反比例函數解析式求解方法

奚學

[摘???要]分析反比例函數解析式求解的基本方法，以幫助學生有效解決反比例函數解析式問題.

[關鍵詞]反比例;函數;解析式

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0022-02

反比例函數作為基本初等函數之一，在各類考試中頻繁出現.那么求解有關反比例函數解析式的基本方法有哪些？本文加以總結，供大家參考.

一、利用反比例函數的定義

數學中的很多問題往往都是由定義引發的，因此求解反比例函數解析式，首選定義法.

[例1]若[y=（m+3）xm2-10]是反比例函數，求其函數解析式.

解析：由反比例函數的定義可知[m2-10=-1，m+3≠0，]解得m=3，所以此反比例函數的解析式為?y?=?[6x]?.

點評：形如[y=kx（k≠0）]形式的函數叫反比例函數，其中隱含著兩個條件：自變量的指數為[-1]，比例系數[k]不為零.

二、利用反比例函數的性質

反比例函數在第一象限的增減性，決定了比例系數的正負.

[例2]已知函數[y=（n+3）xn2+2n-9]是反比例函數，且在每一個象限內，y隨x的增大而減小，求其函數解析式.

解析：由題意，得[n2+2n-9=-1，n+3>0，]?解得n=2.

∴此函數的解析式是[y=5x]??.

點評：解答本題容易忽視比例系數到底取正還是取負，從而出現兩解的錯解.因此，解題時應看清題目意思.

三、利用反比例函數的圖像

利用反比例函數圖像上的點坐標，也可求出反比例函數的解析式.

[例3]如圖1，在△ABC中，AC?=?BC，AB⊥x軸，垂足為A，反比例函數[y=kx（x>0）]的圖像經過點C，交AB于點D.已知[AB=4，BC=52]?.

（1）若OA?=?4，求k的值;

（2）連接OC，若BD?=?BC，求OC的長.

解析：（1）如圖2，作[CE⊥AB]，垂足為E.

因為AC?=?BC，AB?=?4，所以AE?=?BE?=?2.

在Rt△BCE中，[BC=52]，BE?=?2，所以[CE=522-22=32]?.

因為OA?=?4，故C點的坐標為[52?，2?].?因為點C在[y=kx]?的圖像上，?所以[k=52×2=5].

（2）如圖2，作[CF⊥x]軸，垂足為F，設A點的坐標為（m，0），因為[BD=BC=52]?，AB?=?4，所以[AD=32]，所以D，C兩點的坐標分別為[m，32?，m-32?，2]?.

因為點C，D都在[y=kx]的圖像上，所以[32m=2m-32]?[？m=6?].

因為C點的坐標為[92?，2]，所以[OF=92]?，CF?=?2.

在Rt△OFC中，[OC2=OF2+CF2]，故[OC=972]?.

點評：這類問題的關鍵是求出相關點的坐標，往往需轉化為幾何問題解決，本題中利用了勾股定理.

四、利用待定系數法

待定系數法，是求函數解析式最常見的方法之一.對于反比例函數來說，待定的系數只有一個比例系數[k]，一般來說只需一個條件，就可算出[k]的值.

[例4]如圖3，在平面直角坐標系中，一次函數y?=?kx+b的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，與反比例函數[y=mx]的圖像交于C、D兩點，[DE⊥x]軸于點E.已知C點的坐標是（6，-1），D（n，3）.

（1）求反比例函數與一次函數的解析式;

（2）根據圖像直接回答：當x為何值時，一次函數的值大于反比例函數的值？

解析：（1）把C（6，-1）代入[y=mx]，得m?=?6?×?（-1）=???-6，則反比例函數的解析式為[y=-6x]，?把y?=?3代入[y=-6x]，得x?=?-2?.∴D點坐標為（-2，3）.

將C（6，-1），D（-2，3）代入[y=kx+b]，得[6k+b=-1????，-2k+b=3?????，]?[？k=12?，b=2?，]則一次函數的解析式為[y=-12x+2].

（2）根據函數圖像可知，當[x<-2]或[0

點評：本題是反比例函數與一次函數的綜合題.利用待定系數法求解析式，既體現了方程思想，也體現了數形結合思想.此類問題的方程往往從已知的圖形中得到.

五、利用圖形的面積求解析式

反比例函數上的任一點的橫坐標與縱坐標之積是一個常數，即為比例系數.這類問題往往設置在矩形或三角形的面積之中.

[例5]如圖4，反比例函數[y=kx（k≠0）]的圖像上有一點A，AB平行于x軸交y軸于點B，△ABO的面積是1，則反比例函數的解析式是（）？.？？？？？？

[A.?？y=12x]？？？？？？？？？？？??？？？[B.？?y=1x]？

[C.？?y=2x]？？？？？???????????？?[D.?？y=14x]

解析：∵點A在反比例函數[y=kx（k≠0）]的圖像上，

∴設點A的坐標為[x，kx]?，∴AB=?x，[OB=kx?].

∵△ABO的面積是1，所以[12AB？OB=1]，

即[12？x？kx=1？k=2]?.∴反比例函數的解析式是[y=2x]?.故選C?.

六、利用實際問題中的數量關系

[例6]李剛想用鐵棍撬起一塊大石頭，當阻力和阻力臂一定時，它們分別為[1200?N]和[0.5?m].

（1）試求動力[F]與動力臂[l]之間的關系式[y=F（l）];試問當[l=1.5?m]時，用多大力才能把大石頭撬起來？

（2）如果李剛想少用力，只想用（1）中的一半力，那么如何改變動力臂？

解析：（1）根據物理中的?杠桿原理，知[F·l=1200×0.5]，于是[F=600l]?.當[l=1.5?m]時，[F=6001.5=400]，所以要想撬起這塊大石頭，李剛至少要用[400?N]的力.

（2）如果李剛想少用力，只想用（1）中的一半力，也就是用[200??N]的力，則有[F？l=600]，[l=600F].當[F=400×12=200]時，[l=600200=3]，[3-1.5=1.5（m）]?.

所以，李剛想省去一半的力，那么動力臂至少要延長[1.5?m].

點評：物理公式其實就是一個函數關系，它可以演變成正比例函數和反比例函數.這類跨學科的問題更能體現數學核心素養，備受命題者青睞，應引起大家的注意.

（責任編輯 黃桂堅）