三角恒等變換要有目標(biāo)意識

包旭苗

[摘???要]在求解三角函數(shù)問題中，有要目標(biāo)意識，要緊扣解題目標(biāo)進(jìn)行有目的的變形，如降冪轉(zhuǎn)化、常數(shù)代換、合理變角、巧添分母等.

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù);恒等變換;目標(biāo)意識

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0034-02

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書寫道：“看著終點(diǎn)，記住你的目的，勿忘你的目標(biāo)，想著你希望得到的東西.”這句話告訴我們，在解題時，要有目標(biāo)意識，要緊扣解題目標(biāo)進(jìn)行有目的的變形.對于三角恒等變換來說，樹立目標(biāo)意識尤為重要.那么，在求解三角函數(shù)問題時，要有哪些目標(biāo)呢？

一、降冪轉(zhuǎn)化

當(dāng)題目中出現(xiàn)三角函數(shù)的次數(shù)比較高時，可利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系或者倍角公式，實(shí)現(xiàn)降冪的轉(zhuǎn)化.

[例1]已知[cosπ4+θcosπ4-θ=14]，則[sin4θ+cos4θ]的值為???????????.

解析：因為[cosπ4+θcosπ4-θ=]

[22cosθ-22sinθ）]?[22cosθ+22sinθ]

=[12]?[（cos2θ-sin2θ）]=[12]cos2θ=[14]，?所以cos2θ=[12].

故[sin4θ+cos4θ=1-cos2θ22]+?[1+cos2θ22][=116+916=58]?.

點(diǎn)評：降冪是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).對于二次或高次的三角函數(shù)的化簡或求值問題，解題時一般需恰當(dāng)應(yīng)用“[sin2α+cos2α=1]”“[2sinαcosα=sin2α]”“[sin2α=1-cos2α2]”“[cos2α=1+cos2α2]”等公式對已知表達(dá)式進(jìn)行化簡.

二、常數(shù)代換

某個常數(shù)，可看作某個特殊角的三角函數(shù)值或某個三角恒等式，這種常數(shù)代換，往往會取得出奇制勝的解題效果.

[例2]計算：[1-tan15°3+tan60°tan15°]?=?????????????.

解析：（1）原式[=tan45°-tan15°3（1+tan45°？tan15°）=]

[13]?tan（45°-15°）=?[13].?故答案為[13].

點(diǎn)評：把某些數(shù)值“還原”成特殊角的三角函數(shù)，如[3=tanπ3=]?[sinπ3cosπ3]、[1=tanπ4=]?[sinπ2=][2cosπ4]等，能搭建三角恒等變換的溝通橋梁.

三、合理變角

在三角恒等變換中，首先應(yīng)該想到角的變化.角的變化，有單角與復(fù)角之間的轉(zhuǎn)化，特殊角與非特殊角之間的轉(zhuǎn)化，所求角與已知角之間的轉(zhuǎn)化，等等.

[例3]已知[tanα+π5=2]，[tanβ-4π5=-3]，則tan（[α-β]）=（????????）.

A.?1??????????B.?-?[57]????????????C.??[57]?????? D.?-1

解析：∵[tanβ-4π5=-3]，∴[tanβ+π5=-3].

∵[tanα+π5=2]，∴tan（[α-β]）=?[tanα+π5-β+π5]?[=tanα+π5-tanβ+π51+tanα+π5？tanβ+π5=]?[2-（-3）1+2×（-3）=-1]?.

故選D.

點(diǎn)評：解決三角函數(shù)求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;②當(dāng)“已知角”有一個時，應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差或倍角的關(guān)系.主要有以下幾種情形：α=（α+β）-β;α=β-（β-α）;[α=12][（α+β）+（α-β）];[β=12][（α+β）-（α-β）];[π4+]?[α=π2]?[-?π4-α];等等.

四、巧添分母

改變?nèi)呛瘮?shù)式的結(jié)構(gòu)，有時可以通過合理添上分母實(shí)現(xiàn)，從原問題的實(shí)際出發(fā)，添加分母，有利于三角公式或已知條件的利用.

[例4]cos?[π9]·cos?[2π9]·cos?[-23π9]?=?????????????.

解析：cos?[π9]·cos?[2π9]·cos?[-23π9]

=?cos?20°·cos?40°·cos100°

=?-?cos?20°·cos?40°·cos?80°

[=-sin20°？cos20°？cos40°？cos80°sin20°]

[=-12sin40°？cos40°？cos80°sin20°]

[=-14sin80°？cos80°sin20°]

[=-18sin160°sin20°]?[=-]?[18sin20°sin20°]?[=-18]?.

點(diǎn)評：在三角恒等變換中，有時候要添上一個恰當(dāng)?shù)姆帜福瑥亩靡阎獥l件求值或通過湊項變角，然后逆用二倍角公式，使問題發(fā)生“連鎖反應(yīng)”，從而快速得到問題的答案.

五、合理換元

三角與代數(shù)之間有著天然的聯(lián)系，換元可以溝通它們之間的關(guān)系.合理換元，可將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理.

[例5]函數(shù)y?=?sinx?-?cosx+sinxcosx的值域為??????????????????????????.

解析：設(shè)t?=?sinx?-?cosx?[=2sinx-π4]，則

[t2]?=?sin2x?+?cos2x?-?2sinx·cosx，sinxcosx?[=1-t22]，且[-2≤t≤]?[2].

∴y?=?-?[t22]?+?t?+?[12]?=?-?[12]?[（t-1）2]?+1，t?∈?[-[2]，[2]].

當(dāng)t?=?1時，?ymax=?1;當(dāng)t?=?[-2]時，ymin=-?[12]?-?[2].

∴函數(shù)的值域為[-12-2，1]?.

點(diǎn)評：本例換元后將原問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)值域問題，但必須注意換元后新元的取值范圍，而新元的取值范圍依然離不開三角恒等變換.

除了上述方法外，還可實(shí)現(xiàn)切弦互化，鑒于篇幅問題不再闡述.從以上例題分析可看出，要實(shí)現(xiàn)三角恒等變換的目標(biāo)，應(yīng)在“變角”“變名”“變結(jié)構(gòu)”上“做文章”，從而達(dá)到巧妙應(yīng)用三角函數(shù)變換公式順利解題的目的.

[??參???考???文???獻(xiàn)??]

[1]??張小凱，張宗余.三角恒等變換[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（Z1）：89-94.

[2]??劉馨怡，周龍虎.再看“三角恒等變換”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（1）：16-17.

（特約編輯????安???平）