基于多元線性回歸模型的鋰電池充電SOC預測

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(1.福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福州 350108;2.福建星云電子股份有限公司，福州 350015)

0 引言

現(xiàn)如今世界正在遭遇能源危機，生態(tài)環(huán)境破壞嚴重，空氣污染的情況也是越來越不容樂觀，因此電動汽車在汽車產業(yè)中脫穎而出。而在諸多汽車電池中，鋰電池因為性能穩(wěn)定、壽命長、承受力強等優(yōu)勢，成為了電動汽車動力電池的絕佳選擇[1-2]。為了對鋰電池進行高效管理，防止過充、過放的情況發(fā)生，保證鋰電池使用的安全性以及性能，需要對鋰電池的荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)進行準確預測[3-4]。如果能夠精確地估計鋰電池的充電SOC值，可以根據(jù)充電SOC值的變化過程評估鋰電池的健康狀態(tài)，以此來對鋰電池進行定期維護，從而使鋰電池的壽命更加長久，使用的安全系數(shù)也大大提高。

針對鋰電池SOC預測的問題，各個國家都在進行深入研究，并在不同的方法上取得了一定的成果。文獻中提到的方法有PNGV等效電路模型法、安時積分法、開路電壓結合卡爾曼濾波法、改進的卡爾曼濾波法以及人工神經網絡法[5-8]。但是這些方法都具有一定的局限性，安時積分法若電流測量不準確，會導致SOC計算誤差，之后誤差還會隨著時間推移變大，而且還會受到充放電效率和溫度變化的影響。開路電壓法的缺點是測量電池需要長時間靜置，以達到電壓穩(wěn)定，實際情況下靜置時間需要長達幾小時乃至十幾個小時，這給測量造成了很大的困難。卡爾曼濾波法因為系統(tǒng)內部較為復雜，用于電池管理系統(tǒng)中費用昂貴，短板比較明顯。人工神經網絡法存在算法過程繁雜的問題，在實際工程應用中不易于推廣[9]。

實驗是基于鋰電池充電過程中的實際數(shù)據(jù)，使用Python語言編程實現(xiàn)，通過把充電機電壓，充電機電流，最大單體電壓，剩余充電時間，電池充電電壓，電池充電電流，充電時間，充電能量，充電總容量，最大單體溫度，最小單體溫度這十一個特征變量數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，鋰電池的充電SOC作為輸出數(shù)據(jù)，運用多元線性回歸模型進行訓練。模型訓練完成后導入新的輸入數(shù)據(jù)，通過模型預測出鋰電池開始充電到結束充電過程中準確的SOC值。

1 多元線性回歸模型

1.1 模型概念

多元線性回歸模型是用多個特征向量的給定值作為條件的回歸分析，得到一個輸出變量和多個輸入變量間的線性關系[10]，通過數(shù)學公式的計算，訓練相關數(shù)據(jù)，建立反映輸入變量和輸出變量之間關系的模型，之后按照所得到的模型進行預測。多元線性回歸模型的假設函數(shù)公式為：

Y=θ0+θ1X1+θ2X2+…+θnXn

(1)

公式(1)中，n為輸入變量的個數(shù)，θi(i=1,2,…,n)為各個輸入變量的回歸系數(shù),θ0為截距，Xi(i=1,2,…,n)為輸入變量，Y為輸出變量。

若X的列滿秩可以采用普通最小二乘法,回歸系數(shù)矩陣為：

(2)

1.2 代價函數(shù)

理論上只要知道了假設函數(shù), 就能夠用模型進行數(shù)據(jù)預測了。關鍵在于假設函數(shù)存在多個未知量，即回歸系數(shù)及截距。當選擇不同回歸系數(shù)和截距時, 模型的預測效果就會不同。代價函數(shù)就是用于找到最優(yōu)解的目的函數(shù)，它能幫助尋找最優(yōu)的回歸系數(shù)和截距，使模型的預測效果達到最好。多元線性回歸模型的代價函數(shù)公式為：

(3)

公式(3)中，J(θ)為代價函數(shù)值，θi(i=1,2,…,n)為各個輸入變量的回歸系數(shù),θ0為截距，m為訓練樣本的數(shù)量，hθ為假設函數(shù)值即預測值，x(i)(i=1,2,…,n)為輸入變量，y(i)(i=1,2,…,n)為真實值。

1.3 梯度下降法

梯度下降算法是一種優(yōu)化算法, 它的作用在于能夠找到一個函數(shù)的局部極小值點，是求解機器學習算法模型參數(shù)的常用方法之一。在求解代價函數(shù)的最小值時，可以通過梯度下降法來一步步迭代求解，最終得到最小化的代價函數(shù)和模型參數(shù)值。多元線性回歸模型的梯度下降法公式為：

(4)

1.4 評價標準

在估計出多元線性回歸模型的參數(shù)之后，需要對模型進行評價，以此來判斷模型預測的效果。評價的指標包括直接誤差，平均誤差，絕對平均誤差，標準差，均方根誤差，擬合優(yōu)度檢驗(決定系數(shù))等。

1)直接誤差，指的是一個量的預測值或計算值與其真實值之差。

e=Sp-St

(5)

e為模型誤差，Sp為模型輸出值，St為實際值。

2)平均誤差，指的是預測得到所有值的隨機誤差的算術平均值。

(6)

3)絕對平均誤差，又叫平均絕對離差，它是所有單個預測值與算術平均值的偏差的絕對值的平均。

(7)

4)標準差，又常稱均方差，是離均差平方的算術平均數(shù)的平方根，標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。

(8)

5)均方根誤差，是預測值與真實值偏差的平方與預測次數(shù)n比值的平方根。

(9)

(10)

公式(6)中，R2為決定系數(shù)，決定系數(shù)越靠近1，模型的擬合度就越好。

2 模型工作原理

模型訓練數(shù)據(jù)的過程，實質是求解模型參數(shù)最優(yōu)解的過程。假設函數(shù)hθ的值越接近真實值y時，說明此時的模型參數(shù)預測效果越好。這里選擇均方誤差來作為衡量標準,目的是想要每個樣例的估計值與真實值之間差的平方的均值最小，即得到代價函數(shù)J(θ)的最小值。首先隨機選擇θ0,θ1,…,θn,然后不斷改變它們的值，使得J(θ)變小，直至最終找到J(θ)的最小值點。尋找過程中采用的就是梯度下降法，可以想象成下坡路，假如想盡可能快下坡，應該每次都往坡度最大的方向下山。由于多維函數(shù)不好可視化，這里以回歸參數(shù)為二維的情況為例說明，如圖1為梯度下降法求解代價函數(shù)J(θ)最小值的示意圖。迭代多次之后可以得到最優(yōu)的模型參數(shù)，用最優(yōu)的模型參數(shù)對應的假設函數(shù)來進行預測。

圖1 梯度下降法求解最優(yōu)解示意圖

3 實驗數(shù)據(jù)預處理

實驗中使用了兩種不同鋰電池的充電數(shù)據(jù)，記第一種鋰電池為A鋰電池，第二種鋰電池為B鋰電池，部分樣本數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 部分樣本數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)預處理采用的是最大-最小值法(Max-Min normalization)，最大-最小值法是對原始數(shù)據(jù)進行線性變換。記xmin和xmax分別為屬性x的最小值和最大值，將x的一個原始值xk通過標準化映射成在區(qū)間[0,1]中的值。其轉換映射公式為：

(11)

4 實驗過程及結果

4.1 實驗步驟

步驟一：首先用Python語言讀取充電機電壓，充電機電流，最大單體電壓，剩余充電時間，電池充電電壓，電池充電電流，充電時間，充電能量，充電總容量，最大單體溫度，最小單體溫度這十一個特征變量數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，鋰電池充電SOC作為輸出數(shù)據(jù)。

步驟二：使用最大-最小值法對輸入輸出數(shù)據(jù)進行預處理，把每一維的數(shù)據(jù)都縮小到[0,1]之間。

步驟三：將數(shù)據(jù)預處理之后，對標準化了的輸入輸出數(shù)據(jù)進行隨機分片，其中80%的數(shù)據(jù)集作為訓練集，20%的數(shù)據(jù)集作為測試集。

步驟四：將訓練集導入多元線性回歸模型，通過梯度下降法求解代價函數(shù)的最小值，從而得到最優(yōu)的回歸參數(shù)。

步驟五：分別用訓練集和測試集數(shù)據(jù)對訓練完成的多元線性回歸模型進行測試，得到訓練集和測試集預測的鋰電池充電SOC的值。

步驟六：根據(jù)多元線性回歸運行結果的預測值和真實值，能夠繪制誤差分布圖，計算出回歸方程，直接誤差，平均誤差，絕對平均誤差，標準差，均方根誤差以及決定系數(shù)這些評價指標。

步驟七：分析各項評價指標，評估多元線性回歸模型對鋰電池充電SOC的預測效果

4.2 實驗結果

實驗首先用A鋰電池的訓練集進行測試，訓練集鋰電池充電SOC的誤差分布如圖2所示。然后用A鋰電池的測試集進行測試，測試集鋰電池充電SOC的誤差分布如圖3所示。兩個圖的橫坐標表示測試數(shù)據(jù)的數(shù)量，縱坐標表示鋰電池充電SOC的誤差。

圖2 A鋰電池訓練集SOC誤差分布

圖3 A鋰電池測試集SOC誤差分布

程序執(zhí)行結束后在本地輸出判斷預測精度的評價指標，A鋰電池充電數(shù)據(jù)在多元線性回歸模型中擬合后的各個評價指標如表2所示。第一行是訓練集的評價指標，第二行是測試集的評價指標。

表2 A鋰電池訓練集和測試集評價指標

由圖2可以看到A鋰電池訓練集充電SOC的誤差在0附近上下小范圍內波動，呈現(xiàn)出正態(tài)分布的樣子，再由表2中訓練集一行的各項評價指標，可以看到平均誤差小到幾乎可以忽略不計，決定系數(shù)達到99.422，沒有出現(xiàn)欠擬合的情況，從而能夠得到實驗中多元線性回歸模型訓練得相當成功這一結論。

由圖3可以看到A鋰電池測試集充電SOC的誤差分布與圖1訓練集中的十分相似，同樣是在0附近小范圍上下浮動，能直觀地看出對鋰電池充電SOC預測的效果不錯。再由表2中測試集一行的各項指標詳細分析，平均誤差，絕對平均誤差，標準差，均方根誤差都很小，決定系數(shù)達到了99.412，相當接近去1，整體的結果都和訓練集的結果非常相近。由此說明多元線性回歸模型適用于A鋰電池充電SOC的預測，能夠很準確地估算出SOC值。

通過擬合的回歸系數(shù)，可以得出A鋰電池的多元線性回歸方程為：

Y=0.16-1.627X1-0.0293X2+0.223X3+0.025X4+

2.496X5-0.224X6-0.004X7-7.517X8+7.327X9-

0.305X10+0.298X11

(12)

在測試完A鋰電池后，開始對B鋰電池的實驗。同樣先用B鋰電池的訓練集進行測試，訓練集鋰電池充電SOC的誤差分布如圖4所示。然后用B鋰電池的測試集進行測試，測試集鋰電池充電SOC的誤差分布如圖5所示。兩個圖的橫坐標表示測試數(shù)據(jù)的數(shù)量，縱坐標表示鋰電池充電SOC的誤差。

圖4 B鋰電池訓練集SOC誤差分布

圖5 B鋰電池測試集SOC誤差分布

B鋰電池充電數(shù)據(jù)在多元線性回歸模型中擬合后的各個評價指標如表3所示。第一行是訓練集的評價指標，第二行是測試集的評價指標。

表3 B鋰電池訓練集和測試集評價指標

從圖4可以看到B鋰電池訓練集充電SOC的誤差分布在0左右，并且誤差值都非常小，整體也近似于正態(tài)分布，從表3中訓練集一行的各項評價指標，能夠發(fā)現(xiàn)平均誤差幾乎為零，決定系數(shù)達到99.839，沒有出現(xiàn)欠擬合的情況，所以可以認為B鋰電池充電數(shù)據(jù)在多元線性回歸模型中同樣訓練得很好。

從圖5可以看到B鋰電池測試集充電SOC的誤差都保持在0.04以內，誤差非常小，直觀地看出估算的準確性，同A鋰電池的預測誤差相比，對B鋰電池的預測顯得更加優(yōu)秀。再對表3中測試集一行的各項指標進行分析，平均誤差，絕對平均誤差，標準差，均方根誤差都十分小，并且接近訓練集的誤差指標，決定系數(shù)達到了99.823，這些評價指標充分體現(xiàn)了多元線性回歸模型對B鋰電池充電SOC預測的準確性。

通過擬合的回歸系數(shù)，可以得出B鋰電池的多元線性回歸方程為：

Y=-0.242-0.179X1+0.088X2-0.076X3+

0.007X4+0.881X5+0.003X6+0.832X7-

1.269X8+0.917X9+0.573X10-0.044X11

(13)

從實驗結果可以了解到，多元線性回歸模型對A鋰電池和B鋰電池充電SOC值的預測結果都十分理想。這說明了鋰電池充電SOC的變化過程具有一定的線性規(guī)律，可以應用多元線性回歸模型來做預測。而且，多元線性回歸針對該問題還具有一定通用性，對不同的鋰電池進行實驗，都能有不錯的預測效果。

5 總結

針對鋰電池充電SOC的預測問題，使用了多元線性回歸模型對兩種不同的電動汽車鋰電池的充電數(shù)據(jù)進行訓練，測試。研究結果表明，鋰電池充電SOC的變化過程具有一定的線性規(guī)律，多元線性回歸模型預測SOC值的誤差都能控制得很小，決定系數(shù)都高于99%，具有很好的預測效果且有一定的通用性。除此之外，多元線性回歸模型參數(shù)較少，結構簡單，易于實現(xiàn)，更容易在實際應用中推廣,這是諸如卡爾曼濾波法和神經網絡法等方法所不具備的特點。