應用判別式法求值域的常見錯誤分析

馬瑞寧

[摘???要]求函數值域是學習函數必須掌握的技能，分析學生求值域時常出現的錯誤，能幫助學生準確、合理地使用判別式法，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]函數;值域;錯誤

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0017-02

對于形如[fx=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2a1，a2不同時為0]的二次分式函數，我們通常使用判別式法來求值域.

判別式法的理論依據是函數的定義.具體來說就是根據函數的定義，任何一個函數的定義域應該是非空數集，故將原函數看成是關于自變量[x]的方程時，該方程應有實數解，據此求出函數值[y]的取值范圍，即原函數的值域.使用判別式法要特別注意函數本身的特點及相關條件，否則很容易出現錯誤.本文通過舉例闡述應用判別式法求值域常出現的幾類錯誤.

易錯點1：忽略二次項系數為零

[例1]求函數[y=2x2-8x+3x2-4x+5]的值域.

錯解：將原函數整理得[yx2-4x+5=2x2-8x+3]，

即[y-2x2-4y-2x+5y-3=0]，????①

由[Δ≥0]得

[-4y-22-4y-25y-3≥0]，????②

即[y-2y+5≤0]，解得[-5≤y≤2]，故值域為[-5，2]?.

顯然該解法有誤，比如取[y=2]時，原函數化簡得10=3，顯然不成立.問題出在哪里呢？

這里需注意，方程①不一定是二次方程，因此不一定有②式，即②式存在的前提條件是二次項系數[y-2≠0]，即[y≠2].因此，當二次項系數有可能取到0時，一定要分類討論.

正解：將原函數整理得[yx2-4x+5=2x2-8x+3]，

即[y-2x2-4y-2x+5y-3=0]?，???①

當[y-2=0]即[y=2]時，得[y=35]，舍去.

當[y-2≠0]即[y≠2]時，由[Δ≥0]得[-4y-22-4y-25y-3≥0]?，????②

即[y-2y+5≤0]，解得[-5≤y<2].

綜上所述，值域為[-5，2]?.

易錯點2：分子、分母有公因式時，直接約分

[例2]求函數[y=x2-2x-3x2-1]的值域.

錯解：由[x2-1≠0]得[x≠±1]，故定義域為[xx≠±1].

因為[y=x2-2x-3x2-1=x+1x-3x+1x-1=]

[x-3x-1=x-1-2x-1=1-2x-1]，

由[2x-1≠0]得[y≠1]，故值域為[yy≠1].

該解法有誤的原因是定義域在解題的過程中明顯擴大，從而導致結果含有增根.因此，當分式函數分子、分母約分時，一定要等價轉化.

正解一：由[x2-1≠0]得[x≠±1]?，

因為[y=x2-2x-3x2-1=x+1x-3x+1x-1]，

當[x≠-1]時，[y=x-3x-1=1-2x-1]，所以[y≠1].

當[x=-1]時，[y=x-3x-1=-1-3-1-1=2]，由函數的定義域為[xx≠±1]得[y≠2].綜上，值域為[yy≠1且y≠2].

對于分子、分母可約分化簡的函數，有很多文章都是用[Δ=0]來排除增根的，其理論依據可通過以下解法來分析.

正解二：原函數可化為

[x+1x-1y=x+1x-3，x+1x-1≠0，]????③

即[y-1x2+2x+3-y=0?，x≠-1且x≠1，]???????④

當[y=1]時，[x=-1]，不符合題意，舍去.

當[y≠1]時，因為[x=-1]恒為③中方程[x+1x-1y=x+1x-3]的解，而[x=-1]不符合④式.因此，方程[x+1x-1y=x+1x-3]，即[y-1x2+2x+3-y=0]還需要有另外一個不同于-1的根，所以，只需[Δ>0]?.

由[Δ>0]得[4-4y-13-y>0]，整理得[y-22>0]，所以[y≠2]?.綜上，值域為[yy≠1且y≠2?].

通過這種解法，我們可發現，方程若出現增根，那增根必定出現在[Δ=0]處.因此，解決這類問題，我們可以先利用[Δ≥0]求出[y]的取值范圍，再檢驗[Δ=0]時的情況，若不符合題意就舍去，以確保不產生增根.

正解三：由[x2-1≠0]得[x≠±1]，原函數可化為[y-1x2+2x+3-y=0]，

當[y=1]時，[x=-1]，不符合題意，舍去.

當[y≠1]時，由[Δ≥0]得[4-4y-13-y≥0]，即[y-22≥0]，解得[y∈R].

經檢驗，當[Δ=0]時，[y=2]，此時[y-1x2+2x+3-y=0]的根為[x1=x2=-1]，由[x≠-1]可知，[y≠2]，

故值域為[yy≠1且y≠2]?.

易錯點3.?忽略定義域有限制

[例3]求函數[y=x2-x+1x2+x+1x>0]的值域.

錯解：將原函數整理得[yx2+x+1=x2-x+1]，

即[y-1x2+y+1x+y-1=0]?.

當[y=1]時，得[x=0]，不合題意，舍去.

當[y≠1]時，由[Δ≥0]得[y+12-4y-12≥0]，解得[13≤y≤3且y≠1].所以，值域為[13，1？1，3]?.

該解法錯在當[y≠1]時，沒有考慮[x>0]的限制，將方程在[x>0]內有解擴大到[x∈R]內有解.

正解：將原函數整理得[yx2+x+1=x2-x+1]，即[y-1x2+y+1x+y-1=0].

當[y=1]時，得[x=0]，不合題意，舍去.

當[y≠1]時，由[Δ≥0?，x1+x2>0?，x1x2>0?，]得[y+12-4y-1≥0?，-y+1y-1>0?，y-1y-1>0?，]

解得[13≤y<1].

總之，要用判別式法求二次分式函數的值域，一定要注意從函數到方程的轉化是否是同解變形.在解題的過程中只要注意到本文中的三個易錯點，就可以做到準確、合理地使用判別式法求函數的值域.

下面附幾道相關的練習：

（1）求函數[y=x2-2x+1x2+x+1]的值域.（答案：[y∈0，4]）

（2）求函數[y=2x2-8x+3x2-4x+5]的值域.[答案：[y∈-5，2]]

（3）求函數[y=x2-2x+1x2+x-2]的值域.（答案：[yy≠0且y≠1]）

（4）求函數[y=x2+x-1x2+x-6]的值域.?[答案：yy>1或y≤18]

（責任編輯 黃桂堅）