空間向量與立體幾何垂直問題

謝榮春

[摘???要]用空間向量證明立體幾何垂直問題是一條有效的途徑.研究、探討此種方法，可以提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]空間向量;立體幾何;垂直問題

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0033-02

利用空間向量證明立體幾何垂直問題是一條有效的路徑.通過建立空間直角坐標系，并求出空間向量的坐標，將空間的垂直關(guān)系，用空間向量的坐標來闡明，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.下文舉例說明.

一、線線垂直問題

線線垂直是空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)，可利用空間向量的數(shù)量積加以證明.

[例1]如圖1，在四棱錐[P-ABCD]中，[PD]與底面[ABCD]垂直，底面[ABCD]是正方形，[PD=DC，AE=BE，PF=BF].求證：[EF⊥CD].

證明：分別以直線[DA，DC，DP]分別作為[x]軸、[y]軸、[z]軸建立空間直角坐標系，如圖2.

令[AD=a]，則[D（0，0，0）]，[A（a，0，a）]，[B（a，a，0）]，[C（0，a，0）]，[Ea，a2，0]，[P（0，0，a）]，[Fa2，a2，a2]，則[EF]?[=-a2，0，a2]，[DC]?[=（0，a，0）].故[EF]·[DC]?=?0，即[EF]⊥[DC]，所以[EF⊥CD].

二、線面垂直問題

將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，可采用基底法和坐標法.

[例2]如圖3，正三棱柱[A1B1C1-ABC]的所有棱長均為2，[DC=DC1].求證：[AB1⊥]平面[A1BD].

證法一：設(shè)任意直線[m？]平面[A1BD]，且它的方向向量為m.

則根據(jù)共面向量定理知，存在[λ，μ∈R]，使m=λ[BA1]+μ[BD].令[BB1=a]，[BC=b]，[BA=c]，易知它們不共面，并且滿足[a=b=c=2]，[a·b=a·c=0]，[b·c=2]，于是，把它們作為基底，便有[BA1=a+c]，[BD=12a+b]，[AB1=a-c]，[m=λBA1]?[+μBD=]?[λ+12μa+]?[μb+λc]，

[AB1·m=（a-c）·][λ+12μa+μb+λc]?[=4λ+12μ-]?[2μ-4λ=0].故[AB1⊥m]，結(jié)論得證.

證法二：如圖4，取[BC]的中點O，連接[AO].[∵△ABC]為正三角形，[∴AO⊥BC].

[∵]三棱柱[ABC-A1B1C1]是正三棱柱，[∴]平面[ABC⊥]平面[BCC1B1]，于是[AO⊥]平面[BCC1B1].

設(shè)[B1C1]的中點[O1]，以[O]為原點，分別以[OB]，[OO1]，[OA]所在直線作為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則[B（1，0，0）?，D（-1，1，0）?，?A1（0，2，3）]，[B1（1，2?，0）]?.?令平面[A1DB]的法向量為[n=（x，y，z）]，[BA1]=（-1，2，[3]），[BD=（-2，1，0）]?.

由于[n⊥BA1]，[n⊥BD]，所以[-x+2y+3z=0?，-2x+y=0?，]?設(shè)[x=1]，那么[y=2，z=-3]，

所以[n=（1，2，-3）]是平面[A1DB]的法向量，

又[AB1=1，2，-3]?，故[AB1=n]，即[AB1∥n]，

故[AB1⊥]平面[A1BD].

三、面面垂直問題

面面垂直是利用法向量的垂直轉(zhuǎn)化的，實質(zhì)上還是證明線線垂直.

[例3]如圖5，三棱錐[P-ABC]中，[AB=AC]，[DB=DC]，[PO]與平面[ABC]垂直，垂足為[O]，且[O∈]線段[AD].已知[BC=8，PO=4]，[AO=3，OD=2].

（1）試證：[AP⊥BC];

（2）如果點M[∈]線段[AP]，且[AM=3].試證明平面[AMC]與平面[BMC]垂直.

證明：（1）以[O]為原點，把射線[OP]作為[z]軸的正半軸（如圖6），建立空間直角坐標系[O-xyz]?.?則[O（0，0，0）]，[A（0，-3，0）]，[B（4，2，0）]，[P0，0，4]?.則[AP=（0，3，4）]，[BC=（-8，0，0）]，∴[AP]·[BC]?=?[（0，3，4）]·[（-8，0，0）]?=?0，

故[AP]⊥[BC]，所以AP與BC?互相垂直.

（2）由（1）得[AP=5]，又[AM=3]，且M在線段AP上，∴[AM]?=?[35]?[AP]?=?[0，95，125]，

又[BC=（-8，0，0）]，[AC=（-4，5，0）]，[BA=（-4，-5，0）]，

∴[BM]?=?[BA]?+?[AM]?=?[-4，-165，125]，

則[AP]·[BM=（0?，3?，?4）]·[-4?，-165?，?125=0]，∴[AP]?⊥?[BM]，即AP?⊥?BM，又由（1）的結(jié)論得[AP⊥BC]，且[BM？BC=C]，∴[AP⊥]平面[BMC]，則[AM]⊥平面[BMC].??又因為[AM]在平面[AMC]內(nèi)，所以平面[AMC]⊥平面[BMC].

四、與垂直有關(guān)的探究性問題

[例4]如圖7，三棱柱[ABC-A1B1C1]中是直棱柱，且底面是以角ABC為直角的等腰[Rt△]，[AC=2a]，BB1?=?3a，D是A1C1的中點，E是B1C的中點.

（1）求[cos];

（2）在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出[AF];若不存在，請說明理由.

解析：這是一道存在性問題，常用的方法就是假設(shè)存在這樣的點F，然后在此條件下求該問題.

（1）以B為坐標原點，建立如圖8所示的空間直角坐標系B?-?xyz.

∵AC?=?2a，∠ABC?=?90°，△ABC為等腰直角三角形，

∴AB?=?BC?=?[2a]?.

∴B（0，0，0），A（[2]a，0，0），C（0，[2]a，0），B1（0，0，3a），A1（[2]a，0，3a），C1（0，[2]a，3a），[D22a?，22a?，3a]?[E0?，22a?，3a2]，

∴[CA1]=（[2]a，-[2]a，3a），[BE]?=?[0，22a?，3a2]，

∴[CA1=13a]，[BE]?=?[112a]，[BE]·[CA1]?=?[0-a2+92a2=72a2]?.∴[cos]?=?[BE？CA1BE？CA1]?=?[7143143].

（2）存在.假設(shè)存在點F，使CF⊥平面B1DF.?不妨設(shè)AF?=?b，則F（[2]a，0，b），∴[CF]?=（[2]a，-[2]a，b），

[B1F]?=（[2]a，0，b-3a），[B1D]?[=22a，22a，0]?.

由題意知[CF]·[B1D]?=?[a2-a2+0=0]，

∴[CF]⊥[B1D]，即CF?⊥?B1D恒成立.

由[B1F]·[CF]?=?[2a2+b（b-3a）=b2-3ab+2b2=0]，得b?=?a或b?=?2a?.

∴在線段AA1上存在點F，使CF⊥平面B1DF，[AF]?=?a或[AF]?=?2a?.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）