關注函數的最值（值域）常考類型

方佳佳

[摘? ?要]分析函數的最值（值域）常考類型并提出其解決策略，以幫助學生突破難點，逐步提升解題能力.

[關鍵詞]函數;最值;值域;類型

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）35-0002-02

函數的最值（值域）是近年高考中的必考點，一般以選擇題或填空題的形式出現，難度中等.求解函數的最值（值域）問題時，往往需要靈活運用函數圖像與性質（主要是單調性）加以分析，有時還會涉及基本不等式的靈活運用.

常考類型一、根據函數的解析式，求函數的值域

由函數的解析式求函數的值域是一類常見且較為簡單的問題，常用方法：遇到二次函數求值域利用配方法;遇到熟悉的指數函數、對數函數、冪函數或者能夠確定單調性的函數，求值域利用函數的單調性法.破解此類題的關鍵點為：

①分析函數結構.求解函數的值域時，需要先厘清函數的結構特點，如分析其是指數形式的復合函數，還是對數形式的復合函數，或者是二次函數形式的復合函數等.

②靈活選用方法.結合函數的結構特點，靈活選用解題方法，如與指數、對數函數緊密聯系起來的，選用函數的單調性法;與二次函數緊密聯系起來的，選用配方法.

[典例1]函數[y=log12x+1x]的值域是（? ? ? ? ）.

A. [（-∞，-1]]? ? ? ? ? ? ? ? B. [（-∞，0]]

C. [[-1，+∞）]? ? ? ? ? ? ? ? D. [[0，+∞）]

分析：本題需要先利用基本不等式求[x+1x]的取值范圍，再靈活運用對數函數[f（x）=log12x]的單調性加以求解.

解：由[x+1x>0]可得函數的定義域為[（0，+∞）]，所以由基本不等式得[x+1x≥2]，當且僅當[x=1]時，等號成立.又[f（x）=log12x]在其定義域內是減函數，所以可得[y=log12x+1x≤log122=-1].故函數的值域為[（-∞? ，-1]] .故選A.

評注：一般地，求解函數的值域時，應優先考慮函數的定義域;否則，極易出錯.例如，求解如下問題.

已知[f（x）=2+log3x] [（1≤x≤9）]，則函數[y=[f（x）]2+f（x2）]的最大值是（? ? ? ? ）.

A. [6]? ? ? ? ? ? ?B. [13]? ? ? ? ? ? C. [22]? ? ? ? ?D. [23]

本題極易忽略準確求解新函數的定義域，而根據1[≤x≤9]，得到函數最大值為22，導致錯選C.正確解答：由[1≤x≤9，1≤x2≤9，]得新函數的定義域為[x1≤x≤3]，則[0≤log3x≤1]，又整理得y = [[fx]2]+ f （x2）= [（log3x+3）2]-3，所以函數y的最大值為[13].故選B.

常考類型二、根據函數的最值，求參數的取值范圍

對于“由函數的最值，求參數的取值范圍”這類問題，往往需要根據函數的單調性、圖像，先分析最值情景，再構建不等關系加以求解.破解此類題的關鍵點為：

①分析最值情景.具體問題中，一般需要根據相關函數的單調性或圖像，以便準確分析當自變量取何值時函數取得的最值.

②構建不等關系.根據題設所給最值，并結合最值情景，通過構建不等關系，準確求解參數的取值范圍.

[典例2] 已知函數[f（x）=（x-a）2，x≤0x+1x+a，x>0]，若[f（0）]是函數[f（x）]的最小值，則實數[a]的取值范圍是（? ? ? ?）.

A.[[-1，2]]? ? ? ? ? ?B.[[-1，0]]? ? ? ? ? C.[[1，2]]? ? ? ? ? D.[[0，2]]

分析：本題需要分[a<0，a=0，a>0]三種情況加以討論;在每種情況下，可利用函數的單調性或圖像加以分析，最后整體總結，即可獲得所求參數的取值范圍.

解析：當[a<0]時，根據[f（x）]在[[a，0]]上是增加的，可知[f（0）]不是函數[f（x）]的最小值，所以[a<0]不滿足題意;當[a=0]時，若[x>0]，則[f（x）=x+1x≥2];若[x≤0]，則[f（x）=x2≥0]，所以[f（0）] 是函數[f（x）]的最小值，所以[a=0]滿足題意;當[a>0]時，如圖1所示，畫出函數[f（x）]的大致圖像，由已知“[f（0）]是函數[f（x）]的最小值”，可知[a2≤2+a]，又[a>0]，從而解得[0

評注：本題具有一定的綜合性，側重考查了分段函數的圖像與性質，也考查了“分類與整合思想”“數形結合思想”在解題中的靈活運用，較好地培養了考生數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養.