?0時(shí)，兩波波谷間的x坐標(biāo)之差為：

[Δx′=50+（2m2+1）λ22-50+（2m1+1）λ12]?⑤

式中，m1和m2均為整數(shù)。將①式代入⑤式得[Δx′=10（6m2-5m1）+5] ⑥

由于m1、m2均為整數(shù)，相向傳播的波谷間的距離最小為[Δx0=5?cm] ⑦

從t?=?0開始，介質(zhì)中最早出現(xiàn)偏離平衡位置位移為-16?cm的質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間為：

[t=Δx0′2v] ⑧

代入數(shù)值得t?=?0.1?s

點(diǎn)評及復(fù)習(xí)要點(diǎn)：此題考查波的疊加，頻率不同的兩列波，要表達(dá)隨著時(shí)間推移的疊加結(jié)果，必須寫出一般表達(dá)式，屬于較難、較新穎的題目。而要寫出所有處于波峰（或波谷）的質(zhì)點(diǎn)的平衡位置坐標(biāo)，用到了空間的周期性。兩列相向傳播的波的疊加，如果波的頻率不同，經(jīng)過足夠長的時(shí)間，會出現(xiàn)怎樣的結(jié)果呢？可以讓學(xué)生自行探討。

三、重視實(shí)驗(yàn)，由感性認(rèn)識到理性思考

[例6]（2019年全國Ⅱ卷第34題）（1）如圖4，長為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a。繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在O點(diǎn)正下方[34]?l的O′處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度（約為2°）后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球a擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會受到鐵釘?shù)淖钃酢ＴO(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖5中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x?-?t關(guān)系的是

[答案]：A

點(diǎn)評與復(fù)習(xí)要點(diǎn)：該題取材于課本的學(xué)生實(shí)驗(yàn)：探究單擺的運(yùn)動(dòng)、用單擺測定重力加速度，考查了振動(dòng)圖像、單擺、周期公式幾個(gè)知識點(diǎn)。

[例7]（2019年全國Ⅲ卷第34題）（1）水槽中，與水面接觸的兩根相同細(xì)桿固定在同一個(gè)振動(dòng)片上。振動(dòng)片做簡諧振動(dòng)時(shí)，兩根細(xì)桿周期性觸動(dòng)水面形成兩個(gè)波源。兩波源發(fā)出的波在水面上相遇。在重疊區(qū)域發(fā)生干涉并形成了干涉圖樣。關(guān)于兩列波重疊區(qū)域內(nèi)水面上振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，下列說法正確的是 。

A.不同質(zhì)點(diǎn)的振幅都相同

B.不同質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的頻率都相同

C.不同質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位都相同

D.不同質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期都與振動(dòng)片的周期相同

E.同一質(zhì)點(diǎn)處，兩列波的相位差不隨時(shí)間變化

[答案]：B?D?E

點(diǎn)評及復(fù)習(xí)要點(diǎn)：該題取材于課本的演示實(shí)驗(yàn)：發(fā)波水槽演示水波的干涉實(shí)驗(yàn)。復(fù)習(xí)時(shí)，要弄清干涉現(xiàn)象。

四、動(dòng)態(tài)演繹，突破難點(diǎn)

[例8]（2017年全國I卷第34題）（1）如圖6（a），在xy平面內(nèi)有兩個(gè)沿z方向做簡諧振動(dòng)的點(diǎn)波源S1（0，4）和S2（0，-2）。兩波源的振動(dòng)圖線分別如圖6（b）和圖6（c）所示。兩列波的波速均為1.00?m/s。兩列波從波源傳播到點(diǎn)S（8，-2）的路程差為??m，兩列波引起的點(diǎn)B（4，1）處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相互_____（填“加強(qiáng)”或“減弱”），點(diǎn)C（0，0.5）處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相互____（填“加強(qiáng)”或“減弱”）。

[答案]（1）2;減弱;加強(qiáng)

解析：（1）[s1A=82+4-（-2）2=10?m]

[s2A=8?m]

∴路程差為2?m

[s1B=42+4-12=5?m]

[s2B=42+1--22=5?m]

∴兩列波到B點(diǎn)的路程差為0，而起振方向相反，故B為減弱點(diǎn)。

[s1c=3.5?m]，[s2c=2.5?m]

[Δs=s1c-s2c=1?m]

由圖知，[λ=2?m]

∴[Δs=λ2]，起振方向相反，故C為加強(qiáng)點(diǎn)。

點(diǎn)評與復(fù)習(xí)要點(diǎn)：課本上通過水波的干涉實(shí)驗(yàn)，介紹了振動(dòng)情況完全一樣的兩個(gè)波源發(fā)出的波，在空中相遇時(shí)，表現(xiàn)出的干涉現(xiàn)象。通常教師都會給出振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)和減弱點(diǎn)的條件，即路程差為波長整數(shù)倍時(shí)是加強(qiáng)點(diǎn)，路程差為半波長奇數(shù)倍時(shí)是減弱點(diǎn)，而這道高考題考查了振動(dòng)情況反相的兩個(gè)波源形成的干涉，這樣就不能套上述振動(dòng)加強(qiáng)點(diǎn)和減弱點(diǎn)的條件，正好跟上面的結(jié)論相反。要講清干涉，就要弄清干涉發(fā)生的前提條件。干涉必須是兩列相干波源，什么是相干波源呢？頻率相同，相差恒定的兩個(gè)波源。干涉的特征是每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振幅是確定值，位移隨時(shí)間變化，但振幅不隨時(shí)間變化;不同的質(zhì)點(diǎn)振幅不盡相同，呈空間周期性變化。

近五年機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波高考題的特點(diǎn)是：來源于課本，不拘泥于課本。抓基礎(chǔ)、抓圖像，重視用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力，另外，演示實(shí)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)驗(yàn)也值得關(guān)注。

（責(zé)任編輯 易志毅）