借助繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析巧解題

周桂群

[摘? ?要]將靜態(tài)問題放置到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中加以分析，有利于從運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)問題進(jìn)行全方位的探究.靈活運(yùn)用這種將靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化的分析思想，有助于迅速解決問題.

[關(guān)鍵詞]定點(diǎn);旋轉(zhuǎn);解題

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）35-0013-02

求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，可靈活運(yùn)用“繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析”的技巧.該技巧是指將靜態(tài)問題放置到涉及動(dòng)直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)中進(jìn)行分析.這樣處理的優(yōu)點(diǎn)是有利于從運(yùn)動(dòng)變換的角度對(duì)問題進(jìn)行全方位的認(rèn)識(shí)、探究.借助這種將靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化的分析思想，可幫助我們迅速分析、解決問題.

類型一：求參數(shù)的取值范圍問題

處理簡(jiǎn)單線性規(guī)劃中“根據(jù)含有參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解唯一，求參數(shù)的取值范圍”這類問題時(shí)，可靈活借助動(dòng)直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析技巧，構(gòu)建不等式，迅速求解.

[例1]已知實(shí)數(shù)[x，y]滿足不等式組[x-y-2≤0 ，x+2y-5≥0 ，y-2≤0 ，]若目標(biāo)函數(shù)[x=mx+y]當(dāng)且僅當(dāng)[x=3]，[y=1]時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)[m]的取值范圍是 .

分析：將[z]看作“常量”，則由于動(dòng)直線[y=-mx+z]的斜率是一個(gè)變量，所以需要結(jié)合圖形，根據(jù)動(dòng)直線的斜率與可行域邊界直線的斜率的大小關(guān)系，構(gòu)建關(guān)于實(shí)數(shù)[m]的不等式，從而順利求解目標(biāo)問題.

解：如圖1所示，先畫出不等式組表示的可行域，由于可求得圖中點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（3，1）]，所以根據(jù)題意需要讓動(dòng)直線[y=-mx+z]（將[z]看作常量）繞著定點(diǎn)[A]旋轉(zhuǎn)，易知實(shí)數(shù)[m]應(yīng)滿足不等式[kAC<-m

又可求得[kAC=-12，kAB=1]，所以有[-12<-m<1]，化簡(jiǎn)得[-1

評(píng)注：求解此類問題的關(guān)鍵是畫可行區(qū)域，旋轉(zhuǎn)動(dòng)直線，準(zhǔn)確構(gòu)建不等式.構(gòu)建不等式時(shí)，一定要注意不等式的表示形式（是二者之間，還是兩旁）以及不等式中有無等號(hào).

類型二：求“斜率型”最值問題

根據(jù)[x，y]滿足的二元一次不等式組，求“斜率型”目標(biāo)函數(shù)[z=y-bx-a]的最值的關(guān)鍵點(diǎn)是：①畫可行域——根據(jù)題設(shè)二元一次不等式組，可畫出兩個(gè)變量[x，y]滿足的可行域;②明確意義——[z=y-bx-a]表示定點(diǎn)[（a，b）]與可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)[（x，y）]所在直線的斜率.

[例2]若[x，y]滿足約束條件[y≤2x+1 ，x≤2 ，y≥-3x+2 ，]則[z=x+2y+11x+1]的最大值是____________.

分析：本題需要先對(duì)目標(biāo)式做分離常數(shù)變形，轉(zhuǎn)化為具體的“斜率型”最值問題;然后畫可行域，根據(jù)相關(guān)解析幾何知識(shí)加以求解.

解：因?yàn)閇z=x+2y+11x+1=1+2×y+5x+1]，所以令[z'=y+5x+1]，則有[z=1+2z'].

根據(jù)約束條件，可行域?yàn)槿鐖D2所示的陰影部分的[△ABC]， 由[y=2x+1 ，y=-3x+2 ，]解得[x=15 ，y=75 ，]所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為[15 ，75] .因?yàn)閇z'=y+5x+1]表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)[（x，y）]與定點(diǎn)[P（-1，-5）]所在直線的斜率，所以讓動(dòng)直線繞著定點(diǎn)[P]旋轉(zhuǎn)，易知點(diǎn)[B]與定點(diǎn)[P（-1，-5）]連線的斜率最大.

于是，[z']的最大值為[75+515+1=163] .故所求[zmax=1+2×163=353].

評(píng)注：求解本題需要關(guān)注三點(diǎn).一是對(duì)目標(biāo)式[z=x+2y+11x+1]實(shí)施分離常數(shù)變形;二是充分利用代數(shù)式[y+5x+1]的幾何意義;三是靈活運(yùn)用動(dòng)直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析技巧.

類型三：求直線與圓的綜合問題

處理直線與圓的綜合問題時(shí)，如果直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，那么可以讓該直線繞著定點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，有利于結(jié)合圖形的動(dòng)態(tài)變化去把握變化規(guī)律，以便順利求解目標(biāo)問題.

[例3]已知邊長(zhǎng)為2的正方形[ABCD]的對(duì)角線[AC，BD]相交于點(diǎn)[O]，動(dòng)點(diǎn)[P]滿足[OP=1]，且[AP=mAB+nAD]，其中[m，n∈R]，則[2n+22m+1]的最小值為? ? ? ? ?.

分析：本題需要先畫出圖形，并建立平面直角坐標(biāo)系，以便根據(jù)題設(shè)條件明確代數(shù)式[2n+22m+1]的幾何意義.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，具體分析最小值情境，利用相關(guān)解析幾何知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)計(jì)算，即可獲解.

解：由于本題涉及特殊圖形（正方形），所以可建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系[xAy]，則可知點(diǎn)[B（2，0）]，[D（0，2）]，從而根據(jù)[AP=mAB+nAD]，可求得點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[（2m，2n）]，設(shè)點(diǎn)[M（-1，-2）]，則[2n+22m+1=kPM].又根據(jù)[OP=1]，可知點(diǎn)[P]的軌跡是以點(diǎn)[O（1，1）]為圓心且以1為半徑的圓.

于是，讓經(jīng)過點(diǎn)[M]的且與圓[O]有公共點(diǎn)的直線繞著定點(diǎn)[M]進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)該直線與圓[O]的右下方相切時(shí)（此時(shí)[P]為切點(diǎn)），直線[PM]的斜率取得最小值.

利用直線方程的點(diǎn)斜式，可設(shè)經(jīng)過點(diǎn)[M（-1，-2）]的直線方程為[y+2=k（x+1）]，則由直線與圓相切可得[2k-3k2+1=1]，解得[k=6-233]或[k=6+233]（舍去），所以[kPM]的最小值為[6-233].故所求[2n+22m+1]的最小值為[6-233]，即[2-233].

評(píng)注：本題具有一定的綜合性，解題切入點(diǎn)是目標(biāo)式的幾何意義，求解關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想和“繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析”技巧在處理相關(guān)最值問題中的靈活運(yùn)用.

靈活運(yùn)用繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)分析技巧，可順利求解兩大類數(shù)學(xué)問題.一類是給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解唯一問題;另一類是以圖形為載體，涉及直線斜率的最值問題.靜態(tài)問題“旋轉(zhuǎn)分析”，有利于結(jié)合動(dòng)態(tài)變化，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，巧思妙解.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 王紅娟，鄒生書.含有參數(shù)的線性規(guī)劃問題及其解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（5）：12-14.

[2]? 華文娜.2018年上海數(shù)學(xué)高考試題淺析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（1）：35-36.

[3]? 魯和平.對(duì)高中數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)的辯證思考[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（5）：29-31.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）